鄭曉燕

（寧?？h西店鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)，浙江 寧海 315613）

研究差分方程：a?R+，xi(i=1,2,…,n,n﹥2)互不相等，（1）。有解的條件、解的表達(dá)式與解的個(gè)數(shù)。

一、差分方程（1）的幾個(gè)簡(jiǎn)單情形

首先研究n=3 的簡(jiǎn)單情形，并希望從中得到一點(diǎn)啟示。設(shè)x1、x2、x3互不相等，

二、一個(gè)多項(xiàng)式的幾個(gè)性質(zhì)

在研究差分方程（1）時(shí)，我們?cè)趯?duì)一般的n討論時(shí)，也需要引進(jìn)一個(gè)由遞推關(guān)系確定的多項(xiàng)式列，這里我們將討論一個(gè)性質(zhì)。

這說(shuō)明當(dāng)n=k+1 時(shí)，（2）式也成立。因而對(duì)一切不小于2 的自然數(shù)，（2）式恒成立。

三、差分方程(1)的通解

當(dāng)n=3 4、時(shí)，我們已經(jīng)求出了差分方程（2）的通解。沿著這個(gè)思路，我們成功地求出了一般情形的差分方程(1)的通解。往后出現(xiàn)的fn(x)即定理2.1 中所定義的多項(xiàng)式。

整理、并注意到fn(t)+afn-2(t)=tfn-1(t)即得

這說(shuō)明所有xi(i=1,2,n)都滿(mǎn)足關(guān)于X的方程：fn-1(t)X2+fn-1(t)X-afn-1(t)=0。

但xi(i=1,2,…,n)中至少有三個(gè)數(shù)互不相等，因而必有fn-1(t)=0。

定理3.2 設(shè)xi(i=1,2,…,n,n﹥2)滿(mǎn)足差分方程(1)，則x1，x2，…，xn必有形式

四、差分方程（1）通解的個(gè)數(shù)

我們?cè)诘? 節(jié)實(shí)際上已得到了差分方程（1）在n=3 4、的情形時(shí)，其通解的個(gè)數(shù)都是兩個(gè)。本節(jié)研究差分方程(1)在一般n的情形時(shí)，其通解的個(gè)數(shù)。