趣味數(shù)學

世界三大數(shù)學猜想：費馬猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想。這三個問題的共同點就是題面簡單易懂，但是內(nèi)涵深邃，影響了一代代的數(shù)學家。其中前兩個猜想已經(jīng)被證明，但是哥德巴赫猜想目前尚未解決，當前取得最好成果的是中國數(shù)學家陳景潤。

德國數(shù)學家哥德巴赫在1742年提出了一個大膽猜想：任何不小于3的奇數(shù)，都可以是三個質(zhì)數(shù)之和（如：7=2+2+3，當時1仍屬于質(zhì)數(shù)）。但是哥德巴赫自己也無法證明它，于是他寫信請教赫赫有名的數(shù)學家歐拉來幫忙證明。歐拉在回信中提出了另一個版本的哥德巴赫猜想：任何偶數(shù)，都可以是兩個質(zhì)數(shù)之和（如：4=2+2。當時1仍屬于質(zhì)數(shù)）。前者被稱為弱哥德巴赫猜想（已被證明），后者為強哥德巴赫猜想至今尚未被證明。由于1已經(jīng)不歸為質(zhì)數(shù)，所以這兩個猜想分別變?yōu)椋?/p>

任何不小于7的奇數(shù)，都可以寫成三個質(zhì)數(shù)之和的形式;

任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和的形式。

我們可以用編程來幫助理解和分析這個猜想，用Scratch來驗證“100以內(nèi)不小于4的偶數(shù)都能分解成兩個質(zhì)數(shù)之和”。

先確定解決問題的思路，我們把4-100的偶數(shù)分解成兩個數(shù)，一部分是質(zhì)數(shù)A，另一部分B等于偶數(shù)-A，接下來判斷B是否也是質(zhì)數(shù)，如果兩個都是質(zhì)數(shù)，則驗證通過，保存到列表。這個思路是不是很直接？因為復雜的計算都交給電腦完成了。接下來的難點就是如何善用循環(huán)和判斷質(zhì)數(shù)辦法了（2020年12期介紹過），一起來看看吧。

使用Mind+編程，創(chuàng)建變量：偶數(shù)、是質(zhì)數(shù)、i（用于計算質(zhì)數(shù)）、j（用于分解偶數(shù)）、列表（保存結果）。

設置偶數(shù)值為4，重復執(zhí)行到偶數(shù)大于100停止;每次執(zhí)行完積木“哥德巴赫猜想”后增加2（圖1）。

自制積木“哥德巴赫猜想”用于判斷，變量j用來代表其中一個加數(shù)，利用循環(huán)來判斷該加數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，判斷質(zhì)數(shù)的過程在自制積木“是否質(zhì)數(shù)”中。如果j是質(zhì)數(shù)，則判斷另外一個加數(shù)（偶數(shù)-j）是否也是質(zhì)數(shù)，如果兩個加數(shù)同時滿足，那么將這個正確的結果加入列表，否則將j增加1繼續(xù)循環(huán)（圖2）。

判斷質(zhì)數(shù)的過程之前講過，這里選擇了最簡單的一種，重復執(zhí)行直到變量i大于（數(shù)字-1）為止（比如需要判斷的數(shù)字j是10，那么變量i的取值的范圍在2-9之間），在循環(huán)過程中判斷數(shù)字除變量i的余數(shù)是否等于0，如果取余的結果等于0代表該數(shù)字不是質(zhì)數(shù)，直接跳出循環(huán)，如果完成循環(huán)余數(shù)都不等于0，代表該數(shù)字是質(zhì)數(shù)，將“是質(zhì)數(shù)”設置為1循環(huán)結束（圖3）。

最終可以把4-100之間的偶數(shù)分解成兩個質(zhì)數(shù)之和，每個數(shù)有一個解即可。當然偶數(shù)的分解方法有很多種，還可以先建立一張質(zhì)數(shù)表，然后通過質(zhì)數(shù)來判斷兩個數(shù)相加的和（圖4）。