局部主動(dòng)約束阻尼開球殼的振動(dòng)特性分析

石慧榮， 向 楠， 李宗剛

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

薄壁球殼是航空、船舶、車輛和建筑等工業(yè)領(lǐng)域的一種重要結(jié)構(gòu)，由于其在受到環(huán)境激勵(lì)后易發(fā)生振動(dòng)和噪聲問題，直接影響工業(yè)裝備的穩(wěn)定性和工作可靠性，因此對(duì)球殼的有效減振成為工業(yè)生產(chǎn)中一個(gè)亟待解決的問題。應(yīng)用于板梁和柱殼結(jié)構(gòu)的約束阻尼減振也是球殼的一種主要減振方法，但是由于球殼結(jié)構(gòu)的變形更加復(fù)雜，所以球殼的局部約束阻尼減振仍有待深入研究。

針對(duì)球殼應(yīng)用中減振問題，許多學(xué)者進(jìn)行了深入探索。Aleksandr K等[1]利用能量法和有限元法建立了鋸齒形阻尼夾層旋轉(zhuǎn)殼體的自由振動(dòng)模型，分析了圓柱、錐形和球形夾層殼的振動(dòng)特性，并證明了該方法的準(zhǔn)確性。Panda S K等[2]基于有限元法和高階剪切變形理論，建立了Green-Lagrange意義上的層合扁球殼的幾何非線性模型，采用直接迭代法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了求解，分析了不同參數(shù)對(duì)等溫載荷作用下球殼系統(tǒng)自由振動(dòng)特性的影響。Ye T G等[3]提出一種求解層合旋轉(zhuǎn)殼體的通用Chebyshev-Ritz公式，通過與試驗(yàn)的比較，驗(yàn)證了該公式的收斂性和準(zhǔn)確性，并對(duì)不同曲率和任意約束條件下的圓柱、圓錐和球面殼體振動(dòng)問題進(jìn)行了研究。Gong Q T等[4]基于Ritz法和一階剪切變形理論建立了功能梯度球殼模型的動(dòng)力學(xué)模型，采用Jacobi多項(xiàng)式和Fourier級(jí)數(shù)表示位移函數(shù)，分析了各種復(fù)雜邊界下截球殼的振動(dòng)特性。Biswal D K[5]基于一階剪切變形理論，利用哈密頓原理和有限元方法建立了5層夾層球殼的動(dòng)力學(xué)模型，研究了約束層厚度、芯層厚度、粘彈性材料損耗因子和長(zhǎng)徑比對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率和系統(tǒng)損耗因子的影響。

但是目前主要針對(duì)球殼被動(dòng)減振問題進(jìn)行的研究，為了增加減振的有效性，利用壓電材料的球殼主動(dòng)振動(dòng)控制也被廣泛關(guān)注。Mao Y Q等[6]基于Talreja張量損傷模型和幾何非線性理論推演了具有損傷厚扁球殼的本構(gòu)關(guān)系，建立了考慮損傷效應(yīng)的壓電層合薄球殼的動(dòng)力學(xué)模型，并綜合運(yùn)用正交點(diǎn)位配置法和Newmark法對(duì)整個(gè)問題進(jìn)行了求解，分析了損傷、壓電效應(yīng)和結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)扁球殼動(dòng)態(tài)響應(yīng)和振動(dòng)控制的影響。Wang J J等[7]提出了一種簡(jiǎn)化的環(huán)氧樹脂包覆徑向極化壓電陶瓷球殼理論模型，研究了諧波激勵(lì)作用下單側(cè)半球形壓電陶瓷的動(dòng)態(tài)特性。楊穎等[8]利用最優(yōu)有界參數(shù)控制策略對(duì)介電彈性體球殼在沖擊載荷作用下的振動(dòng)進(jìn)行了控制，研究表明該方法具有較好的控制效果及較高的魯棒性。

雖然球殼的動(dòng)力學(xué)特性已有很多學(xué)者進(jìn)行了研究，一些減振控制方法也被應(yīng)用于球殼的振動(dòng)控制中，但是由于球殼結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，一些理論成果主要針對(duì)被動(dòng)、全敷設(shè)球殼，對(duì)于局部敷設(shè)主動(dòng)約束阻尼的球殼振動(dòng)特性的研究還不夠深入。因此本文針對(duì)開球殼采用局部主動(dòng)約束阻尼結(jié)構(gòu)，研究建立和求解該結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的有效方法，分析局部主動(dòng)約束阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)球殼振動(dòng)特性的影響，研究壓電層激勵(lì)電壓對(duì)球殼振動(dòng)影響的一般規(guī)律。

1 局部主動(dòng)約束阻尼開球殼模型

局部主動(dòng)約束阻尼開球殼結(jié)構(gòu)如圖1所示。主要由壓電約束層、粘彈性層和基殼組成，約束層阻尼結(jié)構(gòu)沿坐標(biāo)系φ和θ方向敷設(shè)于基殼中部，粘彈性層等間距均勻設(shè)置于約束層和基殼之間。距球頂H0處截取半徑為Rb、高度為Hb的球殼為研究對(duì)象，αb、αv和αp分別為基殼、粘彈性層和壓電層沿θ向角度，Hv和hp分別為粘彈性層和壓電層豎向的敷設(shè)高度，與坐標(biāo)φ對(duì)應(yīng)，hb、hv和hp為基層、粘彈性層和壓電層厚度，下標(biāo)b、v和p分別表示基層、粘彈性層和壓電層。

(a)開球殼 (b) 主剖視圖 (c)左視圖

1.1 球殼變形關(guān)系

根據(jù)一階剪切變形理論，球殼位移場(chǎng)可表示為

(1)

其中u是球殼經(jīng)線方向上位移，對(duì)應(yīng)角變量φ；角變量θ對(duì)應(yīng)球殼緯線方向上的位移為v，徑向z軸對(duì)應(yīng)的位移為w，z0表示距離坐標(biāo)原點(diǎn)o的距離，u0、v0和w0為中面上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位移矢量。λ和γ是繞緯線方向和經(jīng)線方向的轉(zhuǎn)角，i=b、v、p，各層繞經(jīng)線的相對(duì)變形關(guān)系如圖2所示。

圖2 各層的轉(zhuǎn)動(dòng)變形關(guān)系

假設(shè)基殼層與壓電層變形前后垂直于中曲面的直法線仍為直線，由于球殼沿經(jīng)緯線相互對(duì)稱，所以繞經(jīng)線的變形關(guān)系與緯線一致。則基殼和壓電層的橫向剪切變形為零，因此有

(2)

(3)

若各層之間無相對(duì)滑動(dòng)，位移連續(xù)性，順時(shí)針方向?yàn)檎?。根?jù)圖2及式(2)和式(3)，可以將粘彈性層的中面位移及橫向轉(zhuǎn)角表示為

(4)

利用Donnell殼體理論，可以將主動(dòng)約束阻尼球殼各層的應(yīng)變-位移關(guān)系表示為

(5)

(6)

1.2 本構(gòu)方程

根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，將總應(yīng)力σi表示如下：

(7)

(8)

其中剛度矩陣中各參數(shù)具體形式如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

假設(shè)以壓電層球殼內(nèi)表面為零電勢(shì)平面，根據(jù)文獻(xiàn)[10]可令φ0(t)=V0=vcejωt，其中vc是壓電層激勵(lì)電壓幅值，角頻率ω=2πf，f是壓電層激勵(lì)電壓頻率。

1.3 邊界條件

由薄殼理論知，簡(jiǎn)化后的薄膜應(yīng)力Nφφ、Nθθ、Nφθ和彎曲應(yīng)力Mφφ、Mθθ、Mφθ及剪切應(yīng)力Qφz、Qθz可以表示為

(14a)

(14b)

(14c)

其中Aij、Bij、Dij為應(yīng)力變換系數(shù)，具體表達(dá)式如下：

(15)

本文對(duì)基殼的經(jīng)線方向兩端采用固支邊界條件，緯線方向兩端采用自由邊界條件，因此有

(16a)

Nφ=Mφ=Qφ=0, 當(dāng)φ=φ0和φ=φ1

(16b)

壓電約束層和阻尼層無約束：

(17)

其中i=p，v。

1.4 動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)伽遼金法，可將位移表示為

(18a)

(18b)

q=[qub(t)qvb(t)qup(t)qvp(t)qw(t)qp(t)q0(t)]T

(18c)

位移形函數(shù)φ分別由雅可比多項(xiàng)式和傅里葉級(jí)數(shù)組合而成，分別表征緯線和經(jīng)線方向形變，其形式和參數(shù)確定方法與文獻(xiàn)[8,11]一致。

由于球殼扭轉(zhuǎn)變形較小，因此忽略球殼繞經(jīng)、緯線的轉(zhuǎn)動(dòng)變形對(duì)系統(tǒng)動(dòng)能的影響，可以將局部主動(dòng)約束層阻尼球殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)能T表示為

(19)

將式(18)代入式(5)和式(7)，并根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變與應(yīng)變能關(guān)系，系統(tǒng)的總勢(shì)能U表示為

(20)

其中ρ表示密度，Nv=nhnj是粘彈性彈片的總數(shù)，nh和nj分別為緯度和經(jīng)度方向分段數(shù)，H*(θi,φi)為第i個(gè)粘彈性阻尼貼片的位置識(shí)別函數(shù)：

H*(θi,φi)=[H(θ-θi2)-H(θ-θi1)]·

[H(φ-φi2)-H(φ-φi1)]

(21)

式中H為單位階梯函數(shù)，θi2和θi1分別為第i個(gè)粘彈性貼片沿θ軸的上、下限，φi2和φi1分別為第i個(gè)粘彈性貼片沿φ軸的上、下限。

考慮系統(tǒng)粘彈性層阻尼影響，同時(shí)將式(19)和式(20)代入Lagrange方程，可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(22)

(23)

其中矩陣中各參數(shù)可以根據(jù)邊界條件(14)～(17)確定，各變換矩陣可表示為

(24)

求解方程(22)可得系統(tǒng)第n階復(fù)模態(tài)頻率ωn，則模態(tài)阻尼比ξn可表示為

ξn=Re(ωn)/2Im(ωn)

(25)

其中Re(·)和Im(·)分別為實(shí)部和虛部計(jì)算函數(shù)。

1.5 壓電球殼模態(tài)分析比較

利用本文提出的壓電球殼動(dòng)力學(xué)方法對(duì)文獻(xiàn)[12]中厚徑比為0.005，球殼厚度為0.005 m的45°、60°和90°固定約束冒型開球殼進(jìn)行模態(tài)分析，得到經(jīng)度方向波數(shù)為1的前六階模態(tài)頻率由表1給出。由表1可以看出，除45°開球殼的第四階模態(tài)和90°開球殼的第一階模態(tài)頻率本文結(jié)果與文獻(xiàn)[12]相差超過10 Hz外，其余球殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率均相差較小，因此本文所給出的方法能夠?qū)弘娗驓さ膭?dòng)力學(xué)行為進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。

表1 模態(tài)頻率

2 主動(dòng)約束阻尼對(duì)球殼振動(dòng)特性的影響分析

初步設(shè)定本次分析參數(shù)，在球頂向下H0=0.4R處向下截取Hb=0.5 m，西經(jīng)0° ～150°的開球殼作為研究對(duì)象，球殼基層中面半徑R=0.6 m，基層厚度hb=2 mm；本文針對(duì)開球殼敷設(shè)主動(dòng)約束阻尼，約束層沿經(jīng)度和緯度方向?qū)ΨQ，敷設(shè)于球殼中部，約束層敷設(shè)角αp=100°，hp=0.4 m厚度hp=0.000 5 m，壓電層初始電壓為20 V；粘彈性材料在整個(gè)阻尼層中均勻相間布置，初始粘彈性層厚度hv=2 mm，沿經(jīng)度方向分段數(shù)mv=12，緯度方向分段數(shù)為nv=12，占空比χ=0.4，基殼在αb=0°和150°的兩端采用固定約束。后續(xù)分析中未作特別說明各參數(shù)與初始值一致，各層材料參數(shù)分別由表2和表3給出。

表2 基層和粘彈性層材料屬性

表3 壓電層材料屬性

2.1 阻尼層分段數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響

圖3是阻尼層緯度方向分段數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。圖3 (a)中顯示，隨著分段數(shù)nh的增加，1到6階模態(tài)固有頻率逐漸下降，但是下降幅度較小；由圖3(b)可以看出，隨著分段數(shù)的增加，前6階模態(tài)阻尼比逐漸增大，且當(dāng)nh>9后，阻尼比增加趨勢(shì)變緩，近似保持不變。

(a) 模態(tài)頻率變化

(b) 阻尼比變化

經(jīng)度方向分段數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響如圖4所示。在圖4(a)中可以看出，球殼的前6階模態(tài)固有頻率隨分段數(shù)nj增大而逐漸增加，但增幅較?。粓D4(b)顯示，隨著nj的增加，前6階模態(tài)阻尼比逐漸增大，但當(dāng)nj>11后，阻尼比增幅變小，而且低頻模態(tài)幾乎保持不變。

由此可知，阻尼層分段數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)固有頻率和阻尼比影響較小，這可能是由于分段數(shù)變化不會(huì)較大地影響約束層和阻尼層的耦合特性。雖然由于本文給出的截球殼在經(jīng)、緯度方向波動(dòng)幅度不同，阻尼比的變化幅度略有不同，但適當(dāng)增加阻尼層分段數(shù)可以增加截球殼的阻尼比；而且分段數(shù)變化時(shí)引入約束阻尼質(zhì)量比幾乎不變。

2.2 粘彈性層厚度對(duì)結(jié)構(gòu)減振特性的影響

當(dāng)粘彈性層厚度hv在1～5 mm范圍內(nèi)變化時(shí)，前6階模態(tài)固有頻率和阻尼比的變化曲線如圖5所示。由圖5(a)可見，粘彈性層厚度的增加會(huì)導(dǎo)致模態(tài)固有頻率逐漸增大，而且高頻模態(tài)沿經(jīng)度方向波數(shù)較大，增大hv會(huì)使球殼抗彎曲能力增加，因此高頻模態(tài)頻率增幅較大。在圖5(b)中，阻尼比ζ隨hv的增大而增大，而且由于高頻率模態(tài)較大的彎曲變形使得阻尼層具有更大的剪切變形，因此高頻模態(tài)阻尼比增加更顯著，但是隨著hv的增大引入質(zhì)量比∈將增大，當(dāng)hv=5 mm時(shí)，∈將達(dá)到54.25%。

(a) 模態(tài)頻率變化

(b) 阻尼比變化

2.3 粘彈性單元占空比對(duì)結(jié)構(gòu)減振特性的影響

圖6給出了占空比χ對(duì)約束阻尼部分球殼的振動(dòng)特性影響曲線。由圖6(a)可以看出，隨占空比χ的增大第1～4階模態(tài)頻率呈現(xiàn)先增大后減小趨勢(shì)，而5、6階模態(tài)固有頻率呈現(xiàn)單調(diào)上升趨勢(shì)，由于高、低頻模態(tài)振型不同，因此阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)置對(duì)低頻模態(tài)固有頻率影響較小。圖6(b)表明，隨著占空比χ的增加，雖然阻尼單元與基層接觸面積增加，但不同模態(tài)阻尼層剪切變形產(chǎn)生耗散能相對(duì)總應(yīng)變能變化趨勢(shì)不同，第5、6階模態(tài)在χ接近0.25附近時(shí)模態(tài)阻尼比最大，其余模態(tài)阻尼比隨χ的增大而逐漸減小；而且較大的χ會(huì)導(dǎo)致引入質(zhì)量增加，當(dāng)χ=85%時(shí)，∈為51.3%。

2.4 壓電約束層厚度對(duì)結(jié)構(gòu)減振特性的影響

當(dāng)壓電層厚度hp在0.5～3 mm范圍內(nèi)變化時(shí)，前6階模態(tài)阻尼比和固有頻率的變化曲線如圖7所示。由圖7(a)可見，由于約束層密度較大，因此隨著hp的增加，系統(tǒng)的質(zhì)量增大，使得前三階模態(tài)的固有頻率逐漸減??；而高頻模態(tài)經(jīng)度方向波動(dòng)較大，約束層具有較高的彈性模量，因此hp增加會(huì)引起4～6階模態(tài)頻率增大。從圖7(b)看出，隨著hp增加，各階模態(tài)阻尼比先快速增大而后又緩慢減小，這可能是因?yàn)橐欢ê穸鹊募s束層可以增加阻尼層剪切變形，但厚度較大時(shí)，使系統(tǒng)質(zhì)量大幅增加，引起系統(tǒng)總應(yīng)變能大幅增加，從而使阻尼比減?。欢姨蟮膆p會(huì)使系統(tǒng)質(zhì)量大幅增加，當(dāng)hp=3 mm時(shí)，∈=198.7%，這將會(huì)嚴(yán)重影響球殼應(yīng)用要求。

(a) 模態(tài)頻率變化

(b) 阻尼比變化

(a) 模態(tài)頻率變化

(b) 阻尼比變化

(a) 模態(tài)頻率變化

(b) 阻尼比變化

2.5 約束層經(jīng)、緯尺寸的影響

約束層經(jīng)度方向敷設(shè)角對(duì)部分球殼振動(dòng)特性的影響如圖8所示。從圖8(a)看出，隨αp的增加約束阻尼層敷設(shè)面積增加，因此模態(tài)固有頻率隨之增加，但由于約束層厚度較小，對(duì)模態(tài)頻率影響有限。圖8(b)表明，隨著αp的增加，阻尼比ξ逐漸增大，但當(dāng)αp/αb超過0.8后，高頻模態(tài)的阻尼比ξ4、ξ5和ξ6的增幅減小，幾乎保持不變；而且隨著αp的增加，引入阻尼結(jié)構(gòu)的質(zhì)量也會(huì)隨之增加，但當(dāng)約束層厚度較小時(shí)，引入質(zhì)量有限，如當(dāng)αp=135 °時(shí)，引入質(zhì)量比僅為62.9%，η1因此對(duì)于αp的選擇，應(yīng)綜合考慮球殼工程應(yīng)用和減振效果，可在保證使用要求的條件下選擇較大的約束層敷設(shè)角αp。

(a) 模態(tài)頻率變化

(b) 阻尼比變化

圖9為約束層敷設(shè)高度對(duì)振動(dòng)特性的影響。由圖9(a)可以看出，當(dāng)約束層高度hp增加時(shí)，引入的約束層增加，使得系統(tǒng)模態(tài)頻率增大。從圖9(b)可知，隨著hp的增加模態(tài)阻尼比也隨之逐漸增大，而且當(dāng)hp超過0.25 m后，模態(tài)3～6的阻尼增速變大。同理當(dāng)約束層敷設(shè)高度增大也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)引入質(zhì)量增加，但是當(dāng)hp=0.45 m時(shí)，引入質(zhì)量比僅為46.6%，相對(duì)增加約束層厚度和敷設(shè)角，引入質(zhì)量較少。

2.6 激勵(lì)電壓對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性影響

圖10是激勵(lì)電壓對(duì)振動(dòng)特性的影響曲線。由圖10(a)可見，當(dāng)壓電層施加的激勵(lì)電壓vc增加時(shí)，模態(tài)固有頻率小幅下降，而且在激勵(lì)電壓10～150 V變化時(shí)，各階模態(tài)頻率波動(dòng)范圍僅為1.5 Hz，因此激勵(lì)電壓不會(huì)嚴(yán)重影響系統(tǒng)工作頻率范圍。圖10(b)表明，壓電層受到激勵(lì)電壓vc后，由于壓電材料的逆壓電效應(yīng)，約束層會(huì)沿經(jīng)度和緯度方向變形，使得粘彈性層的剪切應(yīng)變能增加，而且電壓越大，壓電層形變?cè)酱?，耗散?yīng)變能越大，因此模態(tài)阻尼比隨電壓的增加而增加。由此可見，合理施加激勵(lì)電壓能夠增加模態(tài)阻尼比，能夠使主動(dòng)約束阻尼球殼減振更加有效。

(a) 模態(tài)頻率變化

(b) 阻尼比變化

(a) 模態(tài)頻率變化

(b) 阻尼比變化

2.7 不同激勵(lì)電壓下的頻域響應(yīng)

當(dāng)在球殼中點(diǎn)施加10 N的徑向載荷，其頻域特性如圖11所示。由圖11(a)可見，施加激勵(lì)電壓的主動(dòng)約束阻尼結(jié)構(gòu)，較被動(dòng)約束阻尼結(jié)構(gòu)在第二和第三模態(tài)的徑向振幅有效縮減，但對(duì)于徑向振動(dòng)激勵(lì)電壓為150 V時(shí)能夠獲得較大的幅值縮減，較小電壓或較大電壓均可能導(dǎo)致47.5 Hz和69.7 Hz附近較大幅值的徑向振動(dòng)。在圖11(b)中可以看出，由于壓電層逆壓電效應(yīng)，雖然控制電壓較大時(shí)壓電層形變會(huì)使粘彈性層剪切變形增加，但由于壓電層與基殼的耦合作用，球殼經(jīng)度方向變形增加仍然很大，因此較大的控制電壓會(huì)增加經(jīng)度方形的振動(dòng)。圖11(c)表明，相對(duì)于被動(dòng)減振，主動(dòng)約束阻尼結(jié)構(gòu)在經(jīng)、緯度方向仍然具有較好的減振特性，而且當(dāng)vc=150 V時(shí)，在低頻模態(tài)峰值仍然最小，但高頻模態(tài)的減振性能有限。由上可得，對(duì)于球殼不同的工作頻帶以及不同方向的減振要求，可以施加不同的激勵(lì)電壓，而且特定電壓只對(duì)特定模態(tài)減振效果較好，因此通過合理設(shè)計(jì)實(shí)時(shí)控制算法，可以在多種工況實(shí)現(xiàn)比較高效的減振。

(a) 徑向響應(yīng) (b) 經(jīng)度方向響應(yīng) (c) 緯度方向響應(yīng)

3 結(jié) 論

1)取nh>9，nj>11時(shí)可以在固有頻率變化較小的情況下增大阻尼比；特定粘彈性層厚度能夠有效增加模態(tài)阻尼比，模態(tài)頻率在一定范圍內(nèi)隨粘彈性層厚度增加而增加；增加占空比會(huì)導(dǎo)致模態(tài)頻率增大，但在一定程度上使損耗因子減小。

2)增加壓電層厚度會(huì)導(dǎo)致高頻模態(tài)頻率增加，而使低頻模態(tài)頻率減小，在hp<2 mm時(shí)，hp增加能夠快速增大阻尼比；增加其經(jīng)緯度方向尺寸能夠?qū)е虑驓つB(tài)頻率和阻尼比增大，但敷設(shè)較大尺寸的壓電層會(huì)使引入質(zhì)量大幅增加。

3)壓電層激勵(lì)電壓對(duì)模態(tài)頻率影響較小，增加激勵(lì)電壓能夠增加系統(tǒng)振動(dòng)能量損耗；固定幅值的激勵(lì)電壓可使特定振動(dòng)方向模態(tài)幅值有效縮減。