羅靜 何貽勇

[摘? 要] 在解一個數(shù)學(xué)問題時，教師一般都會引導(dǎo)學(xué)生找顯性條件和隱含條件，并做出一系列的思維反應(yīng)訓(xùn)練活動，從條件出發(fā)將思維的觸角發(fā)散開來，進行一系列的大膽嘗試與猜想，找到與已學(xué)知識的關(guān)聯(lián)，即追尋問題的本源，將思考痕跡中的思維流淌出來，方顯問題的本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 條件關(guān)聯(lián);思維;思維流;數(shù)學(xué)本質(zhì)

一道題的所有條件中，最重要、最關(guān)鍵的那（幾）個條件就是我們解決問題的思維流的源泉，也是我們平時說的“題眼”，一道題的題眼也許就是一個蘊含數(shù)學(xué)含義的字、詞，一個具有特殊含義的符號，一個隱藏數(shù)學(xué)道理的結(jié)構(gòu)式等，而解決一個數(shù)學(xué)問題的切入點或者突破口恰好就是題眼. 在此基礎(chǔ)上，直覺思維、聯(lián)想思維應(yīng)運而生. 直觀感覺、發(fā)散聯(lián)想都很重要，它們是開啟解題思路的“金鑰匙”，直觀感知和聯(lián)想點有沒有起作用，得以嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)推理和演算來證明.

案例呈現(xiàn)

案例 如圖1，在正方形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AD的中點，連接BE，CF，它們相交于一點P，求證：AP=AB.

讀：首先容易分析出△BCE≌△DCF，即可得出∠CBE=∠DCF，從而BE⊥CF. 這是本題中涉及線段AP的一個重要特征，在后面的圖形中均已標(biāo)出.

想：如何證明兩條線段相等的基本思考點是：①證等腰（基本圖形）;②證全等;③構(gòu)造全等;④轉(zhuǎn)化再證相等（轉(zhuǎn)化邊、角）.

聯(lián)想一：全等三角形構(gòu)造

這道題的最初想法是構(gòu)造全等三角形，如圖2所示，證△ABF≌△APG即可，或者如圖3所示，證△AQB≌△AFP，而圖4、圖5都是由線段在幾何位置上的對稱性來構(gòu)造全等，既可以向內(nèi)構(gòu)造，又可以向外構(gòu)造，請讀者自行畫圖. 圖6證△ABM≌△APM.

聯(lián)想二：構(gòu)造基本幾何圖形

如圖7所示，連接BF，構(gòu)造等腰三角形ABP;如圖8所示巧作中垂線，取BC的中點M，連接AM，證AM是BP的中垂線即可.證明線段相等除了構(gòu)造全等，也應(yīng)考慮構(gòu)造所學(xué)習(xí)的基本幾何圖形（模型），如中垂線、角平分線、特殊三角形、特殊四邊形等，將分散孤立的幾何元素集中在基本圖形中，利用它們的關(guān)聯(lián)解決問題.

聯(lián)想三：直接計算的方法

除了上述過程中涉及幾何圖形局部的特點以外，還應(yīng)有利用幾何整體觀來解幾何題. 由正方形的圖形特點，可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系，利用解析式幾何法求解證明. 設(shè)正方形的邊長為2，記為∠CPB=θ，利用余弦定理公式法直接計算AP=2;如圖9所示，仍然設(shè)正方形的邊長為2，利用勾股定理直接計算出AP=2亦可.

簡評 上述思路方法中涉及的構(gòu)造是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何基本知識、基本技能、基本思想中所積累的基本活動經(jīng)驗，此學(xué)習(xí)過程非常重要. 只有在這樣的直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，才容易聯(lián)想到構(gòu)造幾何圖形來突破線段相等證明問題. 往往要求學(xué)生要具有較強的分析能力、數(shù)學(xué)表達能力，只有這樣，才能做到解答過程思路清晰、條理清楚、結(jié)構(gòu)緊湊、過程簡潔. 推理過程不再贅述.

教學(xué)說明 上述方法中的構(gòu)造全等三角形，實無定法，但都有著一般性的心得體會和基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗！一是抓住關(guān)鍵因素的特征，盡量發(fā)揮題設(shè)的特點，關(guān)聯(lián)已經(jīng)學(xué)過的基本知識和技能，批注出它的二級結(jié)論;二是當(dāng)題目的條件、結(jié)論過于分散或孤立時，把條件和結(jié)論之間的點、線“集中”起來，集中到一個基本的幾何圖形中，共同發(fā)揮較大的作用，為解題服務(wù).在這個思維場中，當(dāng)經(jīng)驗不足以克服困難時，迅速捕捉到可行的解決方法（方案）體現(xiàn)出了思維流活動的軌跡全過程（如：平行思維流軌跡、周圍擴散思維流軌跡、廣角投射思維流軌跡等），教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地構(gòu)建學(xué)生解題過程的整體觀.

上述思維過程中，一般都有這樣三個方面的思維活動經(jīng)驗，第一，對數(shù)學(xué)核心知識結(jié)構(gòu)的理解要更加深入，利用數(shù)學(xué)基本知識之間的聯(lián)系尋找關(guān)聯(lián)解題，像這樣圍繞在基本知識周圍，從橫向、縱向羅列出有關(guān)的二級結(jié)論，甚至三級結(jié)論，并將它們放進大腦里迅速進行排序，其基本知識面的范圍半徑越寬，思路就越開闊，思維過程就越明朗. 第二，條件和結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，問題與類似問題之間的關(guān)聯(lián)，知識與類似知識之間的關(guān)聯(lián)，都會促使解題者產(chǎn)生豐富的聯(lián)想活動，捕捉到思考數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的最初想法，并形成最后成熟的想法. 第三，從數(shù)學(xué)問題的表征形式、呈現(xiàn)形式出發(fā)，利用數(shù)學(xué)方法正確表征問題本質(zhì)，正確拆分目標(biāo)任務(wù)（模塊），由此開啟了一系列解題思維流活動.

教學(xué)啟示

1. 掌握基礎(chǔ)知識，重視知識之間的關(guān)聯(lián)點

學(xué)生面對一個數(shù)學(xué)問題所涉及的基本知識點時，最初的想法是什么？往往會利用聯(lián)想思維、自己的基本活動經(jīng)驗開始一系列的思考. 最初的心理狀態(tài)又是怎樣的？從剛開始比較茫然的狀態(tài)到有章法可尋，在思考的后半段時間里內(nèi)心是比較踏實的. 因此，深入理解數(shù)學(xué)每一個分類下的基本概念的內(nèi)涵和外延以及主體知識結(jié)構(gòu)的邏輯關(guān)系，是基本活動經(jīng)驗積累與再積累的一個前提，理解知識板塊之間的數(shù)學(xué)本質(zhì)聯(lián)系是基本活動經(jīng)驗的創(chuàng)造與再創(chuàng)造的關(guān)鍵. 這就要求在教學(xué)中要特別注意引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題所涉及的基本知識的來龍去脈、邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)基本知識體系進行熟練掌握，并強化訓(xùn)練由知識點聯(lián)想到解題突破口和切入點的思維過程. 比如，在一元一次方程的應(yīng)用中解行程問題時，利用行程問題中速度、時間、路程等基本數(shù)量關(guān)系（基本事實），利用它們是“同等地位”的題干已知條件，尋找思路進行一題多解，這樣的數(shù)學(xué)思維軌跡是平行的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的對稱性.

2. 理解基本解法，構(gòu)建解題方法模塊框架

在解探究圖形變化規(guī)律問題時，我們通常從兩個角度出發(fā)：一個是從幾個特殊圖形所對的數(shù)和序號出發(fā)，找相鄰兩個圖形所對的數(shù)之間的變化量與位置序號有怎樣的關(guān)系;另一個是從圖形的角度出發(fā)，觀察圖形的分布特征，變化趨勢，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并以此類推，得到圖形的規(guī)律，需要運用從特殊到一般的探索方式，分析歸納出增加或減少的變化規(guī)律，并用含有n的代數(shù)式表示出來. 需要注意的是用局部的一兩個圖形之間的規(guī)律代替一般規(guī)律，以及忽視第一個圖形的規(guī)律都是常見錯誤之一，這中間所涉及的數(shù)學(xué)基本思想方法是數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、直觀想象、分解化歸，幾何代數(shù)化、代數(shù)幾何化等.

開展對學(xué)生的解題反思研究，學(xué)生在有了一定的方法和經(jīng)驗并不斷探索其他的方法時，雖然大多數(shù)探索的方法大同小異，但也經(jīng)常會有意外的驚喜收獲，因此指導(dǎo)學(xué)生解題后反思非常重要.學(xué)生的學(xué)習(xí)反思有以下幾個層次：一是反思自己的解題過程是否正確，是否為通性通解法，是否忽略隱含條件，是否主觀臆斷，是否用特殊代替了一般情況，是否無故增設(shè)已知條件，邏輯是否有問題等等. 二是反思過程與方法的優(yōu)劣，是否有其他的更優(yōu)的方法，對于同一道題從不同的角度去思考，會得到不同的啟發(fā)和認識，從而能得出更多的解題方法，體會出方法之間的優(yōu)劣，有了方法的比較，學(xué)生思維的觸角才能伸向不同方向、不同層次、不同高度，才能更好地發(fā)展發(fā)散思維能力.三是反思過程與方法的運用范圍，還可以類比地學(xué)習(xí)哪些方面的知識，解決哪些問題，由此培養(yǎng)一種遷移能力，這樣不只是舉一反三，還能達到觸類旁通，甚至是融會貫通.教師如果長期堅持這樣的學(xué)法輔導(dǎo)教學(xué)，學(xué)生就會形成一定的思維方法，更加能上升到用數(shù)學(xué)思想解題，也會積累到許多數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗 [1]. 學(xué)生自己形成的解題方法模塊的再訓(xùn)練是非常重要的，只有這樣，學(xué)生的思維才能得到鞏固和發(fā)展，才真正意義上有了一定程度上的思維習(xí)慣和應(yīng)試素質(zhì).

3. 開闊思維視野，形成解題基本思想體系

以轉(zhuǎn)化思想為例，波利亞的數(shù)學(xué)解題觀是“解題就是轉(zhuǎn)化問題”，將原問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決（能解決）的問題，就是問題的條件的推理步驟序列的集合，把整個題的條件與結(jié)論串接起來的各個步驟所組成的序列就是解題過程. 教學(xué)時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化的基本學(xué)習(xí)過程，將上述問題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵因素一一排列出來，找出問題本質(zhì)即可迎刃而解. 比如：二次函數(shù)中的面積最值問題的轉(zhuǎn)化過程中由幾何問題代數(shù)化（利用函數(shù)思想求最值）和代數(shù)問題幾何化（利用幾何圖形直觀理解）相結(jié)合來解決問題是我們常用到的基本活動經(jīng)驗. 還可以適當(dāng)?shù)卦俜e累基本活動經(jīng)驗，如上述面積最值問題的解題過程中的結(jié)論呈現(xiàn)出來，即點E的橫坐標(biāo)為直線與二次函數(shù)的交點橫坐標(biāo)和的一半時，面積取最大值. 甚至適當(dāng)?shù)赝卣沟讲皇侵本€與二次函數(shù)兩交點有關(guān)的三角形面積最值問題， 將問題繼續(xù)向上述問題轉(zhuǎn)化. 比如：在二次函數(shù)中求面積最值問題、周長最值問題、特殊線段最值問題、距離問題時，都可以轉(zhuǎn)化為求“鉛垂高”的最值，無論是直接法、切線法、割補法，還是化斜為直，都是利用轉(zhuǎn)化思想將問題不斷聯(lián)想轉(zhuǎn)化，直至轉(zhuǎn)化到最根本的問題上來，轉(zhuǎn)化到熟悉易解的簡單問題上來.

教學(xué)建議

解題教學(xué)活動中學(xué)習(xí)場[2] 的營造，應(yīng)凸顯出解題訓(xùn)練中思維場營造. 解題過程主要是深化鞏固數(shù)學(xué)知識與方法，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維與能力. 解題過程中思維規(guī)律主要還是“思維定式”或“經(jīng)驗優(yōu)先”，經(jīng)驗起著至關(guān)重要的作用，比如學(xué)生面對一個數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題目“環(huán)境”判斷思考的路徑，憑直覺思維、經(jīng)驗選擇最優(yōu)解題方法，憑扎實基本功和豐富的經(jīng)驗判斷一個結(jié)果是否正確等. 因此，解題教學(xué)活動重點解決的三個方面的問題：一是解決“怎么想”的問題，即解題思路和計劃是如何想出來的？二是解決“怎樣做最好”的問題，即執(zhí)行解題計劃時應(yīng)該注意哪些因素？三是解決“反思、點撥”的基本經(jīng)驗積累問題，即從技巧到方法的提煉，力求透過解法看本質(zhì)，達到舉一反三，觸類旁通，進而達到從方法上升到思想以至融會貫通[3] .

讀一讀、想一想、算一算、推一推、理一理、寫一寫等過程是學(xué)生獲得思維發(fā)展的有力保障. 因此，解題的一般步驟主要是讀、想、理（算）、寫，即讀懂題意主要是標(biāo)注已知條件和基本事實，批注二級結(jié)論，挖掘題設(shè)中的隱含條件;想出解題方法與思路，明確已知與未知的數(shù)學(xué)聯(lián)系，這樣才能準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)問題，并形成證題思路;理就是在讀和想的基礎(chǔ)上，選擇易于表達的證題方法，并嘗試寫出關(guān)鍵的式子;寫就是用盡可能簡潔、簡練、準(zhǔn)確的規(guī)范語言，將證明中涉及的等量代換方程思想、邏輯推理等書面表達出來. 這樣能更好地將數(shù)學(xué)抽象（讀：捕捉數(shù)學(xué)信息，是一個從數(shù)學(xué)外部到數(shù)學(xué)內(nèi)部的過程），邏輯推理（想：推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)論，從一個數(shù)學(xué)結(jié)論到另一個數(shù)學(xué)結(jié)論的過程），數(shù)學(xué)建模（寫：尋找基本圖形、幾何模型，從一個數(shù)學(xué)問題到另一個數(shù)學(xué)問題的過程），數(shù)學(xué)運算（算：邊角等量代換），直觀想象，數(shù)據(jù)分析（理：角度、邊長所暗示的幾何知識）在解題過程中得以落地.

教會學(xué)生解題和教會學(xué)生會解題是兩碼事，是授人以魚和授人以漁的區(qū)別，特別要將探尋一題多解的思考過程展現(xiàn)給學(xué)生，尋找方法的方法傳授給學(xué)生，使學(xué)生學(xué)習(xí)能力真正得到提高. 這樣既要求學(xué)生儲備基本知識與技能，又要求學(xué)生將原有的基本活動經(jīng)驗作為新的基本活動經(jīng)驗的積累與再積累、創(chuàng)造與再創(chuàng)造，使這樣的過程不斷延續(xù)下去.

在教學(xué)中，對學(xué)生解題能力的培養(yǎng)與落地生根的思考，一是注重選例的典型性，讓學(xué)生經(jīng)歷簡單模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析、反思提煉的訓(xùn)練過程，從而獲得嘗試、體驗、領(lǐng)會、悟道的基本活動經(jīng)驗;二是注重挖掘多角度思考的課本習(xí)題;三是注重對教材習(xí)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的引申與拓展;四是注重對學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)的引導(dǎo);五是注重對學(xué)生思維痕跡的總結(jié)提煉.

綜上所述，我們應(yīng)從各個方面做好充分的教學(xué)準(zhǔn)備，更好地追尋問題本源，將思考痕跡中的思維流淌出來，以此揭露出數(shù)學(xué)問題本質(zhì).

參考文獻：

[1] 何貽勇. 初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)高效性的實踐與思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（2）.

[2] 黃仁壽. 學(xué)習(xí)場的誘惑——發(fā)展高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考和實踐[M]. 湖南：湖南教育出版社，2018.

[3] 彭林，劉杰. 中代數(shù)一題多解[M]. 上海：上海教育出版社，2018.