空間機(jī)器人的可變?cè)鲆婊？刂品椒?/h1>
2021-06-15 01:07:54史玲玲李朝將
哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) 2021年7期
史玲玲， 姚 鶴，金 鑫，李朝將
(北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081)
隨著空間技術(shù)和機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，空間機(jī)器人成為實(shí)現(xiàn)在軌服務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)途徑?？臻g機(jī)器人在軌捕獲目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)在軌服務(wù)的基本環(huán)節(jié)，例如利用空間機(jī)器人捕獲空間碎片、待維修航天器、待裝配零部件等。其主要涉及4個(gè)基本階段，即觀測(cè)、接近、抓捕和抓捕后系統(tǒng)的自穩(wěn)定。在接近目標(biāo)的過(guò)程中，空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制精度決定了其能否成功捕獲目標(biāo)。由于微重力環(huán)境下空間機(jī)器人基座和機(jī)械臂之間存在著動(dòng)力學(xué)耦合，且太空中存在各種干擾力/力矩的作用，使得空間機(jī)器人系統(tǒng)的控制問(wèn)題變得十分復(fù)雜。
針對(duì)空間機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究?？刂撇呗钥煞譃閮煞N方式，即基座最小干擾控制和主動(dòng)控制。第一種方式主要是通過(guò)使空間機(jī)器人的機(jī)械臂按特定的軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，從而減小對(duì)基座姿態(tài)的干擾，如文獻(xiàn)[1-3]。然而，要實(shí)現(xiàn)空間機(jī)器人按期望的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)，同時(shí)對(duì)基座無(wú)干擾，往往以機(jī)械臂的冗余自由度為前提，從而造成了機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和高成本。因此，在空間機(jī)器人機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，通過(guò)推進(jìn)器或飛輪對(duì)基座實(shí)施姿態(tài)的主動(dòng)控制十分必要。
基于準(zhǔn)確的空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，PID控制和非線性控制方法被應(yīng)用于空間機(jī)器人的主動(dòng)運(yùn)動(dòng)控制[4-8]，然而，實(shí)際空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)很難準(zhǔn)確給出，且必須考慮太空環(huán)境的干擾。針對(duì)系統(tǒng)的不確定性問(wèn)題，自適應(yīng)控制方法通過(guò)實(shí)時(shí)更新控制參數(shù)來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，被廣泛應(yīng)用于空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制[9-15]。此外，滑?？刂瓶筛鶕?jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性設(shè)計(jì)滑模面，從而約束運(yùn)動(dòng)誤差至滑模面并沿其收斂到原點(diǎn)，被應(yīng)用于系統(tǒng)參數(shù)不確定情況下的控制問(wèn)題。但由于控制輸入的不連續(xù)性，傳統(tǒng)的滑模控制會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生抖振，該現(xiàn)象可能會(huì)造成系統(tǒng)共振甚至結(jié)構(gòu)性破壞。為了解決該問(wèn)題，二階滑?？刂破鞅粦?yīng)用于空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制[16-18]。文獻(xiàn)[19]將一種基于滑模控制思想的魯棒控制器用于非合作目標(biāo)的抓捕過(guò)程。文獻(xiàn)[20-22]通過(guò)滑?？刂茖?shí)現(xiàn)了繩系空間機(jī)器人對(duì)空間碎片的抓捕。針對(duì)控制力矩陀螺驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)器人的軌跡追蹤問(wèn)題，文獻(xiàn)[23]提出了一種自適應(yīng)滑?？刂品椒?，但該控制器不能應(yīng)用于控制參數(shù)閾值不確定的情形。陳力等[24]針對(duì)漂浮基空間機(jī)器人雙臂捕獲航天器后系統(tǒng)鎮(zhèn)定力和運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了閉鏈混合體系統(tǒng)夾持操作的鎮(zhèn)定運(yùn)動(dòng)力/位置模糊滑?？刂品桨浮Ｈ欢?，滑?？刂扑惴ㄔ诰S持良好魯棒性的同時(shí)，往往需要較大的非確定控制力矩，且很難確保很高的控制精度。
本文針對(duì)系統(tǒng)不確定性和干擾存在的背景，基于滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制思想，為了克服傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖诙墩瘳F(xiàn)象和精度較低的特點(diǎn)，引入可變?cè)鲆妫鶕?jù)空間機(jī)器人的不確定度和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)其進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，提高了控制精度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)空間機(jī)器人基座姿態(tài)和機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的協(xié)同控制。此外，應(yīng)用Simscape Multibody軟件模塊，通過(guò)與空間機(jī)器人三維模型運(yùn)動(dòng)輸出進(jìn)行對(duì)比，完成了理論動(dòng)力學(xué)模型準(zhǔn)確性的驗(yàn)證，并實(shí)現(xiàn)了空間機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的可視化。在此基礎(chǔ)上，將提出的控制算法作用于空間機(jī)器人三維模型，通過(guò)與傳統(tǒng)計(jì)算力矩法進(jìn)行對(duì)比，證明了該算法具有很好的魯棒性和更高的控制精度。
1 空間機(jī)器人系統(tǒng)模型
1.1 場(chǎng)景描述
本文主要研究空間機(jī)器人接近待捕獲目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其基座姿態(tài)和機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的協(xié)同控制算法。如圖1所示，空間機(jī)器人主要由可移動(dòng)基座和多自由度機(jī)械臂組成。場(chǎng)景的具體描述如下：
圖1 空間機(jī)器人模型
1)機(jī)械臂由旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接的n個(gè)剛性連桿組成，則空間機(jī)器人可看作由n+1個(gè)單體串聯(lián)而成的剛體，i=0表示空間機(jī)器人的基座，i=1至n代表連桿。因此，空間機(jī)器人有n+6個(gè)自由度，其中n個(gè)自由度表示機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)，其余6個(gè)自由度表示基座的位姿。圖中空間機(jī)器人的各參數(shù)定義如表1所示。
表1 空間機(jī)器人參數(shù)及其含義
2)在接近目標(biāo)的過(guò)程中，空間機(jī)器人基座的位置不受控制，且目標(biāo)始終保持在空間機(jī)器人的工作空間內(nèi)。
3)推進(jìn)器在接近目標(biāo)的過(guò)程中不點(diǎn)火，基座的姿態(tài)由飛輪進(jìn)行調(diào)整，作用于系統(tǒng)的外部力/力矩可忽略不計(jì)，線動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律均成立。
1.2 空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型
令ΦS=[α,β,γ]T代表基座的姿態(tài)，ΦM=[Φ1,Φ2…Φn]T代表機(jī)械臂關(guān)節(jié)的角度，Φ=[ΦST,ΦMT]T代表廣義坐標(biāo)，τ=[τx,τy,τz,τ1,τ2,…,τn]T代表基座姿態(tài)調(diào)整力矩和關(guān)節(jié)輸入力矩，根據(jù)拉格朗日法，得到空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程如下:
(1)
(2)
將狀態(tài)方程(2)寫(xiě)成如下形式:
f′(e,t)+g(e)τ
(3)
(4)
(5)
2 控制器設(shè)計(jì)
此部分內(nèi)容旨在開(kāi)發(fā)相應(yīng)的控制算法以控制空間機(jī)器人以期望的軌跡運(yùn)動(dòng)?？紤]到控制力矩法是經(jīng)典的實(shí)用的控制方法，通過(guò)調(diào)節(jié)控制參數(shù)可達(dá)到較好的控制精度和誤差收斂速度，目前仍被廣泛應(yīng)用。因此，為了給本文提出的可變?cè)鲆婊？刂破魈峁﹨⒄?，基于?jì)算力矩法設(shè)計(jì)的控制器在下文中也進(jìn)行了簡(jiǎn)要的介紹。
2.1 計(jì)算力矩法
由于傳統(tǒng)的PID算法難以直接應(yīng)用于空間機(jī)器人這種強(qiáng)非線性系統(tǒng)，可采用計(jì)算力矩法來(lái)設(shè)計(jì)控制方案。其基本思路是：首先在控制回路中引入一非線性控制，使空間機(jī)器人系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)變?yōu)楦子诳刂频木€性定常系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)PID控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制。具體步驟如下：
首先引入控制律
(6)
式中u為引入的中間變量，將上式代入到空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程(1)中，有
(7)
由于H可逆，故上式等價(jià)于一個(gè)解耦的線性定常系統(tǒng)
(8)
當(dāng)期望軌跡Φd給定時(shí)，引入如下的PID控制律：
(9)
式中：Kd、Kp均為具有正實(shí)數(shù)元素的對(duì)角陣。結(jié)合式(9)和式(10)，可得
(10)
綜上，根據(jù)計(jì)算力矩法，得到的控制律的完整表達(dá)式為
(11)
2.2 帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破?/h3>
2.2.1 滑模面的設(shè)計(jì)
一個(gè)合適的滑模面應(yīng)當(dāng)確保系統(tǒng)方程一旦到達(dá)滑模面，誤差向量就能收斂到0。定義滑模面的方程為
(12)
式中：p=2，S∈R(n+3)×2(n+3)定義為
式中：Λ∈R(n+3)×(n+3)是對(duì)角線元素為λi的對(duì)角陣，I∈R(n+3)×(n+3)是單位陣。
2.2.2 控制律的推導(dǎo)
i=1,2,…,n+3
(13)
定理1在式(13)所示控制律的作用下，系統(tǒng)能夠到達(dá)并且保持在滑模面σ(e)=0上。
證 明令李雅普諾夫方程為
(14)
則當(dāng)σ≠0時(shí)滿足V>0。求滑模面函數(shù)(12)相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得
(15)
則李雅普諾夫方程的微分形式為
(16)
(17)
(18)
ki=Δfi+Δhi+αri>0
(19)
式中：αri>0為一值很小的正實(shí)數(shù)。
綜上，考慮系統(tǒng)不確定性的控制力矩可以表示為
(20)
定理2在考慮系統(tǒng)不確定性的條件下，式(20)所示的控制律能夠保證系統(tǒng)到達(dá)且保持在滑模面σ(e)=0上。
證 明將式(20)代入到李雅普諾夫函數(shù)的微分表達(dá)式(16)，則
(21)
實(shí)際上，為了節(jié)省發(fā)射時(shí)的燃料消耗，空間機(jī)器人應(yīng)優(yōu)先設(shè)計(jì)為輕量級(jí)結(jié)構(gòu)，從而其結(jié)構(gòu)會(huì)呈現(xiàn)一定的柔性。由于控制力矩中函數(shù)sgn(x)的引入，會(huì)使得驅(qū)動(dòng)力矩呈現(xiàn)正負(fù)值的頻繁轉(zhuǎn)換從而引起電機(jī)的振動(dòng)，進(jìn)而可能導(dǎo)致系統(tǒng)部件之間的共振，甚至破壞系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。為了消除此種現(xiàn)象，將sgn(x)函數(shù)替換成sat(x)函數(shù)，其表達(dá)式為
(22)
式中：ε為一個(gè)很小的正值。則控制律的最終表達(dá)式為
(23)
3 仿真校驗(yàn)
本節(jié)主要基于Simulink中的物理仿真工具Simscape Multibody，其支持由CAD軟件構(gòu)建的三維模型的導(dǎo)入，并能輸入特定的控制信號(hào)，從而進(jìn)行對(duì)空間機(jī)器人的理論動(dòng)力學(xué)模型和控制算法的驗(yàn)證。
3.1 空間機(jī)器人理論動(dòng)力學(xué)模型的驗(yàn)證
圖2 理論動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證示意圖
空間機(jī)器人由基座、連桿、關(guān)節(jié)電機(jī)、減速器、聯(lián)軸器等組成，其三維模型和參數(shù)分別如圖3和表2所示?？臻g機(jī)器人的理論動(dòng)力學(xué)模型中的慣量矩陣和非線性項(xiàng)通過(guò)MATLAB進(jìn)行推導(dǎo)獲得。Simscape 自身具有三維建模功能，但是一般適用于建立較為簡(jiǎn)單的模型。本文所涉及的空間機(jī)器人結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，在Simscape建模相對(duì)繁瑣且效率低下。因此，選擇在專業(yè)的三維建模軟件SolidWorks中建立模型，通過(guò)Simscape Multibody與SolidWorks的接口模塊，將裝配體格式的空間機(jī)器人三維模型轉(zhuǎn)換為xml格式，再導(dǎo)入到Simscape Multibody建立的模型中。
圖3 空間機(jī)器人的三維模型及坐標(biāo)系定義
表2 空間機(jī)器人的參數(shù)
仿真環(huán)境配置的主要步驟如下：
1)設(shè)置環(huán)境參數(shù)，如重力、基礎(chǔ)坐標(biāo)系、傳感器測(cè)量坐標(biāo)系等。
2)定義關(guān)節(jié)。在將機(jī)器人從 SolidWorks中導(dǎo)入Simscape后，機(jī)器人各部件之間的連接方式為固定連接。因此需要根據(jù)機(jī)器人的構(gòu)型添加相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。另外，在添加相應(yīng)關(guān)節(jié)時(shí)，需要明確機(jī)器人各關(guān)節(jié)間的坐標(biāo)變換關(guān)系，設(shè)置合適的變換參數(shù)。
3)對(duì)空間機(jī)器人的關(guān)節(jié)施加相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)，主要包括位置驅(qū)動(dòng)和力矩驅(qū)動(dòng)，由于本文中的控制輸入信號(hào)為力矩，所以此處只涉及力矩驅(qū)動(dòng)。
4)設(shè)置空間機(jī)器人的傳感器，主要包括關(guān)節(jié)位置、角速度、角加速度的測(cè)量。
空間機(jī)器人的期望軌跡通過(guò)五次多項(xiàng)式進(jìn)行規(guī)劃，其表達(dá)式為
(24)
其中初始角度為Φ(0)=[0,0,0,0,0,0]T，終止角度為Φ(tf)=[0,0,0,-10°,20°,30°]T，tf=15 s為從初始角度運(yùn)動(dòng)到終止角度的所需時(shí)間，tn=t/tf。
基于上述條件，進(jìn)行理論動(dòng)力學(xué)模型的仿真驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，觀察空間機(jī)器人理論模型和三維模型的運(yùn)動(dòng)輸出。如圖4所示，理論模型能夠按照預(yù)期的關(guān)節(jié)軌跡值運(yùn)動(dòng)，三維模型的角度輸出和預(yù)期軌跡的最大誤差出現(xiàn)在基座俯仰姿態(tài)的跟蹤上，誤差值約為0.3°，誤差較小，在可接受的范圍內(nèi)。誤差的產(chǎn)生主要是由于在推導(dǎo)理論模型的過(guò)程中對(duì)極小項(xiàng)的忽略。綜上，仿真結(jié)果表明了空間機(jī)器人的理論動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，為接下來(lái)的控制律驗(yàn)證部分奠定了基礎(chǔ)。
圖4 理論動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證
3.2 控制算法的驗(yàn)證
控制算法的驗(yàn)證思路如圖5所示：規(guī)劃期望運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)空間機(jī)器人的理論模型和控制算法計(jì)算所需力矩，將其輸入到三維模型中，測(cè)量空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)輸出，并將其反饋到控制器中，最后計(jì)算實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和期望軌跡的誤差。
圖5 控制算法驗(yàn)證示意圖
本節(jié)主要對(duì)以下兩種運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景進(jìn)行仿真：
1)多關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)；
2)系統(tǒng)參數(shù)不確定條件下控制算法的魯棒性驗(yàn)證。相關(guān)控制參數(shù)如表3所示。
表3 控制參數(shù)
3.2.1 多關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)
空間機(jī)器人的初始角度為Φ(0)=[0,0,0,0,0,0]T，令終止角度Φ(tf)=[0,0,0,30°,45°,60°]T，tf=15 s，期望軌跡表達(dá)式同式(24)。圖6和圖7分別表示在給定期望運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，空間機(jī)器人的軌跡跟蹤效果和軌跡跟蹤誤差。
由圖6和圖7可以看出，在計(jì)算力矩法(Computed Torque Control, CTC)和可變?cè)鲆婊？刂破?Adaptive Sliding Mode Control, ASMC)的作用下，空間機(jī)器人都能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤，跟蹤誤差分別控制在10-3deg和10-5deg以內(nèi)，計(jì)算力矩法的收斂時(shí)間約為18 s，而ASMC算法的收斂時(shí)間約為15 s。因此，本文提出的控制算法控制精度較高，且收斂速度較快。
圖6 多關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)CTC和ASMC的軌跡跟蹤效果
3.2.2 魯棒性驗(yàn)證
為了驗(yàn)證算法的魯棒性，本文利用加入高斯噪聲作為干擾的方法來(lái)模擬系統(tǒng)參數(shù)不確定時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)。令d=N(0,0.000 12)Nm，高斯噪聲D=[d,d,d,d,d,d]T，作用時(shí)間為20 s，其余相關(guān)設(shè)定同3.2.1。
圖8和圖9分別表示基于上述條件，兩種控制器作用下空間機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力矩和軌跡跟蹤誤差。結(jié)果表明，無(wú)論是計(jì)算力矩法還是帶有可變?cè)鲆娴幕？刂扑惴ǘ寄軌蚴箍臻g機(jī)器人的關(guān)節(jié)角收斂到期望值，并保持基座的三個(gè)姿態(tài)角基本不變，說(shuō)明兩種控制器均具有很好的魯棒性。但相比之下，帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破鞯能壽E跟蹤誤差比計(jì)算力矩法的軌跡跟蹤誤差小，且收斂速度快。
圖9 高斯噪聲作用下的軌跡跟蹤誤差
圖8 高斯噪聲作用下的控制力矩
4 結(jié) 論
本文針對(duì)空間機(jī)器人捕獲目標(biāo)過(guò)程中的魯棒運(yùn)動(dòng)控制算法進(jìn)行了研究。文中推導(dǎo)了空間機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)不確定時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程，基于該動(dòng)力學(xué)模型提出了具有可變?cè)鲆娴幕？刂扑惴?，并通過(guò)Simscape Multibody軟件模塊對(duì)空間機(jī)器人的理論模型和控制算法進(jìn)行了驗(yàn)證。
仿真結(jié)果表明，基于經(jīng)典的計(jì)算力矩法控制器和本文提出的帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破鳎梢詫?shí)現(xiàn)對(duì)空間機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的軌跡跟蹤，跟蹤誤差分別控制在10-3deg和10-5deg以內(nèi)，誤差收斂時(shí)間分別約為18 s和15 s，證明了帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破鞯目刂凭缺葌鹘y(tǒng)的計(jì)算力矩法精度高，且誤差收斂速度快。在系統(tǒng)參數(shù)不確定且存在外部干擾力矩的情況下，帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破鞒尸F(xiàn)出很好的魯棒性，并在運(yùn)動(dòng)控制精度和誤差收斂速度方面依舊優(yōu)于經(jīng)典的計(jì)算力矩控制器。
本文提出的控制器適用于對(duì)運(yùn)動(dòng)控制精度和速度要求較高、系統(tǒng)具有不確定性的場(chǎng)合。但需說(shuō)明的是，本文的運(yùn)動(dòng)控制局限于關(guān)節(jié)空間，后續(xù)應(yīng)拓展到任務(wù)空間。此外，本文的繼承性工作還包括以近年來(lái)空間機(jī)器人的自適應(yīng)滑模控制方法為參照，用以評(píng)價(jià)本文提出的控制器性能的優(yōu)劣。
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史玲玲， 姚 鶴，金 鑫，李朝將
(北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081)
隨著空間技術(shù)和機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，空間機(jī)器人成為實(shí)現(xiàn)在軌服務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)途徑?？臻g機(jī)器人在軌捕獲目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)在軌服務(wù)的基本環(huán)節(jié)，例如利用空間機(jī)器人捕獲空間碎片、待維修航天器、待裝配零部件等。其主要涉及4個(gè)基本階段，即觀測(cè)、接近、抓捕和抓捕后系統(tǒng)的自穩(wěn)定。在接近目標(biāo)的過(guò)程中，空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制精度決定了其能否成功捕獲目標(biāo)。由于微重力環(huán)境下空間機(jī)器人基座和機(jī)械臂之間存在著動(dòng)力學(xué)耦合，且太空中存在各種干擾力/力矩的作用，使得空間機(jī)器人系統(tǒng)的控制問(wèn)題變得十分復(fù)雜。
針對(duì)空間機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究?？刂撇呗钥煞譃閮煞N方式，即基座最小干擾控制和主動(dòng)控制。第一種方式主要是通過(guò)使空間機(jī)器人的機(jī)械臂按特定的軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，從而減小對(duì)基座姿態(tài)的干擾，如文獻(xiàn)[1-3]。然而，要實(shí)現(xiàn)空間機(jī)器人按期望的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)，同時(shí)對(duì)基座無(wú)干擾，往往以機(jī)械臂的冗余自由度為前提，從而造成了機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和高成本。因此，在空間機(jī)器人機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，通過(guò)推進(jìn)器或飛輪對(duì)基座實(shí)施姿態(tài)的主動(dòng)控制十分必要。
基于準(zhǔn)確的空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，PID控制和非線性控制方法被應(yīng)用于空間機(jī)器人的主動(dòng)運(yùn)動(dòng)控制[4-8]，然而，實(shí)際空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)很難準(zhǔn)確給出，且必須考慮太空環(huán)境的干擾。針對(duì)系統(tǒng)的不確定性問(wèn)題，自適應(yīng)控制方法通過(guò)實(shí)時(shí)更新控制參數(shù)來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，被廣泛應(yīng)用于空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制[9-15]。此外，滑?？刂瓶筛鶕?jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性設(shè)計(jì)滑模面，從而約束運(yùn)動(dòng)誤差至滑模面并沿其收斂到原點(diǎn)，被應(yīng)用于系統(tǒng)參數(shù)不確定情況下的控制問(wèn)題。但由于控制輸入的不連續(xù)性，傳統(tǒng)的滑模控制會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生抖振，該現(xiàn)象可能會(huì)造成系統(tǒng)共振甚至結(jié)構(gòu)性破壞。為了解決該問(wèn)題，二階滑?？刂破鞅粦?yīng)用于空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制[16-18]。文獻(xiàn)[19]將一種基于滑模控制思想的魯棒控制器用于非合作目標(biāo)的抓捕過(guò)程。文獻(xiàn)[20-22]通過(guò)滑?？刂茖?shí)現(xiàn)了繩系空間機(jī)器人對(duì)空間碎片的抓捕。針對(duì)控制力矩陀螺驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)器人的軌跡追蹤問(wèn)題，文獻(xiàn)[23]提出了一種自適應(yīng)滑?？刂品椒?，但該控制器不能應(yīng)用于控制參數(shù)閾值不確定的情形。陳力等[24]針對(duì)漂浮基空間機(jī)器人雙臂捕獲航天器后系統(tǒng)鎮(zhèn)定力和運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了閉鏈混合體系統(tǒng)夾持操作的鎮(zhèn)定運(yùn)動(dòng)力/位置模糊滑?？刂品桨浮Ｈ欢?，滑?？刂扑惴ㄔ诰S持良好魯棒性的同時(shí)，往往需要較大的非確定控制力矩，且很難確保很高的控制精度。
本文針對(duì)系統(tǒng)不確定性和干擾存在的背景，基于滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制思想，為了克服傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖诙墩瘳F(xiàn)象和精度較低的特點(diǎn)，引入可變?cè)鲆妫鶕?jù)空間機(jī)器人的不確定度和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)其進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，提高了控制精度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)空間機(jī)器人基座姿態(tài)和機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的協(xié)同控制。此外，應(yīng)用Simscape Multibody軟件模塊，通過(guò)與空間機(jī)器人三維模型運(yùn)動(dòng)輸出進(jìn)行對(duì)比，完成了理論動(dòng)力學(xué)模型準(zhǔn)確性的驗(yàn)證，并實(shí)現(xiàn)了空間機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的可視化。在此基礎(chǔ)上，將提出的控制算法作用于空間機(jī)器人三維模型，通過(guò)與傳統(tǒng)計(jì)算力矩法進(jìn)行對(duì)比，證明了該算法具有很好的魯棒性和更高的控制精度。
1 空間機(jī)器人系統(tǒng)模型
1.1 場(chǎng)景描述
本文主要研究空間機(jī)器人接近待捕獲目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其基座姿態(tài)和機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的協(xié)同控制算法。如圖1所示，空間機(jī)器人主要由可移動(dòng)基座和多自由度機(jī)械臂組成。場(chǎng)景的具體描述如下：
圖1 空間機(jī)器人模型
1)機(jī)械臂由旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接的n個(gè)剛性連桿組成，則空間機(jī)器人可看作由n+1個(gè)單體串聯(lián)而成的剛體，i=0表示空間機(jī)器人的基座，i=1至n代表連桿。因此，空間機(jī)器人有n+6個(gè)自由度，其中n個(gè)自由度表示機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)，其余6個(gè)自由度表示基座的位姿。圖中空間機(jī)器人的各參數(shù)定義如表1所示。
表1 空間機(jī)器人參數(shù)及其含義
2)在接近目標(biāo)的過(guò)程中，空間機(jī)器人基座的位置不受控制，且目標(biāo)始終保持在空間機(jī)器人的工作空間內(nèi)。
3)推進(jìn)器在接近目標(biāo)的過(guò)程中不點(diǎn)火，基座的姿態(tài)由飛輪進(jìn)行調(diào)整，作用于系統(tǒng)的外部力/力矩可忽略不計(jì)，線動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律均成立。
1.2 空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型
令ΦS=[α,β,γ]T代表基座的姿態(tài)，ΦM=[Φ1,Φ2…Φn]T代表機(jī)械臂關(guān)節(jié)的角度，Φ=[ΦST,ΦMT]T代表廣義坐標(biāo)，τ=[τx,τy,τz,τ1,τ2,…,τn]T代表基座姿態(tài)調(diào)整力矩和關(guān)節(jié)輸入力矩，根據(jù)拉格朗日法，得到空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程如下:
(1)
(2)
將狀態(tài)方程(2)寫(xiě)成如下形式:
f′(e,t)+g(e)τ
(3)
(4)
(5)
2 控制器設(shè)計(jì)
此部分內(nèi)容旨在開(kāi)發(fā)相應(yīng)的控制算法以控制空間機(jī)器人以期望的軌跡運(yùn)動(dòng)?？紤]到控制力矩法是經(jīng)典的實(shí)用的控制方法，通過(guò)調(diào)節(jié)控制參數(shù)可達(dá)到較好的控制精度和誤差收斂速度，目前仍被廣泛應(yīng)用。因此，為了給本文提出的可變?cè)鲆婊？刂破魈峁﹨⒄?，基于?jì)算力矩法設(shè)計(jì)的控制器在下文中也進(jìn)行了簡(jiǎn)要的介紹。
2.1 計(jì)算力矩法
由于傳統(tǒng)的PID算法難以直接應(yīng)用于空間機(jī)器人這種強(qiáng)非線性系統(tǒng)，可采用計(jì)算力矩法來(lái)設(shè)計(jì)控制方案。其基本思路是：首先在控制回路中引入一非線性控制，使空間機(jī)器人系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)變?yōu)楦子诳刂频木€性定常系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)PID控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制。具體步驟如下：
首先引入控制律
(6)
式中u為引入的中間變量，將上式代入到空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程(1)中，有
(7)
由于H可逆，故上式等價(jià)于一個(gè)解耦的線性定常系統(tǒng)
(8)
當(dāng)期望軌跡Φd給定時(shí)，引入如下的PID控制律：
(9)
式中：Kd、Kp均為具有正實(shí)數(shù)元素的對(duì)角陣。結(jié)合式(9)和式(10)，可得
(10)
綜上，根據(jù)計(jì)算力矩法，得到的控制律的完整表達(dá)式為
(11)
2.2 帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破?/h3>
2.2.1 滑模面的設(shè)計(jì)
一個(gè)合適的滑模面應(yīng)當(dāng)確保系統(tǒng)方程一旦到達(dá)滑模面，誤差向量就能收斂到0。定義滑模面的方程為
(12)
式中：p=2，S∈R(n+3)×2(n+3)定義為
式中：Λ∈R(n+3)×(n+3)是對(duì)角線元素為λi的對(duì)角陣，I∈R(n+3)×(n+3)是單位陣。
2.2.2 控制律的推導(dǎo)
i=1,2,…,n+3
(13)
定理1在式(13)所示控制律的作用下，系統(tǒng)能夠到達(dá)并且保持在滑模面σ(e)=0上。
證 明令李雅普諾夫方程為
(14)
則當(dāng)σ≠0時(shí)滿足V>0。求滑模面函數(shù)(12)相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得
(15)
則李雅普諾夫方程的微分形式為
(16)
(17)
(18)
ki=Δfi+Δhi+αri>0
(19)
式中：αri>0為一值很小的正實(shí)數(shù)。
綜上，考慮系統(tǒng)不確定性的控制力矩可以表示為
(20)
定理2在考慮系統(tǒng)不確定性的條件下，式(20)所示的控制律能夠保證系統(tǒng)到達(dá)且保持在滑模面σ(e)=0上。
證 明將式(20)代入到李雅普諾夫函數(shù)的微分表達(dá)式(16)，則
(21)
實(shí)際上，為了節(jié)省發(fā)射時(shí)的燃料消耗，空間機(jī)器人應(yīng)優(yōu)先設(shè)計(jì)為輕量級(jí)結(jié)構(gòu)，從而其結(jié)構(gòu)會(huì)呈現(xiàn)一定的柔性。由于控制力矩中函數(shù)sgn(x)的引入，會(huì)使得驅(qū)動(dòng)力矩呈現(xiàn)正負(fù)值的頻繁轉(zhuǎn)換從而引起電機(jī)的振動(dòng)，進(jìn)而可能導(dǎo)致系統(tǒng)部件之間的共振，甚至破壞系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。為了消除此種現(xiàn)象，將sgn(x)函數(shù)替換成sat(x)函數(shù)，其表達(dá)式為
(22)
式中：ε為一個(gè)很小的正值。則控制律的最終表達(dá)式為
(23)
3 仿真校驗(yàn)
本節(jié)主要基于Simulink中的物理仿真工具Simscape Multibody，其支持由CAD軟件構(gòu)建的三維模型的導(dǎo)入，并能輸入特定的控制信號(hào)，從而進(jìn)行對(duì)空間機(jī)器人的理論動(dòng)力學(xué)模型和控制算法的驗(yàn)證。
3.1 空間機(jī)器人理論動(dòng)力學(xué)模型的驗(yàn)證
圖2 理論動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證示意圖
空間機(jī)器人由基座、連桿、關(guān)節(jié)電機(jī)、減速器、聯(lián)軸器等組成，其三維模型和參數(shù)分別如圖3和表2所示?？臻g機(jī)器人的理論動(dòng)力學(xué)模型中的慣量矩陣和非線性項(xiàng)通過(guò)MATLAB進(jìn)行推導(dǎo)獲得。Simscape 自身具有三維建模功能，但是一般適用于建立較為簡(jiǎn)單的模型。本文所涉及的空間機(jī)器人結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，在Simscape建模相對(duì)繁瑣且效率低下。因此，選擇在專業(yè)的三維建模軟件SolidWorks中建立模型，通過(guò)Simscape Multibody與SolidWorks的接口模塊，將裝配體格式的空間機(jī)器人三維模型轉(zhuǎn)換為xml格式，再導(dǎo)入到Simscape Multibody建立的模型中。
圖3 空間機(jī)器人的三維模型及坐標(biāo)系定義
表2 空間機(jī)器人的參數(shù)
仿真環(huán)境配置的主要步驟如下：
1)設(shè)置環(huán)境參數(shù)，如重力、基礎(chǔ)坐標(biāo)系、傳感器測(cè)量坐標(biāo)系等。
2)定義關(guān)節(jié)。在將機(jī)器人從 SolidWorks中導(dǎo)入Simscape后，機(jī)器人各部件之間的連接方式為固定連接。因此需要根據(jù)機(jī)器人的構(gòu)型添加相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。另外，在添加相應(yīng)關(guān)節(jié)時(shí)，需要明確機(jī)器人各關(guān)節(jié)間的坐標(biāo)變換關(guān)系，設(shè)置合適的變換參數(shù)。
3)對(duì)空間機(jī)器人的關(guān)節(jié)施加相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)，主要包括位置驅(qū)動(dòng)和力矩驅(qū)動(dòng)，由于本文中的控制輸入信號(hào)為力矩，所以此處只涉及力矩驅(qū)動(dòng)。
4)設(shè)置空間機(jī)器人的傳感器，主要包括關(guān)節(jié)位置、角速度、角加速度的測(cè)量。
空間機(jī)器人的期望軌跡通過(guò)五次多項(xiàng)式進(jìn)行規(guī)劃，其表達(dá)式為
(24)
其中初始角度為Φ(0)=[0,0,0,0,0,0]T，終止角度為Φ(tf)=[0,0,0,-10°,20°,30°]T，tf=15 s為從初始角度運(yùn)動(dòng)到終止角度的所需時(shí)間，tn=t/tf。
基于上述條件，進(jìn)行理論動(dòng)力學(xué)模型的仿真驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，觀察空間機(jī)器人理論模型和三維模型的運(yùn)動(dòng)輸出。如圖4所示，理論模型能夠按照預(yù)期的關(guān)節(jié)軌跡值運(yùn)動(dòng)，三維模型的角度輸出和預(yù)期軌跡的最大誤差出現(xiàn)在基座俯仰姿態(tài)的跟蹤上，誤差值約為0.3°，誤差較小，在可接受的范圍內(nèi)。誤差的產(chǎn)生主要是由于在推導(dǎo)理論模型的過(guò)程中對(duì)極小項(xiàng)的忽略。綜上，仿真結(jié)果表明了空間機(jī)器人的理論動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，為接下來(lái)的控制律驗(yàn)證部分奠定了基礎(chǔ)。
圖4 理論動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證
3.2 控制算法的驗(yàn)證
控制算法的驗(yàn)證思路如圖5所示：規(guī)劃期望運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)空間機(jī)器人的理論模型和控制算法計(jì)算所需力矩，將其輸入到三維模型中，測(cè)量空間機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)輸出，并將其反饋到控制器中，最后計(jì)算實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和期望軌跡的誤差。
圖5 控制算法驗(yàn)證示意圖
本節(jié)主要對(duì)以下兩種運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景進(jìn)行仿真：
1)多關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)；
2)系統(tǒng)參數(shù)不確定條件下控制算法的魯棒性驗(yàn)證。相關(guān)控制參數(shù)如表3所示。
表3 控制參數(shù)
3.2.1 多關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)
空間機(jī)器人的初始角度為Φ(0)=[0,0,0,0,0,0]T，令終止角度Φ(tf)=[0,0,0,30°,45°,60°]T，tf=15 s，期望軌跡表達(dá)式同式(24)。圖6和圖7分別表示在給定期望運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，空間機(jī)器人的軌跡跟蹤效果和軌跡跟蹤誤差。
由圖6和圖7可以看出，在計(jì)算力矩法(Computed Torque Control, CTC)和可變?cè)鲆婊？刂破?Adaptive Sliding Mode Control, ASMC)的作用下，空間機(jī)器人都能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤，跟蹤誤差分別控制在10-3deg和10-5deg以內(nèi)，計(jì)算力矩法的收斂時(shí)間約為18 s，而ASMC算法的收斂時(shí)間約為15 s。因此，本文提出的控制算法控制精度較高，且收斂速度較快。
圖6 多關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)CTC和ASMC的軌跡跟蹤效果
3.2.2 魯棒性驗(yàn)證
為了驗(yàn)證算法的魯棒性，本文利用加入高斯噪聲作為干擾的方法來(lái)模擬系統(tǒng)參數(shù)不確定時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)。令d=N(0,0.000 12)Nm，高斯噪聲D=[d,d,d,d,d,d]T，作用時(shí)間為20 s，其余相關(guān)設(shè)定同3.2.1。
圖8和圖9分別表示基于上述條件，兩種控制器作用下空間機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力矩和軌跡跟蹤誤差。結(jié)果表明，無(wú)論是計(jì)算力矩法還是帶有可變?cè)鲆娴幕？刂扑惴ǘ寄軌蚴箍臻g機(jī)器人的關(guān)節(jié)角收斂到期望值，并保持基座的三個(gè)姿態(tài)角基本不變，說(shuō)明兩種控制器均具有很好的魯棒性。但相比之下，帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破鞯能壽E跟蹤誤差比計(jì)算力矩法的軌跡跟蹤誤差小，且收斂速度快。
圖9 高斯噪聲作用下的軌跡跟蹤誤差
圖8 高斯噪聲作用下的控制力矩
4 結(jié) 論
本文針對(duì)空間機(jī)器人捕獲目標(biāo)過(guò)程中的魯棒運(yùn)動(dòng)控制算法進(jìn)行了研究。文中推導(dǎo)了空間機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)不確定時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程，基于該動(dòng)力學(xué)模型提出了具有可變?cè)鲆娴幕？刂扑惴?，并通過(guò)Simscape Multibody軟件模塊對(duì)空間機(jī)器人的理論模型和控制算法進(jìn)行了驗(yàn)證。
仿真結(jié)果表明，基于經(jīng)典的計(jì)算力矩法控制器和本文提出的帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破鳎梢詫?shí)現(xiàn)對(duì)空間機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的軌跡跟蹤，跟蹤誤差分別控制在10-3deg和10-5deg以內(nèi)，誤差收斂時(shí)間分別約為18 s和15 s，證明了帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破鞯目刂凭缺葌鹘y(tǒng)的計(jì)算力矩法精度高，且誤差收斂速度快。在系統(tǒng)參數(shù)不確定且存在外部干擾力矩的情況下，帶有可變?cè)鲆娴幕？刂破鞒尸F(xiàn)出很好的魯棒性，并在運(yùn)動(dòng)控制精度和誤差收斂速度方面依舊優(yōu)于經(jīng)典的計(jì)算力矩控制器。
本文提出的控制器適用于對(duì)運(yùn)動(dòng)控制精度和速度要求較高、系統(tǒng)具有不確定性的場(chǎng)合。但需說(shuō)明的是，本文的運(yùn)動(dòng)控制局限于關(guān)節(jié)空間，后續(xù)應(yīng)拓展到任務(wù)空間。此外，本文的繼承性工作還包括以近年來(lái)空間機(jī)器人的自適應(yīng)滑模控制方法為參照，用以評(píng)價(jià)本文提出的控制器性能的優(yōu)劣。
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