“生長數(shù)學”理念下的初中數(shù)學復習課初探

江美紅

在日常教學中，不少教師在復習課上只是把所要復習的知識進行簡單的羅列，變成新授課的機械重復，學生無論從知識、能力上都得不到更多收獲。如何提高復習課的效能，這是畢業(yè)班教師非常關心的問題。“生長數(shù)學”理念下的數(shù)學復習課，能根據(jù)所要復習的知識內容和學生已有的認知經驗，堅持系統(tǒng)化理論，踐行“生長數(shù)學”的教學主張，運用結構化的思維方法，架設生長型路徑，開展探究性活動。學生可從中積累新經驗、經歷新感受、收獲新成長。

數(shù)與式這兩章的內容，知識點多而散，數(shù)中包含有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、開方、方根等概念及運算，式中包含整式、分式、二次根式等概念、性質及運算。復習課除了要對這些知識進行查漏補缺外，還要打開章節(jié)通道，貫通前后內容，聚集所要復習的核心知識，智慧地整合教學資源。

教學環(huán)節(jié)1.數(shù)的復習

問題1.我們到現(xiàn)在為止，學過哪些數(shù)？

設計意圖：復習實數(shù)的分類。

問題2.認識了實數(shù)后，我們還學過哪些實數(shù)的運算？

設計意圖：引發(fā)學生對實數(shù)相關運算知識的回憶。

問題3.現(xiàn)在把學過的一些數(shù)用運算符號連接起來，得到算式3-1-[（-3）2]+[13-3]+（-[3]）0，記為①，計算這個算式，我們需要哪些知識？

設計意圖：把學生在回答問題1、問題2中的數(shù)字和符號連起來，生成算式，讓學生回顧開方、負指數(shù)冪、絕對值、零指數(shù)冪等中考?？嫉闹R點。

問題4.請同學們對①式進行計算，并說出計算結果。

問題5.若把①式中的3改為4，得到算式4-1-[（-4）2]+[14-4]+（-[4]）0，記為②，再次計算;若改為5呢？

設計意圖：本環(huán)節(jié)用問題串的形式啟發(fā)學生思考，通過理性計算，驗證了意想不到的結論，既提升了學生的數(shù)學運算能力，也為下一個問題做好鋪墊。

問題6.若要保持計算結果不變，①式中的數(shù)字3還能不能改了？若能，還能改成哪些數(shù)？

設計意圖：此環(huán)節(jié)讓學生歸納結論，提出猜想，讓他們在求知心切的狀態(tài)下，全身心地投入到學習中去。

教學環(huán)節(jié)2.由數(shù)到式

問題7.如何證明上述猜想？

設計意圖：讓學生經歷完整的“歸納——猜想——證明”推理過程，提升學生的邏輯推理能力，同時體悟由數(shù)到式的必要性和優(yōu)越性。

問題8.將①式中的3用字母a代替，得到代數(shù)式a-1-[（-a）2]+[1a-a]+（-[a]）0，記為③，在這個代數(shù)式里，有哪些特殊的代數(shù)式呢？

設計意圖：用問題來引出代數(shù)式的分類，對比數(shù)的分類，讓學生感受兩者之間的異同點。讓學生親歷整合碎片化知識的過程，更好地理清知識之間的聯(lián)系。

問題9.使③式成立的條件是什么？

預設生成：學生的回答可能有缺漏，需引導學生考慮問題要全面，進而得出字母a的取值范圍是a>0。

設計意圖：通過這個問題，復習了二次根式、分式等代數(shù)式成立的條件，學生養(yǎng)成了看到含字母的代數(shù)式就有挖掘隱含條件的習慣和意識，感受數(shù)與式之間的區(qū)別。

問題10.化簡③式，除了用到數(shù)的相關知識外，還需要掌握什么知識或方法呢？

預設生成：在作差時，有的學生化解至[1a]?a=[1-a2a]就開始判斷符號，此時應引導學生進行因式分解，再在a>0的前提條件下與0進行比較，當因式1?a無法確定符號時，啟發(fā)學生利用分類討論思想解決問題。

設計意圖：進一步鞏固化簡絕對值的方法，并引出新問題，[1a]與a誰大誰小？復習比較代數(shù)式大小的方法——比差法、因式分解知識及滲透分類討論思想。

問題11.通過化簡③式，我們能發(fā)現(xiàn)①式中的數(shù)字3換成哪些數(shù)可使答案不變呢？

預設生成：在問題10的鋪墊下，學生不難得出：當0

設計意圖：進一步鞏固代數(shù)式的化簡。

教學環(huán)節(jié)3.拓展提升

問題12.已知x=[12+3]、y=[12-3]，求 [x2+xy+y2xy]的值。

預設生成：此題有多種解答方法，第一種是直接代入;第二種是將x、y分母有理化后再直接代入;第三種是求出x+y=4，xy=1后，再整體代入變形后的代數(shù)式[（x+y）2?xyxy]，或求出x2+y2的值再整體代入;第四種是把所求代數(shù)式化為[1y]+1+[1x]后再計算。學生會答出多種思路，教師只需引導學生思考更簡捷的思路即可。

設計意圖：學生通過化簡計算，提高分式、二次根式的運算能力，體會解題方法的多樣性和感受整體思想的優(yōu)越性。

問題13.上題中，由x+y=4，xy=1，我們可以求出x2+y2的值，那么你還能求出哪些代數(shù)式的值？

預設生成：學生可能回答（x?y）2，[1x]+[1y]，x2y+xy2……不管說出幾個，教師都可引導學生觀察這些代數(shù)式具有的共同特點，給出對稱式的概念，再舉出更多代數(shù)式的例子，任選幾個典型代數(shù)式并求出它們的值。

設計意圖：復習乘法公式在整式、分式、二次根式中的正向、逆向運用，引出對稱式的概念，并感受知二求多的過程。

問題14.由x+y=4，xy=1，你能不能將x，y放在其他不同的背景中，如幾何圖形或者函數(shù)背景下，嘗試設計出其他問題？

預設生成：學生可能想到矩形，已知周長和面積，求對角線長;也可能想到直角三角形，已知兩條直角邊的和與面積，求斜邊長;可能放在函數(shù)背景下，已知一次函數(shù)y=?x+4和反比例函數(shù)y=[1x]，求兩個函數(shù)圖像的交點到原點的距離。此問題難度高，可給予學生足夠的時間，小組合作探討，再分享成果。

設計意圖：讓學生回顧所學知識，并將知識進行橫縱向聯(lián)系，提升學生的思維深度和廣度。

該部分設計利用由數(shù)到式、數(shù)式應用這條主線，勾勒出異于新授課的思維場景，營造出復習這一內容的新思維氛圍。經過教師創(chuàng)造性演變過的學習活動，是有價值且高效的，是學生驟然頓悟的質變過程。這個過程可助力學生思維活動的展開，培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)新性。

【教學思考】

1.選準問題的起點與終點。

創(chuàng)造性地使用教材，要有打破教材結構的勇氣，總結教學中相近或相鄰的知識，從知識體系和知識結構上去把握初中數(shù)學教學內容和教學要求，選準問題的起點與終點。本課例以“我們到現(xiàn)在為止，學過哪些數(shù)？”這一個典型問題為學習起點，引出數(shù)與式的概念、運算的復習。設置問題“已知x=[12+3]、y=[12-3]，求[x2+xy+y2xy]的值”是為了將教材中的基本問題逐步演變成中考中的焦點問題，幫助學生尋找和總結解題的方案。

2.設計好問題生長的路徑。

在選好問題的起點與終點之后，要認真謀劃所要復習內容的生長過程，精心設計好問題生長的路徑，創(chuàng)造性地提煉知識的生長鏈，充分展示模型變化、結構變化、背景變化、深度變化的關系。如：改變算式3?1?[（-3）2]+[13-3]+（-[3]）0中的數(shù)字3，若使得算式的結果不變，猜想可以改成哪些數(shù)？由數(shù)到式加以論證，揭示變化中的不變性的規(guī)律。再如：由x+y=4，xy=1，能否將x，y放在其他不同的背景中，如幾何圖形或者函數(shù)背景下，嘗試設計出其他問題？學生在創(chuàng)造過程中感受成功的喜悅，不斷地開拓與超越，凸顯數(shù)學問題的本質，彰顯數(shù)學變式的魅力。

3.精選生長鏈中的例題和習題。

用“生長數(shù)學”理念進行架構，要根據(jù)所復習的內容，精選生長鏈中的例題和習題，如問題12選擇分式的化簡求值問題，是中考的重要考點，該題解法多樣，且滲透了重要的數(shù)學思想方法。還可以對此進行變式，讓學生進行針對性的練習。最后提升難度，學生根據(jù)數(shù)學等式，設計不同領域的數(shù)學問題。所選的變式問題注意到不同的梯度，重構舊知識的新視野，學生從中積累新經驗，收獲新成長。

（作者單位：江蘇省太倉市實驗中學）