基于實函數(shù)的KH-積分的可積性研究*

李 偉

(集美大學(xué)理學(xué)院, 福建 廈門 361021)

繼Riemann積分[1]后，1957～1958年，J．kurzweil和R．Henstock分別獨立地建立了一種新的完全Riemann型的積分，人們稱之為kurzweil-Henstock積分[2-3](簡記為KH-積分)．1982年被證明了該積分等價于在1912年建立的特殊的Denjoy積分和1914年建立的Perron積分，且它們都包容了Lebesgue積分[4](簡記為L-積分)．1973年，美國學(xué)者E．J ．Mcshane研究了kurzweil-Henstock積分定義后，把kurzweil-Henstock積分定義中的條件作了若干限制，于1983年在紐約發(fā)表了題為《統(tǒng)一積分》的論文，定義了一種新的Riemann型積分，后來人們稱之為Mcshane積分[5](簡記為M-積分)．在此定義中無需用到復(fù)雜的測度理論[6]，并且證明了Mcshane積分等價于Lebesgue積分．為了尋找M-可積的等價條件，以及KH-可積的等價條件，A．W．Schurle于1984年在美國數(shù)學(xué)會會刊上發(fā)表的論文中提出了“Locally Small Riemann Sums”(局部小黎曼和)性質(zhì)(簡記為LSRS)[7]，間接地證明了函數(shù)可積性的等價條件，但證明過程十分繁雜．為了簡化證明，人們一直在不斷探索著．本文在M-積分、KH-積分及實函數(shù)的LSRS性質(zhì)等理論[7-10]的基礎(chǔ)上，證明了M-可積的等價條件；應(yīng)用Harnack擴張定理，將其進一步拓展到KH-積分，并對其可積性進行了探討．簡化了文獻[7]的證明．

1 預(yù)備知識

定義1[3]設(shè)δ(x)為區(qū)間[a,b]上的正值函數(shù)，對區(qū)間[a,b]任作分劃：

a=x0

滿足：

ξi-δ(ξi)

即

ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)),i=1,2,...,n

該分劃稱之為δ-精細分法．

實函數(shù)f(x)在[a,b]上的δ-精細M分法及Mcshane積分定義見文獻 [11] ．

如果f(x)在[a,b]上每點都具有LSRS性質(zhì)，則稱f(x)在[a,b]上具有LSRS性質(zhì)．

定義3[7]設(shè)x∈[a,b]，稱x為f(x)的奇異點，若對于任意閉區(qū)間[r,s]，滿足x∈[r,s]?[a,b]，而f(x)在[r,s]上不可積．當(dāng)x=a時，指x∈[a,s)?[a,b]；當(dāng)x=b時，指x∈(r,b]?[a,b]．

定義4[3]設(shè)f(x)是定義于[a,b]上的實函數(shù)，如果存在常數(shù)A，?ε>0，?δ(x)>0，x∈[a,b]，對[a,b]上的任何δ-精細分法D={([u,v],ξ)}有:

|∑f(ξ)(v-u)-A|<ε

則稱f(x)在[a,b]上為kurzweil-Henstock可積，簡稱KH-可積，A稱為f(x)在[a,b]上的積分，記為

定義5[7]設(shè)f(x)是定義于[a,b]上的實函數(shù)，若?x∈[a,b]，?ε>0，?δ(x)>0，對[a,b]上的任何閉區(qū)間[r,s]?(x-δ(x),x+δ(x))，在[r,s]上的任何δ-精細分法D，都有

|∑f(ξ)(v-u)|<ε，

則稱f(x)在[a,b]上具有局部小黎曼和性質(zhì)，簡記為LSRS*．

2 定理及其證明

定理1設(shè)f(x)在[a,b]上M-可積，則f(x)在[a,b]上具有LSRS性質(zhì)．

證明因f(x)∈M[a,b]，故存在連續(xù)的原函數(shù)F(x)，?ε>0，?δ(x)>0，對[a,b]上所有δ-精細M和式，有

這里F(u,v)=F(v)-F(u)，下同．

從而

證畢.

引理 設(shè)f(x)是[r,s]上的可測函數(shù)，若f(x)的正部f+(x)在[r,s]上不為M-可積，則對

?δ(x)>0，?k>0，?[r,s]上δ-精細M和式，有∑f+(ξ)(v-u)>k．

由L-積分定義，可得其證明，這里從略．

定理2設(shè)f(x)在[a,b]上可測且具有LSRS性質(zhì)，則f(x)∈M[a,b]．

證明令C={x|x為f(x)的奇異點}．顯然，只要證明C=Φ．

假設(shè)C≠Φ，取c∈C，由引理，不妨設(shè)f(c)=0．

證明c也是f-(x)和f+(x)的奇異點．

假設(shè)c不是f-(x)的奇異點，則存在閉區(qū)間[r,s]，使得

c∈(r,s)?[r,s]?(c-δ(c),c+δ(c))，

而f-(x)在[r,s]上可積(注，這里的δ(x)是指LSRS中的δ(x))．此時，f+(x)在[r,s]上必不可積．故由引理，在[r,s]上存在一δ-精細M分法D*，其和式滿足

∑*f+(ξ)(v-u) > 1，

由M-積分定義的偶對([u,v],ξ)中對ξ的要求，可適當(dāng)修正D*，使得

∑f(ξ)(v-u) = ∑*f+(ξ)(v-u) > 1．

由此得知此與條件LSRS相悖，于是c必是f-(x)的奇異點．同樣可證c是f+(x)的奇異點．因而可按照上述類似的演繹方法推得f(x)在點c不具有LSRS性質(zhì)．此與條件矛盾．

證畢．

下面在可測函數(shù)類中將f(x)的M-可積性拓展到一般的KH-積分上．

定理3若f(x)在[a,b]上可測且具LSRS*性質(zhì)，則f(x)在[a,b]上KH-可積．

證明令S={x|x是f(x)的奇異點}， 顯然S閉，且有開集

其中(ai,bi)為G的構(gòu)成區(qū)間．

只需證明S=Φ．用反證法．

首先證明f(x)∈KH[ai,bi](即在[ai,bi]上KH-可積)．顯然，由于f(x)具LSRS*性質(zhì)，由其定義，只要取[s,t]?(bi-δ(bi),bi)，可得

存在．

因f(x)具LSRS*，故取ε=1，?δ1(x)>0，?c∈[a,b]，任意閉區(qū)間[s,t]?(c-δ1(c),c+δ1(c))，[s,t]上的任何δ1-精細分法D1，有

U(a,x)=U(x)，V(a,x)=V(x)，

從而U(x,y)，V(x,y)有界．

另外，對所有x∈[u,v]?(x-δ1(x),x+δ1(x)),有

U(v)-U(u)≥U(u,v)≥f(x)(v-u)，

事實上，在[ai,bi]上，由f(x)的可積性及其原函數(shù)F(x)的連續(xù)性知，?x0，y0∈[ai,bi]，使得

但

V(u,v)≤f(ξ)(v-u)≤U(u,v)，

故

于是

于是由KH-積分的Harnack擴張定理，f(x)在J上KH-可積．但因S無孤立點，而Q是S的部分且