李得洋　丁旺才　丁杰　衛(wèi)曉娟

摘要： 針對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)具有的吸引子共存現(xiàn)象，在不改變?cè)鲎蚕到y(tǒng)平衡解結(jié)構(gòu)的前提下，采用線性反饋控制方法研究了一類兩自由度含彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)共存吸引子轉(zhuǎn)遷控制問題。建立了兩自由度含彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，理論推導(dǎo)得到了系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的存在條件;利用Floquet理論分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔及引起吸引子共存的原因;通過設(shè)計(jì)合理的線性反饋控制器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)共存吸引子的相互轉(zhuǎn)遷;討論了不同的控制開始狀態(tài)和控制參數(shù)對(duì)控制性能的影響。仿真結(jié)果表明，所應(yīng)用的線性反饋控制方法能有效控制此類非光滑碰撞振動(dòng)系統(tǒng)共存吸引子之間的相互轉(zhuǎn)遷。

關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng); 非光滑系統(tǒng); 吸引子共存; 線性反饋控制; 分岔

中圖分類號(hào)： O322; TB535??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）01-0176-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.020

引? 言

含間隙^[1?2]的非光滑機(jī)械系統(tǒng)常見于各種工程領(lǐng)域中，如運(yùn)動(dòng)副、齒輪系統(tǒng)等，該類系統(tǒng)中部件的相互碰撞通常會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)出現(xiàn)復(fù)雜而豐富的分岔、混沌和周期共存等非線性現(xiàn)象。在非光滑系統(tǒng)分岔和混沌研究方面，Shaw和Holmes^[3]采用接縫法精確地求解了分段線性振子的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并通過復(fù)合的全局映射研究了系統(tǒng)周期響應(yīng)的穩(wěn)定性問題。Kundu等^[4]構(gòu)建了4種單自由度彈性約束系統(tǒng)Grazing分岔的范式映射，并研究了擦碰軌道鄰域內(nèi)Poincaré映射的特性。張惠等^[5]研究了含間隙和預(yù)緊彈簧碰撞振動(dòng)系統(tǒng)由于擦邊引起不動(dòng)點(diǎn)處Jacobian矩陣的行列式和跡的變化特性。樂源等^[6]研究了一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性。也有學(xué)者利用Floquet理論和近似求解方法對(duì)此類系統(tǒng)的分岔和穩(wěn)定性進(jìn)行研究。Leine等^[7]對(duì)非光滑系統(tǒng)周期解的不連續(xù)分岔作了進(jìn)一步的研究，分析了伴隨基解矩陣的跳躍而發(fā)生的各種不連續(xù)分岔現(xiàn)象，進(jìn)而給出了一般意義下的Floquet理論。徐慧東等^[8]應(yīng)用Floquet理論研究了一類兩自由度分段線性非光滑系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的分岔現(xiàn)象和混沌行為。任傳波等^[9]利用數(shù)值方法研究了兩自由度具有非連續(xù)阻尼力分段線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔。賈啟芬等^[10]用KB方法研究了汽車懸架的簡(jiǎn)化分段線性非線性動(dòng)力系統(tǒng)的不同參數(shù)對(duì)共振曲線的影響。在周期共存研究方面，李健等^[11]根據(jù)非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特點(diǎn)，得到了非光滑系統(tǒng)吸引子和吸引域的胞映射計(jì)算方法，并在一類單自由度碰振系統(tǒng)上驗(yàn)證了方法的有效性。Antonio S E Chong等^[12]利用數(shù)值方法對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在分岔點(diǎn)附近周期共存現(xiàn)象進(jìn)行了研究。

隨著非線性理論的深入研究以及工程實(shí)際的需求，將不同的周期運(yùn)動(dòng)以及共存的不同吸引子之間實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)遷控制引起了學(xué)者的興趣。Jackson等^[13]最早提出了開環(huán)控制方法實(shí)現(xiàn)不同周期運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)遷，但是該方法無(wú)法確定非線性系統(tǒng)的吸引域且對(duì)大多數(shù)非線性系統(tǒng)無(wú)效。為了彌補(bǔ)開環(huán)控制方法的不足，開環(huán)加閉環(huán)（OPCL）控制方法和OPNCL控制方法被相繼提出。Shen等^[14]用OPCL方法研究了將Mathieu?Duffing振子從混沌吸引子遷移至任意周期吸引子的控制問題。柴凱等^[15]利用OPCL和OPNCL控制方法實(shí)現(xiàn)了非線性隔振系統(tǒng)多個(gè)不同拓?fù)涮匦缘奈又g的遷移控制。趙建學(xué)等^[16]分別采用開環(huán)、閉環(huán)和開環(huán)加閉環(huán)控制方法對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的共存吸引子實(shí)現(xiàn)了遷移控制，并對(duì)開環(huán)加閉環(huán)控制方法的穩(wěn)定性和可行性進(jìn)行了分析。已有的共存吸引子轉(zhuǎn)遷控制主要側(cè)重于光滑系統(tǒng)，而有關(guān)含彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)共存吸引子轉(zhuǎn)遷控制的相應(yīng)研究仍然很少，依然有待進(jìn)一步開展和深入研究。本文以一類兩自由度含彈性約束分段線性非光滑系統(tǒng)為研究對(duì)象，理論推導(dǎo)了系統(tǒng)n-1周期運(yùn)動(dòng)的存在條件;利用數(shù)值方法分析了系統(tǒng)周期共存現(xiàn)象，并利用線性反饋控制方法對(duì)系統(tǒng)共存吸引子進(jìn)行轉(zhuǎn)遷控制。通過吸引子轉(zhuǎn)遷控制可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的減振、混沌控制和分岔控制，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性。

1 力學(xué)模型及n-1周期運(yùn)動(dòng)的存在條件

6 結(jié)? 論

本文針對(duì)兩自由度含彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的吸引子共存現(xiàn)象，利用線性反饋控制方法對(duì)共存吸引子實(shí)現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)遷控制，同時(shí)對(duì)線性反饋控制方法的穩(wěn)定性和可行性進(jìn)行了分析，可以得到如下結(jié)論：

（1）在不改變?cè)到y(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)特性的情況下，基于原碰撞微分系統(tǒng)的線性反饋控制方法可實(shí)現(xiàn)吸引子之間的相互轉(zhuǎn)遷。吸引子之間的相互轉(zhuǎn)遷一方面可使系統(tǒng)工作在振幅較小的周期運(yùn)動(dòng)上;另一方面可控制擦邊、鞍結(jié)等分岔和混沌運(yùn)動(dòng)的發(fā)生，為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)控制提供新的思路。

（2）在共存吸引子相互轉(zhuǎn)遷過程中，應(yīng)選擇被控軌道和目標(biāo)軌道之間距離最小時(shí)開始施加控制;合理的控制參數(shù)可有效節(jié)省反饋控制力和控制時(shí)間。利用優(yōu)化算法對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化是本文繼續(xù)研究的方向。

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ZHAO Jianxue， YU Xiang， CHAI Kai， et al. Attractor migration control of a vibration isolation system with quasi zero stiffness[J]. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（22）： 220-224.

Abstract： In the premise of not changing periodic solutions to the original system and with considering multiple coexistent attractor in the vibro-impact system， attractor migration control of a two-degree-of-freedom vibro-impact system with soft constraints is studied by using the linear feedback control method. Firstly， the two-degree-of-freedom vibro-impact system with soft constraints is established， the existing condition of the? periodic impact motion is deduced. The stability， bifurcation and the cause of the multiple coexistent attractor of the system are analyzed by Floquet theory. Then， the numerical experiments verify that a reasonable linear feedback control method can effectively control the migration of different attractors in such non-smooth vibro-impact systems. Finally， the influence of different control positions and parameters on the control performance is discussed.

Key words： nonlineer vibration; nonsmooth systems; multiple coexistent attractor; linear feedback control; bifurcation

作者簡(jiǎn)介： 李得洋（1986?），男，講師。電話：18919195902;E-mail：lideyang666@163.com

通訊作者： 丁旺才（1964?），男，教授。電話：（0931）4956173;E-mail：Dingwc@mail.lzjtu.cn