是“巧合”，還是“必然”？

張琳

摘 要：課堂教學(xué)是一個動態(tài)的生成過程，每個課堂既是一個已知數(shù)，又是一個未知數(shù)，已知在于預(yù)設(shè)，未知則為生成。無論預(yù)設(shè)多么精彩，難免也會出現(xiàn)“意外”。要把課堂上即時生成的“意外”當(dāng)作一種寶貴的課程資源來開發(fā)利用，切不可廢棄。

關(guān)鍵詞：解題方法;反思提高;對比探究;創(chuàng)新意識

在最近的一次課堂教學(xué)中出現(xiàn)了這樣“奇怪”的現(xiàn)象：老師在檢測學(xué)生關(guān)于點線對稱問題的練習(xí)時，有位學(xué)生卻展示出“怪異”的解答，過程中看不出蘊含的解題原理，而答案卻是正確的。帶著這個疑惑筆者果斷放棄了原先的教學(xué)預(yù)設(shè)，以此為契機，引領(lǐng)學(xué)生進行了“刨根問底”式的探究.

一、問題提出

題目1已知點P（5，3），直線的方程為x-y+2=0，則點P關(guān)于直線l對稱的點Q的坐標(biāo)為_________。

多數(shù)同學(xué)運用了聯(lián)立方程組的一般解法，但同學(xué)甲的解法卻十分“怪異”。為表述方便以下稱之為“特殊解法”.甲同學(xué)的解答如下：用點P（5，3）中的橫坐標(biāo)5代換直線l方程x-y+2=0中的x，解出y=7，得點Q的縱坐標(biāo)7.同樣用點P（5，3）中的縱坐標(biāo)3代換直線方程x-y+2=0中的y，解出x=1，得點Q的橫坐標(biāo)1，即得點Q的坐標(biāo)為（1，7）。

這到底怎么回事？為了讓同學(xué)們對該類問題有更加清醒地認(rèn)識，筆者對甲同學(xué)的創(chuàng)新精神給予鼓勵，并發(fā)揮了同學(xué)們的主體功能，在全體同學(xué)們的積極參與下進行一系列的變式演算，多次進行嘗試性的對比驗證，看看最終展現(xiàn)在面前的結(jié)果究竟是什么.

二、對比驗證

題目2把點P的坐標(biāo)由（5，3）改為（-3，5），直線l的方程還是x-y+2=0，其它條件不變，通過一般解法與特殊解法這兩種計算方法對比，得出點Q的坐標(biāo)都是（3，-1），結(jié)果相同.得出驗證結(jié)論：甲同學(xué)的計算結(jié)果正確。

題目3把直線l的方程x-y+2=0更改為x-y-3=0，點P的坐標(biāo)還是（5，3），其它條件不變，通過兩種計算方法的對比得出點Q的坐標(biāo)都是（6，2），結(jié)果相同。得出驗證結(jié)論：甲同學(xué)的計算結(jié)果正確。

難道甲同學(xué)的特殊解法真的是“必然”現(xiàn)象？直覺告訴我們，驗證有待繼續(xù)推進。

題目4把直線l的方程x-y+2=0更改為3x-y+3=0，點P的坐標(biāo)還是（5，3），其它條件不變，通過兩種計算方法的對比，甲同學(xué)得出點Q的坐標(biāo)是（0，18），其他同學(xué)的答案則是（-4，6），出現(xiàn)了兩種不同的結(jié)果.得出驗證結(jié)論：甲同學(xué)計算結(jié)果的正確性首次出現(xiàn)了危機。

題目5把直線的方程x-y+2=0更改為x+2y-10=0，點P的坐標(biāo)更改為（1，2），其它條件不變，通過兩種計算方法的對比，甲

同學(xué)得出點Q的坐標(biāo)是，其他同學(xué)的答案是（3，6），結(jié)果再次不同.得出驗證結(jié)論：甲同學(xué)的計算結(jié)果仍然不正確。

探究活動進展到這里，已經(jīng)可以對甲同學(xué)的“特殊解法”貼上否定的標(biāo)簽了，但在一些情形下，該解法所得出的結(jié)果又是正確的，所以對此問題的探究還不到草率劃上句號時候，否則將會失去一次絕好的探究機遇，造成資源生成上的浪費。接下來我們急需知道的是：在什么情形下甲同學(xué)的特殊解法是可行的？于是筆者欣然決定引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)“余勇追寇”，向更深層推進.

三、深入探究

下面用一般方法求出已知點關(guān)于已知直線（不垂直于坐標(biāo)軸）對稱的點的坐標(biāo)。由于已知直線垂直于坐標(biāo)軸時，甲同學(xué)的特殊方法無法實施，顯然沒有對比驗證必要，以下探究僅針對已知直線不垂直于坐標(biāo)軸時的情形。

令點P的坐標(biāo)為P（x0，y0），直線的方程為Ax+By+C=0（AB≠0），點P（x0，y0）關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)為Q（x?，

y?），M為線段PQ的中點，易求點M的坐標(biāo)為，代入直

線l的方程中，得整理得Ax?+By?+Ax0+By0+2C=0? ①

因PQ⊥l，得

整理得Bx?-Ay?-Bx0+Ay0=0? ? ②

①×A+②×B? 得

①×B-②×A? 得

所以點Q的坐標(biāo)為.

用甲同學(xué)的特殊方法易求出點Q的坐標(biāo)為.

要使得兩種解答方法所得出的結(jié)果相同，必需且只需滿足條

件

觀察對比（*）式的左右結(jié)構(gòu)，容易分析出：A2=B2 且AB≠0正是滿足條件（*）的解.

探究接近尾聲，真相大白，水落石出.

水落石出

自此，讓我們回到問題之初的題目1至題目7中，驚奇的發(fā)現(xiàn)，題目1至題目5均滿足條件“A2=B2 且AB≠0”，導(dǎo)致甲同學(xué)的計算結(jié)果正確;而題目6與題目7則反之。

在解決上述點關(guān)于直線對稱的類似問題時，先觀察系數(shù)A、B是否滿足條件 “ 且”，若滿足可直接運用特殊解法，否則只能采用一般方法.甲同學(xué)的特殊解法只能有條件地使用，不能無條件地推廣。