特殊高階函數(shù)的構(gòu)造方法及相關(guān)性質(zhì)證明

孟宜成

(淮南師范學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引言

作為數(shù)學(xué)分析研究的主要對(duì)象，函數(shù)性質(zhì)一直是數(shù)學(xué)研究者所重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題.特殊函數(shù)的性質(zhì)因其具有一定的特殊性，在理解、接受上具有較大難度[1].因此，對(duì)于特殊函數(shù)性質(zhì)能夠構(gòu)造出具有相關(guān)性質(zhì)的函數(shù)，對(duì)這類函數(shù)的理解具有很大幫助.隨著級(jí)數(shù)理論的發(fā)展，很多學(xué)者借助函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)表示更廣泛且具有特殊性質(zhì)的函數(shù)類[2-3].還有學(xué)者利用處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的構(gòu)造，來(lái)提高人們對(duì)特殊函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)[4-5].研究者發(fā)現(xiàn)盡管收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的任意一項(xiàng)均可微或連續(xù)，但其所表征的和函數(shù)也可能是不可微或不連續(xù)的[6].因此，本文以上述主流研究成果為基礎(chǔ)，利用正、余弦2種三角函數(shù)的自相似性，完成了3種特殊高階函數(shù)的構(gòu)造，同時(shí)對(duì)其函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 處處連續(xù)而處處不可微函數(shù)

自從魏爾施特拉斯成功構(gòu)造出處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)，自相似性概念被逐漸引入到三角函數(shù)的相關(guān)分析中，以此為基礎(chǔ)，對(duì)魏爾施特拉斯的函數(shù)構(gòu)造方法進(jìn)行延伸和擴(kuò)展，即能實(shí)現(xiàn)處處連續(xù)而處處不可微函數(shù)的構(gòu)造.

定理1根據(jù)魏爾施特拉斯函數(shù)構(gòu)造理論，假定存在1個(gè)和函數(shù)，即

證明因?yàn)閨bncosanπx|≤bn同時(shí)b∈(0，1)，所以w(x)∈Cb(Rl)(函數(shù)在Rl上有界且連續(xù))，其連續(xù)性是一致的.

對(duì)于下式

按照微分中值定理，存在1個(gè)θn使下式成立，即

|cosan(x+h)π-cosanzπ|=

|anπhsinanπ(x+θh)|≤anπ|h|.

繼而能夠推導(dǎo)出

am(x+hm)=amx+amhm=1+am.

在n≥m的情況下，有

anπ(x+hm)=an-mπam(x+hm)=an-mπ(1+am).

由于a為正奇整數(shù)，則

cos(anπ(x+hm))=cos(an-mπ(1+am))=

(-1)1- am.

同時(shí)

cos(anπx)=cos(an-mπamx)=

(-1)amcos(an-mπβm).

因而可得

由此可推導(dǎo)出

所以下式成立，即

由此即能證明函數(shù)w(x)在x處是不可微的.

推而廣之，可作以下結(jié)論.

定理2假設(shè)存在1個(gè)函數(shù)，即

證明v(x)是明顯的處處連續(xù)的函數(shù).

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，由于函數(shù)v(x)的差分，有

所以以下關(guān)系成立，即

假定1個(gè)函數(shù)amx=am+βm，其中am為任意1個(gè)整數(shù)，βm∈[-1/2,1/2]，設(shè)

在n≥m的情況下，有

同時(shí)

因而可得

|Km|=

所以有

在m→∞同時(shí)hm→0的條件下，函數(shù)v(x)在x處是不可微的.

若將函數(shù)v(x)表示為正弦級(jí)數(shù)，即

(1)

則也可作出如下結(jié)論.

證明對(duì)于任意的x∈R，由于函數(shù)v(x)的差分，有

Am+Am-1+Am+1.

(2)

設(shè)amx=am+βm，其中βm∈[-1/2,1/2]，

(3)

在此條件下，有

(4)

可見(jiàn)式(3)所示的關(guān)系依然成立.

所以有

在n≥m的情況下，有

因此下式成立，即

也就是

在m→∞同時(shí)hm→0的條件下，函數(shù)v(x)是處處是不可微的.

通過(guò)實(shí)例可以證明必然存在符合定理3的函數(shù)v(x).

證明按照特定算法進(jìn)行計(jì)算之后可得

則有

(a+3+π)2-12a-12aπ>0.

2 處處連續(xù)而處處非赫爾德連續(xù)函數(shù)

定理4的證明過(guò)程與定理3相近，其結(jié)論成立.

通過(guò)以下實(shí)例可證明必然存在符合定理4的函數(shù)v(x).

例2對(duì)于實(shí)數(shù)b∈[ 1/4，1/2]，假定存在1個(gè)正弦函數(shù)，即

(5)

v(x)∈Cb(Rl)，但對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)s，函數(shù)v(x)處處都是非Cs的.

證明對(duì)于任意1個(gè)x值，v(x)的增量為

按定理3的方式確定hm，那么以下各關(guān)系式成立，即

|Tm≥bm|，

因此，對(duì)于任意的b∈[ 1/4，1/2]，有

所以對(duì)于1個(gè)任意的正數(shù)s>0，函數(shù)v(x)處處都是非Cs的.

3 處處赫爾德連續(xù)而不更高階連續(xù)函數(shù)

例3假定a為正數(shù)，b∈(0，1)，對(duì)于1個(gè)任意的正數(shù)s>0，存在函數(shù)U(x)，其表達(dá)式為

(6)

該函數(shù)處處Ca赫爾德連續(xù)但不更高階Ca+s連續(xù).

證明正弦函數(shù)sinx的Ca模特征為

所以有

由此可說(shuō)明U(x)∈Cb(Rl).

根據(jù)例2中的證明方法，以下關(guān)系式成立，即

因此可得

進(jìn)而能夠證明，對(duì)于1個(gè)任意的正數(shù)s>0，函數(shù)U(x)處處赫爾德連續(xù)但不更高階連續(xù).

4 自相似性方法的應(yīng)用

正、余弦函數(shù)共同具備的周期性特征形成了這2種三角函數(shù)的自相似性.即按照以下方式便能對(duì)函數(shù)中的相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行預(yù)估或計(jì)算，從而證明相應(yīng)的結(jié)論.

1) 對(duì)于余弦函數(shù)的傅里葉項(xiàng)級(jí)數(shù)，在m≤n的條件下，設(shè)定an/am為正奇數(shù)，則

由上式可見(jiàn)，計(jì)算結(jié)果與n無(wú)關(guān)，因此在m≤n的條件下，

|cosπan(x+hm)-cosπanx|=1+

此外，

|sinπam(x+hm)-sinπamx|=1+sin|βm|π≥1.

由此可直接估算|Am|且在m≤n的條件下，通過(guò)下式

可直接估算出余項(xiàng)|Am+1|.

3) 對(duì)于任意形式的三角函數(shù)，其中的bm↓0且趨近速度極快，同時(shí)由于ambm↑+∞，因而am↑+∞的趨近速度也是極快的.在對(duì)am和bm的具體數(shù)值進(jìn)行選擇時(shí)，需要同時(shí)控制余項(xiàng)|Am-1|和|Am+1|，以此來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算或估計(jì)的過(guò)程.

對(duì)于通過(guò)函數(shù)周期性所形成的自相似性，現(xiàn)有的研究成果中包含了一定數(shù)量的實(shí)例.

依據(jù)本文所提出的方法可對(duì)例4和例5進(jìn)行證明，只要對(duì)hm進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜≈?，使下式成立，?/p>

5 結(jié)語(yǔ)

魏爾施特拉斯對(duì)處處不可導(dǎo)函數(shù)的構(gòu)造方法打開(kāi)了特殊高階函數(shù)的構(gòu)造思路，本文依次構(gòu)造了處處連續(xù)而處處不可微函數(shù)、處處連續(xù)而處處非赫爾德連續(xù)函數(shù)、處處赫爾德連續(xù)而不更高階連續(xù)函數(shù)，證明了對(duì)于收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，即使所有項(xiàng)均為連續(xù)或可微的，由其構(gòu)成的和函數(shù)也不一定是連續(xù)或可微的.同時(shí)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了函數(shù)的自相似性.對(duì)于特殊高階函數(shù)的相關(guān)研究，本文所提出的構(gòu)造方法具有很高的參考價(jià)值.在本次研究過(guò)程中，多次運(yùn)用了傅里葉級(jí)數(shù)的局部處理方法，在今后的研究中將更注重探索解決整體問(wèn)題的方法.