學(xué)生視角下的波利亞解題策略

應(yīng)丹蓉

[摘? 要] 波利亞解題策略在應(yīng)用過程中具有極高的實(shí)用價(jià)值. 基于新課標(biāo)培養(yǎng)核心素養(yǎng)這一要求，在教學(xué)實(shí)踐過程中向?qū)W生傳授波利亞解題策略，可以提高學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光和思維觀察分析問題的能力. 因此，文章以一道最值問題為例，代入學(xué)生視角應(yīng)用波利亞解題策略，探尋教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用波利亞解題策略.

[關(guān)鍵詞] 波利亞解題策略;核心素養(yǎng);最值問題

問題提出

波利亞解題理論把解題過程中“好的解題思路”產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思維過程分成了四個階段：理解題目—制定計(jì)劃—執(zhí)行計(jì)劃—回顧[1]. 其對于鍛煉學(xué)生解題思路有著很大的促進(jìn)作用.

但在眾多基于波利亞解題理論的文章中，教師們習(xí)慣以自身的視角利用波利亞解題策略解題，然后給一個經(jīng)典的題目提供多種解法，以向?qū)W生展示波利亞解題策略的“好”. 然而，這只是教師們在常年的教學(xué)活動中，對教材中每個知識概念，甚至某些題目的巧妙解法的豐富積累，所以在利用波利亞解題策略時(shí)，總是能夠“聯(lián)系”到相關(guān)知識.

筆者在將波利亞解題策略介紹給學(xué)生之后，學(xué)生應(yīng)用的情況并沒有達(dá)到預(yù)期效果. 通過與學(xué)生的談話和思考，筆者發(fā)現(xiàn)，波利亞解題策略的關(guān)鍵是在制定計(jì)劃階段尋找與過去所獲得知識之間的聯(lián)系. 但一般學(xué)生的知識儲備和調(diào)用能力不足，難以在短時(shí)間內(nèi)整理出一個有用的解題方法，或者無法確定腦海中的想法能否指引自己通向最終目的，也就不易建立起這種“聯(lián)系”，而“要使學(xué)生真正理解書本知識，必須有他們自己身體力行的實(shí)踐”[2].

因此，筆者就以學(xué)生視角利用波利亞解題策略，嘗試體驗(yàn)學(xué)生在解題過程中的思維歷程，探尋學(xué)生在利用策略過程中可能遇到的困難. 筆者在教學(xué)實(shí)踐過程中認(rèn)識到，制約學(xué)生不能利用好“怎樣解題表”解題的原因在于學(xué)生無法根據(jù)題目條件找到“聯(lián)系節(jié)點(diǎn)”，無法利用“聯(lián)系節(jié)點(diǎn)”有意識地發(fā)散思維，主動尋找自身知識儲備與題目之間可能存在的聯(lián)系. 為此，筆者擬從學(xué)生答題步驟分析其心路歷程，并代入學(xué)生視角按波利亞解題策略將其還原出來，討論學(xué)生該如何應(yīng)用波利亞解題策略.

教學(xué)實(shí)例

應(yīng)用波利亞解題理論可以通過題設(shè)中涉及的概念和條件用語的關(guān)鍵詞回到相關(guān)數(shù)學(xué)概念的定義中去，以實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)散[3]. 為了更好地代入學(xué)生視角，筆者選擇“最值問題”這類在題設(shè)中不易找到定義啟示的題型，以更好地闡述在不易找到“聯(lián)系”的情況下學(xué)生該如何發(fā)散思維.

例1：（2017，全國卷，14）函數(shù)f（x）=sin2x+ cosx-0.75x∈0，? 的最大值是______.

下面以學(xué)生視角應(yīng)用波利亞解題策略的四個階段進(jìn)行解題分析.

第一步，理解題目.

（1）問題是什么？答：函數(shù)的最值問題.

（2）未知量是什么？答：未知量為x.

（3）已知條件是什么？答：定義域x∈0，? .

（4）要求的是什么？答：求最大值.

第二步，制定計(jì)劃.

能夠想到的類似問題是求函數(shù)的最值，可以通過函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性判斷是否有最大值，并求出最大值是多少.

第三步，執(zhí)行計(jì)劃.

解：f（x）=sin2x+ cosx-0.75x∈0，? ，則f′（x）=2sinxcosx- sinx= （2cosx- ）sinx. 當(dāng)x∈0， 時(shí)，f′（x）>0，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈ ， 時(shí)，f′（x）<0，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 所以當(dāng)x∈0， 時(shí)，函數(shù)的最大值為f ，即1.

第四步，回顧.

求導(dǎo)公式運(yùn)用正確，單調(diào)區(qū)間判斷無誤，結(jié)果檢驗(yàn)準(zhǔn)確.

該題為高考填空題，總體上難度并不大，稍作分析便可以找到解題策略. 筆者將該題布置給學(xué)生進(jìn)行波利亞解題策略的應(yīng)用訓(xùn)練，絕大多數(shù)學(xué)生都是采用導(dǎo)數(shù)方法求解的，筆者代入學(xué)生視角將波利亞解題步驟還原出來.

該解法符合大部分學(xué)生做題的思維流程，即在制定計(jì)劃時(shí)總是傾向于制定可以直接實(shí)施的解題方案，避免可能出現(xiàn)新問題的解題路線. 而波利亞解題策略的核心是通過題目條件主動尋找與自身知識儲備之間的聯(lián)系，從而制定可能有效的解題方案.

以該題為例，利用sin2x+cos2x=1這一隱含的已知條件，將sin2x轉(zhuǎn)化為1-cos2x，使得原函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閮H含cosx的函數(shù)，通過換元t=cosx即可將原函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ?guī)的一元二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)輕松得解. 那為什么大部分學(xué)生沒有意識到這樣的“聯(lián)系節(jié)點(diǎn)”呢？

通過與學(xué)生交談，筆者總結(jié)原因?yàn)椤皩ψ钪蹈拍罾斫獾貌粔蛏羁獭? 最值概念源于極值概念，人教版選修2-2第一章第1.3.2節(jié)中關(guān)于極值的定義如下：

以a，b兩點(diǎn)為例，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x= a的函數(shù)值f（a）比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f ′（a）=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f ′（x）<0，右側(cè)f ′（x）>0. 類似地，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=b的函數(shù)值比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f ′（b）=0;而且在點(diǎn)附近的左側(cè)f ′（x）>0，右側(cè)f ′（x）<0.

因此，當(dāng)學(xué)生看到題設(shè)中的“最值”要求時(shí)，第一反應(yīng)就是通過函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性來求解. 而在教材中關(guān)于極值的定義中，實(shí)際上同時(shí)也給出了圖像來加深學(xué)生對于極值概念的認(rèn)識，它給我們的啟示是在處理極值、最值問題時(shí)也可以通過已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)圖像性質(zhì)來求解. 這種“啟示”看起來平平淡淡的，但牢記這一點(diǎn)可以在解最值問題時(shí)多一種解題思路，有時(shí)候還會有意想不到的效果.

基于此，筆者按照波利亞解題策略重新進(jìn)行第二步、第三步、第四步的分析，在這個過程中探究學(xué)生該如何應(yīng)用波利亞解題策略. 分析如下：

第二步，制定計(jì)劃.

函數(shù)最值問題可以通過已學(xué)的函數(shù)圖像性質(zhì)進(jìn)行判斷，從“幾何”的角度進(jìn)行觀察. 從函數(shù)f（x）=sin2x+ cosx-0.75的形式來看，其與二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的形式接近，區(qū)別在于sinx與cosx的三角函數(shù)名不同，不能直接換元. 而我們學(xué)過很多三角函數(shù)異名轉(zhuǎn)換的公式，這里容易想到sin2x+cos2x=1這一轉(zhuǎn)換公式！因此，該函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為f（x）=1-cos2x+ cosx-0.75，再利用換元即可以變成簡單的一元二次函數(shù).

第三步，執(zhí)行計(jì)劃.

解：已知sin2x+cos2x=1，則原函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成f（x）=1-cos2x+ cosx-0.75= -cos2x+ cosx+0.25，x∈0， . 令cosx=t，t∈[0，1]，原式可寫成f（t）=-t2+ t+0.25（t∈[0，1]），則a=-1，b= ，c=0.25. 該二次函數(shù)開口向下，定義域內(nèi)函數(shù)的最大值在對稱軸取得（對稱軸在定義域內(nèi)），或定義域兩邊界線處的較大值（對稱軸在定義域外）. 該函數(shù)的對稱軸t= ，在定義域[0，1]內(nèi)，所以最大值在對稱軸取得，最大值為f ，即1.

第四步，回顧.

（1）結(jié)果檢驗(yàn). 換元時(shí)考慮了換元可能產(chǎn)生的不等價(jià)轉(zhuǎn)換問題，在換元時(shí)定義了新自變量t的定義域. 另外，t= 時(shí)，對應(yīng)的x的取值為 ，恰好也在0， 內(nèi)，側(cè)面驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性.

（2）解法遷移. 解決此題的方案同樣可以應(yīng)用到類似的問題的處理中，如指數(shù)函數(shù)的最值問題f（x）=22x+2x+0.25（x∈[-1，1]）和對數(shù)函數(shù)的最值問題f（x）=（log x）2+log x+0.25x∈ ，2. 通過換元可以轉(zhuǎn)換為求解一元二次函數(shù)的最值問題.

教學(xué)啟示

高中數(shù)學(xué)概念繁多且相互聯(lián)系緊密，學(xué)生遇到題目便絞盡腦汁去回想相關(guān)概念、公式，其實(shí)是變相給自己增加負(fù)擔(dān). 波利亞解題策略中也強(qiáng)調(diào)在解題過程中嘗試想出類似熟悉的問題，先找到方向（新方向可能出現(xiàn)新問題），最后再回到定義思考該如何解決. 關(guān)于教師應(yīng)如何指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用波利亞解題策略，筆者認(rèn)為應(yīng)認(rèn)識到以下三個方面.

1. 解題是被動解決新出現(xiàn)的問題

教師在引導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，總是“主動”地根據(jù)題目條件創(chuàng)造出解決問題所需要的條件，如在本文所舉的例子中，sin2x+cos2x=1常被當(dāng)成隱含的已知條件直接列出來，將原問題通過換元轉(zhuǎn)換成簡單的一元二次函數(shù)的最值問題. 這種主動地發(fā)散思維其實(shí)并不符合學(xué)生解題過程中的思維活動，而“被動”處理新出現(xiàn)的問題則更符合實(shí)際.

本例中，先是通過觀察發(fā)現(xiàn)原函數(shù)與一元二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的形式更為接近，希望通過二次函數(shù)的圖像性質(zhì)解決此題，但新出現(xiàn)的問題是sinx與cosx的三角函數(shù)名不同，導(dǎo)致不能直接通過換元來解決，此時(shí)就希望通過已經(jīng)學(xué)過的知識來解決這個“新問題”，這時(shí)公式sin2x+cos2x=1便應(yīng)運(yùn)而生.

因此，教師多從學(xué)生視角考慮一個題目該如何解決，就更能體會到學(xué)生在解題過程中需要“被動”處理新問題的困難. 教育的最終目的是培養(yǎng)一個會思考、有靈魂的人，而不是一個只會重復(fù)知識的機(jī)器. 數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳授知識，還要“發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力”[4].

2. 數(shù)學(xué)概念是聯(lián)系節(jié)點(diǎn)

教材中每個給出的數(shù)學(xué)概念都會鋪設(shè)合理的認(rèn)知臺階，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解接受. 教材中概念引入過程同時(shí)蘊(yùn)含了“是什么”和“為什么”兩個要素，教師在教授數(shù)學(xué)概念時(shí)要充分根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生理解每個概念的內(nèi)涵和外延. 如立體幾何中“二面角”的定義（垂直于兩面交線的直線的夾角），既闡述了什么是二面角，也給出了該如何作出二面角的一種方法. 因而在應(yīng)用波利亞解題策略過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)概念當(dāng)成聯(lián)系節(jié)點(diǎn)，

3. 數(shù)學(xué)公式是工具

對于學(xué)生而言，解題時(shí)總是在想如何利用學(xué)過的概念、公式等解決題目，閱讀完題干后便開始回想所學(xué)過的公式和定義，并在腦海中“演練”一般，覺得找到解題思路后便開始動筆. 筆者認(rèn)為，應(yīng)該把數(shù)學(xué)公式當(dāng)成工具. 之所以當(dāng)成工具，是因?yàn)楣ぞ卟煌涔δ軐傩砸膊煌?，適用于不同的場景. 解題是一個根據(jù)題目篩選出所需要工具的過程，如sin2x+cos2x=1就是一個三角函數(shù)名相互轉(zhuǎn)換的工具，而不是抓到哪個用哪個.

把數(shù)學(xué)公式當(dāng)成工具是一個有趣的看法，它意味著解題要不斷更換工具解決接連出現(xiàn)的問題，意味著每個公式、定義的選擇都是有“目的”的. 當(dāng)然，也許一開始并不會一帆風(fēng)順，因?yàn)椤肮ぞ摺北话l(fā)現(xiàn)之前我們并不知道它的功能，而這就需要教師幫助學(xué)生通過不斷使用來強(qiáng)化對數(shù)學(xué)工具的認(rèn)識，這樣便可以在解題時(shí)得心應(yīng)手.

結(jié)束語

新課標(biāo)中實(shí)施核心素養(yǎng)教學(xué)是現(xiàn)階段教育目標(biāo)的新提法，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的陣地在課堂，載體是課本以及一個個經(jīng)典的題目，而關(guān)鍵則在于教師.

波利亞解題策略的優(yōu)勢在于解題的邏輯性強(qiáng)，可以減少錯解或漏解，作為教師，要嘗試代入學(xué)生視角來解決數(shù)學(xué)題目，想學(xué)生之所想. 本文中所述代入學(xué)生視角應(yīng)用波利亞解題策略解題的過程，沒有直接指出解題的關(guān)鍵條件，而是從學(xué)生角度考慮“換元轉(zhuǎn)換”這一解題思路出現(xiàn)的原因，并引導(dǎo)學(xué)生回顧教材中關(guān)于極值概念的定義，闡述教材如此定義所給予的啟示.

這種換位思考的教育方式能夠使教師更好地把握教材內(nèi)容編排中所包含的教育價(jià)值，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能. 如本文中總結(jié)的“被動”解題理論，也可以為學(xué)生解決其他問題提供思路，使學(xué)生在面對復(fù)雜問題時(shí)不至于一籌莫展.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 波利亞. 怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 涂泓，馮承天譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

[2]? 章建躍，陶維林. 注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（06）.

[3]? 朱其超. “回到定義去”的思維策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（15）.

[4]? 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——史寧中教授訪談之七[J]. 課程·教材·教法，2017（04）.