數(shù)學(xué)魔方的立體與解析

華琴

（江西省九江金安高級(jí)中學(xué)，江西 九江 332000）

數(shù)學(xué)是一門玄妙而又有魅力的學(xué)科，在悠久的人類歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)無(wú)疑是一塊珍貴的瑰寶。數(shù)學(xué)是積累性學(xué)科，它是經(jīng)過(guò)上千年的演化發(fā)展才逐漸興盛起來(lái)，也反映每個(gè)時(shí)代的特征。從結(jié)繩計(jì)數(shù)到量子計(jì)算機(jī)，數(shù)學(xué)的應(yīng)用無(wú)所不在。在數(shù)學(xué)知識(shí)長(zhǎng)河中，立體幾何與解析幾何占據(jù)著舉足輕重的地位。數(shù)學(xué)魔方的立體與解析，讓我們一起走進(jìn)與探索。

立體幾何顧名思義，探索的是立體空間的奧妙。具體到高中階段，主要涉及空間的點(diǎn)、線、面、角之間的位置關(guān)系，只有真正理解搞明白了互相間位置關(guān)系的語(yǔ)言表達(dá)，相互的制約及判定，才會(huì)在運(yùn)用中得心應(yīng)手。除此之外，柱體、椎體、臺(tái)體、球體等立體圖形的研究也頗具吸引力。它們的體積、面積的公式表達(dá)及在習(xí)題和現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，都體現(xiàn)著立體幾何的美感與魅力。向量的概念和應(yīng)用為立體幾何的研究提供了更好的工具。學(xué)習(xí)立體幾何，空間的想象能力及分析運(yùn)用能力是很重要的。高中階段，認(rèn)真踏實(shí)的學(xué)好立體幾何，打好基礎(chǔ)，為了以后更深入的研究做好鋪墊。

詳細(xì)講解高中階段立體幾何的主要知識(shí)，有點(diǎn)、線、面、角之間的位置關(guān)系及相關(guān)的定理公式。平面的基本性質(zhì)；空間兩條直線位置關(guān)系（相交直線、平行直線、異面直線）。異面直線所成角問(wèn)題、直線與平面的位置關(guān)系（有一個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共點(diǎn)、有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）、平面與平面的位置關(guān)系（兩個(gè)平面平行、兩個(gè)平面相交）；直線與平面平行，直線與平面垂直等。柱體、圓柱體，椎體、圓錐體，圓臺(tái)，球體的體積與面積計(jì)算公式及靈活運(yùn)用。

三視圖、直觀圖也不容易小覷。三視圖是構(gòu)圖的基礎(chǔ)，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，三個(gè)不同的角度勾勒空間立體圖形。幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。如圖：

總結(jié)幾種常見(jiàn)立體圖形的三視圖，可以如下圖：

學(xué)會(huì)了科學(xué)制圖，才可以將現(xiàn)實(shí)中立體圖形反映到平面上。直觀圖利用斜二側(cè)的畫法，將空間圖形展現(xiàn)于平面之上，可謂妙哉美哉。

向量也是立體幾何中重要的一部分。既有方向又有大小的量叫作向量。向量的幾何表示、向量的運(yùn)算（加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算），向量的數(shù)量積等等。

當(dāng)把這些知識(shí)研究透徹以后，我們就為以后數(shù)學(xué)中立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)如搭建高層建筑，只有地基扎實(shí)，建筑才會(huì)經(jīng)得住考驗(yàn)。因此除了應(yīng)該靈活記憶掌握定理公式，明白定義及基本知識(shí)點(diǎn)，還應(yīng)該多多在習(xí)題中運(yùn)用實(shí)踐，反復(fù)研究與理解。

除了立體幾何，解析幾何也占據(jù)著一番天地。將空間圖形投射到數(shù)學(xué)公式及定理中，反映在數(shù)學(xué)的各種數(shù)字和符號(hào)中，這是一種怎樣的絕妙與聰慧。在高中的解析幾何中，主要涉及直線與方程、圓與方程、橢圓、雙曲線、拋物線等等。在解析幾何中，能體會(huì)到由一個(gè)立體圖形轉(zhuǎn)換成數(shù)字的快感與興奮。學(xué)好解析幾何可以輕松將幾何圖形在數(shù)字間轉(zhuǎn)化與分析，真正可以理論聯(lián)系實(shí)際。

直線與方程中，直線的幾種表達(dá)方式；直線的平行、相交、重合、垂直的特征，兩點(diǎn)間的距離公式等等，都需細(xì)細(xì)體會(huì)；圓與方程中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，直線與圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，兩圓的位置關(guān)系，空中兩點(diǎn)間距離公式。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的一系列特點(diǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)。雙曲線，拋物線也是如此。高中解析幾何掌握幾種基本圖形的數(shù)學(xué)表達(dá)很重要，除此之外還應(yīng)該學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。橢圓的相應(yīng)一些總結(jié)如圖：

以上的概論及簡(jiǎn)要展開(kāi)只是對(duì)數(shù)學(xué)魔方立體與解析的簡(jiǎn)單探討與示例，只有自己親自去思考，去學(xué)習(xí)，去摸索，才會(huì)掌握一套屬于自己的思維方式與知識(shí)體系，才會(huì)真正體會(huì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。所以，希望在簡(jiǎn)單示例及探討之后，會(huì)對(duì)讀者有所啟發(fā)啟示，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)道路上有所幫助。

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，只有真正掌握了數(shù)學(xué)的知識(shí)并且靈活運(yùn)用，才會(huì)在其他的學(xué)科和領(lǐng)域更好的發(fā)展。更重要的是培養(yǎng)一種理性的邏輯思維模式，這對(duì)一個(gè)人的成長(zhǎng)很重要。所以，很早就有著“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕的說(shuō)法”。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中指出：數(shù)學(xué)應(yīng)該不僅指數(shù)學(xué)知識(shí)，而尤其是數(shù)學(xué)的精神、思想、方法。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也無(wú)捷徑可以走，只有扎實(shí)踏實(shí)的記憶基本知識(shí)點(diǎn)及定理公式，并在習(xí)題和實(shí)踐中反復(fù)應(yīng)用，才會(huì)有更深的體會(huì)和理解，正如哲學(xué)中所體現(xiàn)的，在反復(fù)實(shí)踐和理性思維總結(jié)中曲折前進(jìn)。遵循客觀規(guī)律，好好學(xué)習(xí)基本知識(shí)，為將來(lái)的生活和學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)的魅力滲透在生活的方方面面。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)漫長(zhǎng)而久遠(yuǎn)，吾將上下有求索，讓大家一起努力，為數(shù)學(xué)魔方中的立體與解析貢獻(xiàn)一份自己微薄的力量。