曹丹

四邊形是“圖形與幾何”領域的重要內(nèi)容之一，其包含平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形。這部分內(nèi)容知識點多，考查形式豐富多樣，能力要求跨度大，是同學們復習的重難點之一。

一、根據(jù)特殊四邊形的性質、判定解決簡單問題

例1 （2020·北京）如圖1，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AD的中點，點F、G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF。

（1）求證：四邊形OEFG是矩形;

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長。

【解析】本題第（1）問中，由菱形性質可得O是BD中點，結合E是AD的中點，由中位線定理得OE∥AB，結合OG∥EF得?OEFG，由EF⊥AB得∠EFG=90°，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形得證。第（2）問中，由菱形可知AB=AD=10，BD⊥AC，又因為E是AD的中點，得OE=[12]AD=5，再由線段和差關系可得BG=AB-AF-GF，將問題轉化為求AF的長，通過勾股定理可求出AF=[AE2-EF2]=3，從而求得BG=2。

【總結】本題主要考查了菱形的性質和矩形的判定。四邊形中求線段長通常結合勾股定理、線段和差關系等方法求解。

二、四邊形與運動變化

例2 （2020·浙江嘉興）如圖2，有一張矩形紙條ABCD，AB=5cm，BC=2cm，點M、N分別在邊AB、CD上，CN=1cm?，F(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，點B、C的對應點分別為點B'、C'。當點B'恰好落在邊CD上時，線段BM的長為cm;在點M從點A運動到點B的過程中，若邊MB'與邊CD交于點E，則點E相應運動的路徑長為cm。

【解析】如圖3，當點B'恰好落在邊CD上時，由折疊可知，C'N=CN=1，B'C'=BC=2，B'M=BM，∠B'MN=∠BMN，∠C'=∠C，由矩形性質得∠C'=∠C=90°，DC∥AB，所以∠B'NM=∠BMN，所以∠B'MN=∠B'NM，所以B'M=B'N。在Rt△B'C'N中，由勾股定理得B'N=[5]，則BM=B'M=B'N=[5]。在點M從點A運動到點B的過程中，起始位置如圖4所示，折疊并結合矩形性質得AE=EN。設AE=EN=x，則DE=DC-CN-EN=4-x。在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，則有22+（4-x）2=x2，解得x=[52]，所以DE=4[-52]=[32]。如圖5，當M運動到MB'⊥AB時，DE'的值最大，DE'=5-1-2=2。

因為MB'與邊CD有交點E，當點M運動到如圖3所示位置，即點B'落在CD上時，為運動結束位置，DE''=5-1-[5]=4-[5]。所以點E的運動軌跡為E→E'→E''，運動路徑為EE'+E'E''=2[-32]+2-（4-[5]）=[5][-32]。

【總結】本題是矩形折疊問題，考查了翻折、矩形的性質、解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，會綜合運用矩形的性質和翻折變換的性質。此外，本題還結合了動點問題，需要我們考慮運動的起始點、轉折點和結束點，感受運動的整個過程。

三、平面直角坐標系中的四邊形

例3 （2020·江蘇蘇州）如圖6，平行四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點D（3，2）在對角線OB上，反比例函數(shù)y=[kx]（k>0，x>0）的圖像經(jīng)過C、D兩點。已知平行四邊形OABC的面積是[152]，則點B的坐標為（）。

A.（4，[83]）B.（[92]，3）

C.（5，[103]）D.（[245]，[165]）

【解析】由O、D兩點坐標易得OB的表達式為y=[23]x，由反比例函數(shù)y=[kx]（k>0，x>0）的圖像經(jīng)過D點，可得k=6，即y=[6x]。因為反比例函數(shù)y=[kx]經(jīng)過點C，所以設點C（a，[6a]），且a>0。由平行四邊形性質可得S?OABC=2S△OBC，BC∥OA，所以點B的縱坐標為[6a]，代入y=[23]x可得B（[9a]，[6a]），所以BC=[9a]-a，所以S?OABC=2×[12]·（[9a-]a）·[6a]=[152]，解得a=2，所以B（[92]，3）。故選B。

【總結】平面直角坐標系中的四邊形問題往往與求點的坐標、函數(shù)表達式、面積等知識結合來考查。

四、四邊形探究型問題

例4 （2020·河南）將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉至AB'，記旋轉角為α。連接BB'，過點D作DE垂直于直線BB'，垂足為點E，連接DB'、CE。

（1）如圖7，當α=60°時，△DEB'的形狀為，連接BD，可求出[BB'CE]的值為。

（2）當0°<α<360°，且α≠90°時，

①（1）中兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖8的情形進行證明;如果不成立，請說明理由。

②當以點B'、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出[BEB'E]的值。

【解析】（1）由題意得AB=AB'=AD，所以∠AB'D=∠ADB'。又因為∠BAB'=60°，所以△ABB'

是等邊三角形，且∠DAB'=30°，所以∠AB'D=

[12]（180°-30°）=75°，所以∠DB'E=180°-60°-75°=45°。又因為DE⊥BE，所以△DEB'是等腰直角三角形。連接BD，如圖9，由正方形性質得∠BDC=∠B'DE=45°，所以∠BDC-∠B'DC=∠B'DE-∠B'DC，即∠BDB'=∠CDE，由正方形性質和等腰直角三角形性質得[BDCD]=[DB'DE]=[2]，所以△BDB'∽△CDE，所以[BB'CE]=[BDCD]=[2]。

（2）①連接BD，如圖10，因為AB=AB'，∠BAB'=α，所以∠AB'B=90°[-α2]。因為∠B'AD=α-90°，AD=AB'，所以∠AB'D=135°[-α2]，所以∠EB'D=∠AB'D-∠AB'B=45°。又因為DE⊥BE，所以△DEB'是等腰直角三角形，所以[DB'DE]=[2]，由正方形性質可得[BDCD]=[2]，∠BDC=45°，所以[BDCD]=[DB'DE]=[2]。因為∠EDB'=∠BDC，所以∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB，即∠BDB'=∠CDE，所以△BDB'∽△CDE，所以[BB'CE]=[BDCD]=[2]。

②以點B'、E、C、D為頂點，沒有強調(diào)順序，所以應分類討論。若E在CD右側，如圖11，以點B'、E、C、D為頂點的四邊構成平行四邊形，由前面的相似，結合平行四邊形性質，得B'C=DE，CE=B'D=[2]DE=[2]B'E。又因為[BB'CE]=[2]，所以[BB'B'E]=2，即[BEB'E]=3。

若E在CD左側，如圖12，則B'E∥CD，所以B'E與AB共線，E與A重合，則[BEB'E]=1。

綜上，[BEB'E]的值為1或3。

【總結】本題考查了正方形的性質、平行四邊形的性質和判定、相似三角形的性質和判定、等邊三角形、圖形的旋轉等知識點，綜合性較強。

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)橫梁初級中學）