李玥

[摘? 要] 文章對(duì)MPCK概念和結(jié)構(gòu)進(jìn)行界定，并以等腰三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)為例，基于MPCK學(xué)科知識(shí)、學(xué)生知識(shí)、課程知識(shí)、教學(xué)策略知識(shí)和教育信念角度設(shè)計(jì)教學(xué).

[關(guān)鍵詞] MPCK;等腰三角形;專(zhuān)題復(fù)習(xí)

從1986年舒爾曼提出教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（簡(jiǎn)稱(chēng)PCK）開(kāi)始，PCK對(duì)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展起了重要的影響，在國(guó)內(nèi)外教師教育領(lǐng)域掀起了研究熱潮. 近年來(lái)，研究者們關(guān)注特定學(xué)科的PCK，數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也不例外，提出數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（簡(jiǎn)稱(chēng)MPCK）.

MPCK概念和結(jié)構(gòu)的界定

1. MPCK概念

MPCK研究在PCK研究的基礎(chǔ)上展開(kāi)，是PCK與具體學(xué)科的延伸和結(jié)合，已成為目前數(shù)學(xué)教師知識(shí)研究的核心. 概念是事物的本質(zhì)屬性的思維形式，界定MPCK的概念，可以從其屬性入手，尋求其本質(zhì)屬性，進(jìn)而明確概念.

PCK和MPCK相關(guān)研究很多，學(xué)者們的界定也是各抒己見(jiàn). 但結(jié)合他們的描述，發(fā)現(xiàn)MPCK具有以下屬性：學(xué)科內(nèi)容方面[1-4]，教學(xué)策略方面[2-5]，學(xué)生方面[2，5]，教學(xué)情境方面 [2] ，某些教師知識(shí)的整合、轉(zhuǎn)化方面[2，5-7]，作用、效果方面[1，3-5]，其他方面[7] 等.

在上述屬性中，MPCK的本質(zhì)屬性是某些教師知識(shí)的整合或轉(zhuǎn)化. 故可將MPCK的概念界定為：MPCK是數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)、學(xué)習(xí)者知識(shí)、教學(xué)策略知識(shí)和課程知識(shí)等有機(jī)整合后形成的知識(shí)，是學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生能理解的知識(shí)的知識(shí).

2. MPCK結(jié)構(gòu)

對(duì)研究者提到的PCK和MPCK組成要素統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)提到最多的要素有學(xué)科知識(shí)、學(xué)習(xí)者知識(shí)、課程知識(shí)和教學(xué)策略知識(shí).

學(xué)科知識(shí)主要包括：內(nèi)容知識(shí)（數(shù)學(xué)的事實(shí)性知識(shí)、中心概念和組織原則，即核心知識(shí)點(diǎn)、實(shí)體知識(shí)和句法知識(shí)）;實(shí)體知識(shí)（數(shù)學(xué)的解釋性框架或范式，即數(shù)學(xué)中相關(guān)知識(shí)間的邏輯關(guān)系）;句法知識(shí)（決定新知識(shí)納入數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一些規(guī)則或方式，即數(shù)學(xué)思想與方法）. 學(xué)生知識(shí)主要指對(duì)于所教學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知特點(diǎn)、學(xué)習(xí)困難、易錯(cuò)點(diǎn)的了解. 課程知識(shí)表現(xiàn)為對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解以及對(duì)教材的把握. 教學(xué)策略知識(shí)主要包含教學(xué)評(píng)價(jià)、教學(xué)方法、教學(xué)組織相關(guān)的知識(shí).

實(shí)質(zhì)上這四個(gè)知識(shí)都是顯性知識(shí)，而知識(shí)中不僅有顯性知識(shí)，還不能忽略隱性知識(shí)的存在[8] ，故MPCK中也應(yīng)有隱性知識(shí)，即教育信念：一個(gè)教師對(duì)學(xué)科、學(xué)生學(xué)習(xí)、教學(xué)的看法. 也確實(shí)有極個(gè)別學(xué)者（如馬格努森）把教育信念作為PCK要素之一.

總之，MPCK結(jié)構(gòu)由學(xué)科知識(shí)、學(xué)習(xí)者知識(shí)、課程知識(shí)、教學(xué)策略知識(shí)和教育信念五個(gè)要素構(gòu)成.

案例分析

該文以《等腰三角形專(zhuān)題》為例，談?wù)勅绾卧贛PCK視角下設(shè)計(jì)專(zhuān)題復(fù)習(xí).

1. 課程知識(shí)的角度

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）有如下要求：了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等邊三角形的性質(zhì)定理及判定定理.

中考第一輪復(fù)習(xí)中的專(zhuān)題，復(fù)習(xí)了點(diǎn)、線(xiàn)、三角形等基本平面幾何圖形，在此基礎(chǔ)上復(fù)習(xí)特殊的三角形——等腰三角形及特殊的等腰三角形——等邊三角形. 因?yàn)槭翘厥獾娜切?，所以等腰三角形具有一般三角形全部的性質(zhì)，還具備了很多特殊性，在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用也更廣泛，是中考必考內(nèi)容. 等腰三角形不僅為線(xiàn)段相等、角相等及兩直線(xiàn)垂直的證明提供了新的依據(jù)，也是菱形、正方形等內(nèi)容的基礎(chǔ)，還可以與全等三角形、垂直平分線(xiàn)、四邊形、圓、函數(shù)等其他數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合.

2. 學(xué)習(xí)者知識(shí)的角度

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了該知識(shí)點(diǎn)，對(duì)等腰三角形已有一定的認(rèn)識(shí)，這為順利完成本節(jié)課內(nèi)容打下基礎(chǔ). 但由于學(xué)習(xí)時(shí)間較長(zhǎng)，學(xué)生有知識(shí)上的遺忘;同時(shí)，學(xué)生對(duì)于熟練、靈活利用等腰（邊）三角形性質(zhì)與判定解決問(wèn)題還存在一些困難;另外，很多學(xué)生還做不到發(fā)現(xiàn)、歸納等腰三角形與其他數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)體系.

3. 學(xué)科知識(shí)的角度

以核心知識(shí)點(diǎn)——數(shù)學(xué)中相關(guān)知識(shí)間的邏輯關(guān)系為教學(xué)主線(xiàn)，并滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與方法.

本節(jié)課是一堂專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，從學(xué)生的基礎(chǔ)、課堂時(shí)間的分配及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)等各方面考慮，都不建議采用直接背記定理的方式引入，可以先播放短視頻《魔鬼海域——等腰三角形》，激發(fā)學(xué)生興趣，喚起學(xué)生對(duì)舊知的回顧，及時(shí)總結(jié)梳理等腰三角形的定義、性質(zhì)及判定定理等知識(shí)點(diǎn);然后設(shè)置例題，以題目帶動(dòng)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)，并總結(jié)思想方法，以題理知，用知得法.

例1? 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D.

（1）若∠C=42°，求∠BAD的度數(shù);

（2）若點(diǎn)E在邊AB上，EF∥ AC交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：△AEF是等腰三角形.

通過(guò)一道習(xí)題，對(duì)等腰三角形“等邊對(duì)等角、三線(xiàn)合一”的性質(zhì)及判定都進(jìn)行了考查.

拓展思維：要證明一個(gè)三角形是等腰三角形，需要先得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法有三角形全等、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等. 在同一個(gè)三角形中，等邊和等角可相互轉(zhuǎn)換.

例2? 如圖，點(diǎn)M，N分別在等邊三角形ABC的邊BC，CA上，且BM=CN，AM，BN交于點(diǎn)Q，求證：∠BQM=60°.

考查等邊三角形的性質(zhì)，并且與全等三角形結(jié)合.

例3? 如圖，在△ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直徑，BC和AC邊分別與⊙O交于點(diǎn)D，E，連接DE.

（1）求證：BC=2DE;

（2）若DE=EC=2，求△ABC的周長(zhǎng).

考查等腰三角形“等邊對(duì)等角、三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，“等角對(duì)等邊”等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，并與圓結(jié)合.

等腰三角形是特殊的三角形，等邊三角形又是特殊的等腰三角形，滲透特殊與一般的數(shù)學(xué)思想.

例4? 如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B（8，6），點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C向A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止. 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在時(shí)間t，使得△ABP為等腰三角形. 若存在，求此時(shí)t 值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

與坐標(biāo)系結(jié)合，并滲透分類(lèi)思想：等腰三角形的邊分腰與底，角分底角和頂角，高也分在三角形內(nèi)部和外部?jī)深?lèi)，因此若題目沒(méi)有給明是哪種情況時(shí)，必須分類(lèi)討論，以免漏解.

等腰三角形還可以與很多知識(shí)結(jié)合，因時(shí)間原因不一一列舉，但可以讓學(xué)生自己回想、總結(jié)，并在課后作業(yè)中設(shè)計(jì)相關(guān)題目，由學(xué)生自己豐富知識(shí)體系.

4. 教學(xué)策略知識(shí)的角度

采用啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方式，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)等腰三角形的相關(guān)知識(shí);運(yùn)用多媒體輔助教學(xué);調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，使學(xué)生自主獲取知識(shí)，建構(gòu)知識(shí)體系.

5. 教育信念的角度

專(zhuān)題復(fù)習(xí)不是題海戰(zhàn)術(shù)，要高效、精準(zhǔn)，可選擇合適的例題，以題理知，用知得法，滲透數(shù)學(xué)思想方法，并啟發(fā)學(xué)生自主探索、總結(jié)歸納，把課堂的主體還給學(xué)生，由學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

實(shí)踐感悟

對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解以及對(duì)教材的把握是教學(xué)的前提，明確本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容在教材中的地位、作用等. 教學(xué)的主體是學(xué)生，所以需要對(duì)學(xué)生的學(xué)情重點(diǎn)分析，了解他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知特點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)等，由此才能在教學(xué)中有的放矢. 教學(xué)策略知識(shí)也很重要，不同的教學(xué)內(nèi)容采用不同的教學(xué)方法、教學(xué)組織形式等. 而學(xué)科知識(shí)是重中之重，教師只有對(duì)學(xué)科的核心知識(shí)、相關(guān)知識(shí)間的邏輯關(guān)系有深刻的理解，才能在課堂上引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，并更好地運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題. 同時(shí)，教師還要具有對(duì)教育信念的追求.

教師要加強(qiáng)自身的教學(xué)反思，通過(guò)多種途徑發(fā)展、完善自身的MPCK. 隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，現(xiàn)實(shí)迫切需要基于MPCK的數(shù)學(xué)教學(xué)，摒棄“照本宣科”“題海戰(zhàn)術(shù)”，轉(zhuǎn)向推動(dòng)學(xué)生的思維發(fā)展，重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

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