李青 張琥

[摘? 要] 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角，以“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像（第1課時(shí)）”為例，運(yùn)用“引導(dǎo)—探究”式教學(xué)，將核心素養(yǎng)真正落實(shí)于課堂教學(xué)實(shí)踐之中. 學(xué)生通過探究，發(fā)現(xiàn)和提出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像變換的一般規(guī)律，在此活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的過程與方法.

[關(guān)鍵詞] 引導(dǎo)探究;核心素養(yǎng);課堂教學(xué);反思

2019年11月20日，筆者參加了由江蘇省教育廳主辦，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室承辦的“2019年江蘇省高中新課標(biāo)新教材培訓(xùn)活動(dòng)”，并開設(shè)了一節(jié)“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像（第1課時(shí)）”的課例展示，現(xiàn)整理成文與各位同仁交流.

教學(xué)分析

1. 教材分析？搖？搖

三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，也是基本初等函數(shù)的一種，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（ωx+φ）的實(shí)際意義，能借助圖像理解參數(shù)A，ω，φ的意義. 了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響，會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.

2. 學(xué)情分析

本節(jié)課授課的對(duì)象是地級(jí)市中學(xué)的高一學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握得比較好，之前已學(xué)習(xí)了二次函數(shù)等基本函數(shù)圖像的平移變換，學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)圖像、余弦函數(shù)圖像，又在三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)中對(duì)周期概念有所了解.本節(jié)課是對(duì)一般函數(shù)圖像變換內(nèi)容的延伸和拓展，從“形”的角度上升到從“點(diǎn)的坐標(biāo)”這一代數(shù)本質(zhì)去理解圖像的變換規(guī)律.

目標(biāo)與方法設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過揭示參數(shù)A，ω，φ的變化對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響，有助于進(jìn)一步深化理解和認(rèn)識(shí)函數(shù)圖像的變換，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.

（2）分別探討φ，A，ω對(duì)y=sin（x+φ），y=Asinx（A>0），y=sinωx（ω>0）圖像的影響，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察圖像，探究方法，理解函數(shù)圖像變化的實(shí)質(zhì).

（3）體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的過程與方法，感受生活中數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的精神.

2. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：通過探究φ，A，ω對(duì)y=sin（x+φ），y=Asinx（A>0），y=sinωx（ω>0）圖像的影響，理解函數(shù)圖像的變換規(guī)律.

教學(xué)難點(diǎn)：讓學(xué)生自主探究、研究策略，經(jīng)歷從具體到抽象、由感性到理性的探究過程.

3. 教法與學(xué)法分析

教法分析：采用開放式探究、啟發(fā)式引導(dǎo)、互動(dòng)交流、反饋評(píng)價(jià)等方法，讓學(xué)生經(jīng)歷由形導(dǎo)數(shù)到由數(shù)釋形的深化過程，形成研究函數(shù)圖像變換的一般策略.

學(xué)法分析：采用“引導(dǎo)—探究”的教學(xué)方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，在教學(xué)中，筆者進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo)：（1）自主探究;（2）觀察發(fā)現(xiàn);（3）合作交流;（4）歸納總結(jié).

教學(xué)過程（片段）

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，形成數(shù)學(xué)觀念

問題1：有一個(gè)單位圓，以其圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，有一質(zhì)點(diǎn)，以單位圓與x軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)，以角速度1 rad/min在單位圓上按逆時(shí)針方向做周而復(fù)始的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)在x min時(shí)刻的縱坐標(biāo)y.

生：y=sinx.

師：很好，質(zhì)點(diǎn)在x min時(shí)刻的縱坐標(biāo)是y=sinx，從上面問題的敘述來看，質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)明顯是周期運(yùn)動(dòng).

思考1：若問題1的角速度是ω rad/min 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在x min時(shí)刻的縱坐標(biāo)y是多少？

生：y=sinωx.

思考2：若問題1的圓的半徑是2，角速度是2 rad/min，從1 rad角的終邊位置計(jì)時(shí)，那么質(zhì)點(diǎn)在x min時(shí)刻的縱坐標(biāo)y是多少呢？

生：y=2sin（2x+1）.

師：很棒. 通過改變半徑，改變角速度，改變計(jì)時(shí)位置，可以得出形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，這也是我們今天要研究的函數(shù).

（給出生活實(shí)例：摩天輪）

師：參數(shù)A，ω，φ取不同實(shí)數(shù)，我們就得到了不同的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)幾位同學(xué)到黑板上寫幾個(gè)這樣的函數(shù).

學(xué)生參與（3個(gè)學(xué)生板書，共寫出了7個(gè)函數(shù)）：y=sinx，y=2sinx，y=sin（x+1），y=sinx+ ，y=sin2x，y=2sin（2x+1），y=5sin2x+ .

？搖師：在這個(gè)函數(shù)大家庭中，y=sinx是我們最熟悉的函數(shù)，其他幾個(gè)顯得有些陌生，按照我們以往的經(jīng)驗(yàn)，一般我們通過什么方法研究或認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)呢？

？搖生：圖像.

設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，感悟函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是刻畫自然界周期現(xiàn)象的常見的數(shù)學(xué)模型，具有豐富的自然背景. 強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)的必要性，同時(shí)通過問題情境，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)觀念. 通過學(xué)生書寫，教師能關(guān)注到學(xué)生的思維過程，大部分學(xué)生思考問題的角度還是形同的：在y=sinx的基礎(chǔ)上，逐步添加“參數(shù)”.為了更好地研究一般性，可以先從最簡(jiǎn)單的函數(shù)入手，先研究y=sin（x+1），y=2sinx，y=sin2x，再由特殊到一般進(jìn)行探究.

2. 嘗試探究活動(dòng)，生成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

探究1：如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=sin（x+1）的圖像？

探究2：如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=2sinx的圖像？

探究3：如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=sin2x的圖像？

師生活動(dòng)：（1）學(xué)生分兩組：第一組實(shí)行探究1、探究2，第二組實(shí)行探究1、探究3;（2）學(xué)生分組展示;（3）教師幾何畫板驗(yàn)證，通過動(dòng)畫演示，從“形”的角度驗(yàn)證學(xué)生感性的認(rèn)識(shí)是否正確;（4）總結(jié)提煉（學(xué)生總結(jié)，教師提煉），并給出嚴(yán)格的證明，讓學(xué)生經(jīng)歷由感性到理性的研究過程：從“形”的角度上升到從“點(diǎn)的坐標(biāo)”這一代數(shù)本質(zhì)去理解函數(shù)圖像的變換規(guī)律;（5）由特殊到一般進(jìn)行探究，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的研究過程.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生獨(dú)立探究，通過探究φ，A，ω對(duì)y=sin（x+φ），y=Asinx（A>0），y=sinωx（ω>0）的圖像的影響，理解函數(shù)圖像的變換規(guī)律，不僅從“形”的角度認(rèn)識(shí)規(guī)律，更加突出從“點(diǎn)的坐標(biāo)”這一數(shù)的本質(zhì)去理解. 通過探究活動(dòng)，生成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);通過教師引導(dǎo)、學(xué)生探究，由感性到理性、由形到數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)思維水平的提升.

3. 深化探究成果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)用

探究4：如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=2sin（2x+1）的圖像？

師生活動(dòng)：學(xué)生討論后交流，從坐標(biāo)關(guān)系理性分析，得出6種途徑.

（1）y=sinx y=sin2x y=2sin2x y=2sin（2x+1）;

（2）y=sinx y=2sinx y=2sin2x y=2sin（2x+1）;

（3）y=sinx y=sin（x+1） y=2sin（x+1） y=2sin（2x+1）;

（4）y=sinx y=2sinx y=2sin（x+1） y=2sin（2x+1）;

（5）y=sinx y=sin2x y=sin（2x+1） y=2sin（2x+1）;

（6）y=sinx y=sin（x+1） y=sin（2x+1） y=2sin（2x+1）.

請(qǐng)選擇其中一種方法進(jìn)行討論交流，然后回答.

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，學(xué)生通過交流，給出了6種不同的圖像變換途徑，并用自己的語言進(jìn)行表述，這個(gè)環(huán)節(jié)充分暴露了學(xué)生的思維過程.教師在這個(gè)過程中，做一個(gè)傾聽者，并適時(shí)提出自己的“疑惑”，由學(xué)生解答. 通過這樣一種交流，深化探究成果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)用，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

教學(xué)反思

1. 以數(shù)學(xué)問題為情境，開門見山

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、會(huì)用數(shù)學(xué). 從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)本身入手，采取開門見山的方式引入，很多時(shí)候更符合學(xué)生的認(rèn)知水平，能取得更好的效果.從數(shù)學(xué)問題本身出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，可以集中學(xué)生的注意力，誘發(fā)學(xué)生思維的積極性，激勵(lì)學(xué)生探究，也比較容易調(diào)動(dòng)起學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、感受和興趣的回憶，從而更加自主地參與問題的解決以及新知識(shí)的獲取過程.

由于正弦線、余弦線、正弦曲線都是在單位圓的基礎(chǔ)之上研究的，本節(jié)課在創(chuàng)設(shè)情境部分，并沒有直接給出生活中的摩天輪圖片，而是通過研究單位圓上勻速圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，引出正弦函數(shù)，再通過逐步變化半徑、角速度以及計(jì)時(shí)位置，得出本節(jié)課要研究的“新函數(shù)”，對(duì)這樣一個(gè)數(shù)學(xué)情境，學(xué)生較為熟悉. 當(dāng)“新函數(shù)”出現(xiàn)后，再讓學(xué)生聯(lián)系生活——生活中這樣的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，最常見的有哪些？學(xué)生容易想到摩天輪，這個(gè)時(shí)候，再用圖片展示，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān).

2. 以先前經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)探究

杜威在《民主主義與教育》一書中說道：“教學(xué)的問題在于使學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不斷地向著專家所已知的東西前進(jìn).所以教師既須懂得教材，還須懂得學(xué)生特有的需要和能力.”教師是學(xué)生的引導(dǎo)者，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng)，引導(dǎo)學(xué)生激活進(jìn)一步探究所需要的先前經(jīng)驗(yàn). 因此我們的教學(xué)要善于引導(dǎo)學(xué)生回顧先前經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)先前經(jīng)驗(yàn)的重新組織、轉(zhuǎn)換和深化，最終達(dá)成學(xué)習(xí)結(jié)果.

以探究1為主導(dǎo)，學(xué)生利用已有知識(shí)，平移變換，教師步步引導(dǎo)，提煉出圖像變換的本質(zhì)方法. 三個(gè)探究的順序：第一個(gè)探究，平移變換，學(xué)生在初中時(shí)已經(jīng)有所接觸，也是三個(gè)探究中學(xué)生最熟悉的一個(gè). 第二個(gè)探究，學(xué)生略有陌生感，也有部分學(xué)生類比初中時(shí)的二次函數(shù)y=x2與y=2x2圖像的關(guān)系，得出橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍這個(gè)較為模糊的認(rèn)識(shí)（此時(shí)學(xué)生還不具備完整的表述圖像變換過程的能力）. 第三個(gè)探究，難度較大，由于地級(jí)市中學(xué)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，且有了第一個(gè)探究的鋪墊，很多學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)圖像變換的本質(zhì)是點(diǎn)的變化，因此第三個(gè)探究部分學(xué)生可以研究出來. 通過三個(gè)探究，循序漸進(jìn)，使學(xué)生更加清晰領(lǐng)悟函數(shù)圖像變換的本質(zhì)，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)做下鋪墊.

3. 以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，層層遞進(jìn)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最起決定性作用的素養(yǎng). 隨著數(shù)學(xué)教育的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育價(jià)值日益凸顯出來. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不能僅僅關(guān)注知識(shí)的傳授，更要注重學(xué)生自主探究習(xí)慣的培養(yǎng).

自主探究是新課程理念所提倡的一種重要的學(xué)習(xí)方式，它要求學(xué)生在教師的引導(dǎo)下充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)自己的各種器官，比如動(dòng)手探索、動(dòng)眼觀察、動(dòng)嘴交流、動(dòng)腦思考等獲取知識(shí).因此教師的引導(dǎo)十分重要，探究的問題不該過多關(guān)注探究的形式，應(yīng)在結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況的同時(shí)，更關(guān)注思維層面的探究，不能是“表面熱熱鬧鬧的課堂，內(nèi)在思維貧乏的師生”.

本節(jié)課的授課對(duì)象是地級(jí)市中學(xué)的高一學(xué)生，考慮到學(xué)生的數(shù)學(xué)水平較高，本節(jié)課的教學(xué)以問題為載體，以思維發(fā)展為主線.良好的思維習(xí)慣和思維能力是學(xué)習(xí)獲得成功的關(guān)鍵.三個(gè)探究同時(shí)呈現(xiàn)，可以真正觸動(dòng)學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生的高層次思考. 設(shè)置三個(gè)探究，目的只有一個(gè)：讓學(xué)生理解函數(shù)圖像的變換本質(zhì)是函數(shù)圖像上的點(diǎn)的變化. 探究1是學(xué)生一看就會(huì)的，但很難提煉出圖像變換的本質(zhì)，探究2、探究3是學(xué)生陌生的，同時(shí)給出三個(gè)探究讓學(xué)生思考，目的是讓學(xué)生感知僅僅知道“左加右減”是不夠的，還需要反思：“左加右減”的本質(zhì)是什么？當(dāng)在探究1中得出點(diǎn)的坐標(biāo)的變化之后，探究2、探究3就不是難題了，這樣才能真正發(fā)揮探究的作用，實(shí)現(xiàn)思維的提升.

4. 以激發(fā)潛能為手段，深入淺出

基于素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)，要求教師要更新觀念，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不能僅僅依賴于學(xué)生的模仿與記憶，更需要他們的理解與感悟.

英國著名的數(shù)學(xué)家懷特海認(rèn)為，學(xué)生是有血有肉的人，教育的目的是為了激發(fā)和引導(dǎo)他們的自我發(fā)展之路.“自我發(fā)展”，簡(jiǎn)單的四個(gè)字，蘊(yùn)含著許多深意.學(xué)生的潛能是巨大的，學(xué)生只有發(fā)揮了自己的潛能，才能真正實(shí)現(xiàn)自己的價(jià)值.在數(shù)學(xué)課堂上，盡可能把“激發(fā)潛能”貫穿于數(shù)學(xué)課堂之中，讓學(xué)生意識(shí)到“我能行”，讓學(xué)生暢所欲言，凸顯自己的想法與疑惑. 作為數(shù)學(xué)教師，我們需要有不斷更新的理念，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能為教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

本節(jié)課在三個(gè)探究之后，學(xué)生理解并掌握了圖像變換的本質(zhì)，所以大部分學(xué)生就能很輕松地進(jìn)行探究4的研究. 有幾位學(xué)生還提出了多種不同的路徑，通過不斷地變換路徑，鞏固了幾種圖像變換類型的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)對(duì)圖像變換過程中常見的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，學(xué)生也能清晰地指出，達(dá)到了預(yù)設(shè)的目標(biāo).