Lyapunov 函數(shù)與SIR模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的分析

劉霞，王健，王軍禮，王虎

(1.山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 山東 淄博 255049；2.北京大學(xué) 能源經(jīng)濟(jì)與可持續(xù)發(fā)展研究中心，北京100871；3.國務(wù)院發(fā)展研究中心 公共管理與人力資源研究所，北京 100010；4.北京大學(xué) 北京大學(xué)深圳研究生院，深圳 518055)

圍繞傳染病模型狀態(tài)穩(wěn)定性分析的研究[1-4],在預(yù)測疾病的發(fā)展趨勢和控制疾病的傳播速度等方面都起到了很大的作用，這類研究都是通過分析相應(yīng)的常微分方程得到一個再生數(shù)R0[1,4],根據(jù)該參數(shù)分析疾病是否能消除。考慮到現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出的小世界效應(yīng)[5]和無標(biāo)度SF特性[6]，Barabási等[7]在SF網(wǎng)絡(luò)的開創(chuàng)性工作激發(fā)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中傳播動力學(xué)的廣泛研究，Pastor等[8]研究了傳染病模型SIS在SF網(wǎng)絡(luò)和有界SF網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)行為。

1 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對傳播行為的影響

1.1 SIR 模型在SW網(wǎng)絡(luò)上的傳播

圖1 SW網(wǎng)絡(luò)上SIR模型的轉(zhuǎn)移

SW網(wǎng)絡(luò)度分布的一個顯著特點(diǎn)是每個節(jié)點(diǎn)可以近似具有相同的度，即f(k)～〈k〉，那么該模型中由S和I構(gòu)成的微分方程為

(1)

本文利用Lyapunov函數(shù)直接法分析平衡點(diǎn)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。

定理1 當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(1)的傳染病平衡點(diǎn)E*是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明由于E*是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)，所以

A=pbI*+β〈k〉S*I*+dS*,

(d+δ)I*=β〈k〉S*I*+pbI*。

對系統(tǒng)(1)，V(S,I)沿S,I的全導(dǎo)數(shù)為

對一切S(t),I(t)≥0,則

其中“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)S(t)=S*，根據(jù)漸進(jìn)穩(wěn)定性定理[11],E*是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

定理2 當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng) (1) 的DFE即E0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明定義另一個Lyapunov 函數(shù)，

對系統(tǒng)(1)，U(S,I) 沿S,I的全導(dǎo)數(shù)為

從R0的表達(dá)式可知網(wǎng)絡(luò)的特征值〈k〉可以增大R0的值，進(jìn)而加快疾病的傳播。

1.2 SIR模型在SF 網(wǎng)絡(luò)上的傳播

圖2 SF網(wǎng)絡(luò)上SIR模型的轉(zhuǎn)移

利用平均場理論給出Sk(t)、Ik(t)、Nk(t)在SF網(wǎng)絡(luò)上的常微分方程組

(2)

顯然θ=0是方程(3)的一個根。

2 數(shù)值模擬

針對不同的R0對SIR模型在SW網(wǎng)絡(luò)上的動態(tài)行為進(jìn)行仿真。令A(yù)=10 個,p=0.1,b=0.06，β=0.005,d=0.008,δ=0.1, 〈k〉=5，此時R0=17.96>1,并且I*=52.46 個,選取三組初始值分析I(t)的穩(wěn)定性，如圖3所示。從圖3可以看出在不同的初值下,曲線都穩(wěn)定到52.46。更改參數(shù)令A(yù)=5 個,d=0.3,δ=0.5,得到R0=0.52<1,仍然用相同的三組初值來模擬，如圖3所示。從圖3可以看出，不管如何選取初始值,都趨于0，即穩(wěn)定到DFE。

(a)R0>1

其次,在SF網(wǎng)絡(luò)上對SIR模型進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真, 令k∈[1,30],A=500 個,p=0.1,b=0.1，β=0.7,d=0.1,δ=0.2,此時R1=7.66,本文給定三組系統(tǒng)的初始值,I(t)的變化趨勢如圖4所示。 從圖4可以看出，不管初始值如何選取，最終總的I類人口數(shù)都穩(wěn)定于一個非零值1 496，即疾病不能消除, 從而發(fā)展成傳染態(tài)；更改參數(shù)令p=0.5,b=0.06，β=0.1,d=0.03,δ=0.7，此時得到R1=0.453，由圖4可知,I類人口都趨于零，穩(wěn)定到DFE, 從仿真結(jié)果可以看出相應(yīng)的平衡點(diǎn)都是穩(wěn)定的。

(a)R1>1

3 結(jié)論

針對文獻(xiàn)[9]的假設(shè)條件,本文更改了傳播機(jī)制,并將人口總數(shù)N推廣為關(guān)于t的函數(shù),考慮到模型所處的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),在兩個經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上分別研究了SIR模型。利用Lyapunov函數(shù)研究了SIR模型在SW網(wǎng)絡(luò)上平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性, 即當(dāng)R0>1時平衡點(diǎn)E*是全局穩(wěn)定點(diǎn)，相反, 當(dāng)R0≤1時, DFE是全局穩(wěn)定點(diǎn)；從R0的表達(dá)式可以看出, 小世界效應(yīng)會加快疾病的動態(tài)過程。在SF網(wǎng)絡(luò)上分析SIR模型時,本文分析了模型平衡點(diǎn)的存在條件,得出了相應(yīng)的基本再生數(shù)R1；針對SF網(wǎng)絡(luò)特性在構(gòu)造的微分方程組中的函數(shù)θ(t)包含Ik(t)、Nk(t),需要對整個系統(tǒng)進(jìn)行k組方程的分析才能得出全局穩(wěn)定性條件,這有待于后續(xù)研究。