基于連續(xù)動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整算法的工業(yè)機(jī)器人軌跡準(zhǔn)確度分析

李 睿，王炳榮，崔曉玲

（北京工業(yè)大學(xué)北京市精密測(cè)控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京100124）

1 引 言

工業(yè)機(jī)器人是智能制造的關(guān)鍵裝備之一，隨著工業(yè)機(jī)器人在精密制造、航空航天、精密測(cè)量等高精度領(lǐng)域應(yīng)用的不斷增加，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能要求也越來(lái)越高［1］。機(jī)器人軌跡準(zhǔn)確度和重復(fù)性指標(biāo)是衡量機(jī)器人性能最關(guān)鍵的指標(biāo)之一，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 9283（Manipulating industrial robots-Performance criteria and related test methods）［2］，國(guó)標(biāo)GB/T 12642-2003：工業(yè)機(jī)器人性能規(guī)范及其試驗(yàn)方法［3］，歐洲工業(yè)機(jī)器人標(biāo)準(zhǔn)改進(jìn)項(xiàng)目［4］（IRIS）以及美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)ANSI/RIA R15.05-2-1992：Path-Related and Dynamic Performance Characteristics Evaluation［5］，均對(duì)機(jī)器人軌跡準(zhǔn)確度和重復(fù)性測(cè)試方法進(jìn)行了定義。

目前，以上3 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)廣泛被應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人軌跡性能測(cè)試中。根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 9283 中對(duì)位姿精度的試驗(yàn)規(guī)范和要求，韓國(guó)機(jī)器人工業(yè)發(fā)展研究所采用激光跟蹤測(cè)量系統(tǒng)［5］對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行基于D-H 模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定；天津大學(xué)采用雙目視覺(jué)系統(tǒng)［6］對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行了位置誤差標(biāo)定。北京工業(yè)大學(xué)在國(guó)標(biāo)GB/T 12642-2013 的基礎(chǔ)上，分析工業(yè)機(jī)器人每一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)性能的定義和物理意義并開(kāi)發(fā)了一套性能測(cè)試與評(píng)價(jià)軟件［7］。伊朗科技大學(xué)基于美國(guó)ANSI/RIA R15.05-2-1992 標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)發(fā)了一套基于視覺(jué)的工業(yè)機(jī)器人控制系統(tǒng)，完成了對(duì)工業(yè)機(jī)器人的軌跡性能測(cè)試［8］。

ISO 9283 和GB/T 12642 標(biāo)準(zhǔn)中，規(guī)定需構(gòu)造垂直于指令軌跡的法平面，與實(shí)際軌跡相交計(jì)算軌跡準(zhǔn)確度，并制定了試驗(yàn)方法，但標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有具體規(guī)定法平面構(gòu)造的位置，僅說(shuō)明選擇時(shí)應(yīng)與測(cè)量形狀和速度相關(guān)。ANSI/RIA 中規(guī)定在指令軌跡上等距構(gòu)造法平面，然而對(duì)于非直線(xiàn)軌跡，受機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)偏差、測(cè)量系統(tǒng)的采樣頻率和測(cè)量誤差的影響，軌跡上各點(diǎn)法線(xiàn)不斷變化，構(gòu)造的法平面可能相交，導(dǎo)致指令軌跡與實(shí)際軌跡點(diǎn)之間產(chǎn)生錯(cuò)誤的映射，造成較大的測(cè)量誤差。

針對(duì)非直線(xiàn)軌跡法平面構(gòu)造時(shí)，受機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)偏差、測(cè)量系統(tǒng)的采樣頻率和測(cè)量誤差的影響，導(dǎo)致指令軌跡與實(shí)際軌跡點(diǎn)之間出現(xiàn)映射錯(cuò)誤，造成較大的軌跡測(cè)量誤差的問(wèn)題，本文提出了采用連續(xù)動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整算法（Continuous Dynamic Time Warping，CDTW）解決機(jī)器人軌跡映射的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)工業(yè)機(jī)器人軌跡準(zhǔn)確度進(jìn)行測(cè)量分析，與國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 9283 中的評(píng)價(jià)方法進(jìn)行對(duì)比，并著重分析了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度以及測(cè)量系統(tǒng)采樣頻率對(duì)軌跡映射方法的影響，驗(yàn)證了動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整方法（Dynamic Time Warping，DTW）應(yīng)用于軌跡準(zhǔn)確度分析的有效性和正確性。

2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)特性的測(cè)試評(píng)價(jià)方法及問(wèn)題分析

國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 9283 中規(guī)定，工業(yè)機(jī)器人軌跡準(zhǔn)確度由指令軌跡的位置與各實(shí)到軌跡位置集群中心線(xiàn)之間的偏差決定，如圖1 所示。

沿指令軌跡選擇m個(gè)點(diǎn)并計(jì)算其法平面，n條實(shí)測(cè)軌跡與法平面交點(diǎn)坐標(biāo)的平均值與指令軌跡的距離的最大值A(chǔ)TP為位置軌跡準(zhǔn)確度：

圖1 ISO 標(biāo)準(zhǔn)的軌跡準(zhǔn)確度Fig.1 Path accuracy of ISO standard

美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)ANSI/RIA R15.05-2-1992 與ISO 9283 的軌跡準(zhǔn)確度試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)相類(lèi)似，規(guī)定了法平面的放置位置，如圖2 所示。標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定指令軌跡必須是二維的，位于標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試平面XOY上，此標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試平面為參考平面，取決于機(jī)器人的工作空間，L為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試平面的寬度。法平面與標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試平面法線(xiàn)對(duì)齊，并在參考軌跡上等距放置。通過(guò)法平面與指令軌跡和實(shí)測(cè)軌跡的交點(diǎn)來(lái)計(jì)算軌跡誤差。然而在非直線(xiàn)軌跡的情況下，法平面仍然會(huì)交叉并使時(shí)間序列顛倒，造成軌跡點(diǎn)之間的錯(cuò)誤映射，并且此法平面的構(gòu)造放置方式無(wú)法對(duì)尖銳拐角點(diǎn)進(jìn)行映射。

圖2 美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)的軌跡準(zhǔn)確度Fig.2 Path accuracy of ANSI

歐洲機(jī)器人工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)改進(jìn)項(xiàng)目（IRIS）規(guī)定在實(shí)測(cè)軌跡的每個(gè)采樣點(diǎn)處構(gòu)造與軌跡切線(xiàn)垂直的法平面。但該方法在軌跡較為復(fù)雜的情況下仍然存在局限性，受機(jī)器人運(yùn)動(dòng)偏差和測(cè)量誤差影響，實(shí)測(cè)軌跡的切線(xiàn)具有不確定性，法平面可能相交，導(dǎo)致時(shí)間順序顛倒，造成錯(cuò)誤的映射，如圖3 所示。圖3（a）為直線(xiàn)軌跡，由于運(yùn)動(dòng)偏差或測(cè)量誤差的影響，采樣點(diǎn)處的法平面可能相交，導(dǎo)致映射的錯(cuò)誤，造成微小的軌跡測(cè)量誤差。圖3（b）為拐角軌跡，為保證運(yùn)動(dòng)的連續(xù)平穩(wěn)，機(jī)器人在拐角處的運(yùn)動(dòng)軌跡為近似軌跡，實(shí)測(cè)軌跡的形狀與指令軌跡在拐角處存在一定的偏差，導(dǎo)致明顯的映射錯(cuò)誤，造成較大的軌跡測(cè)量誤差。圖3（c）為一個(gè)實(shí)際的例子，可以看到，拐角處實(shí)測(cè)軌跡為接近過(guò)渡方式，在拐角處實(shí)測(cè)軌跡采樣點(diǎn)的法平面與指令軌跡相交于明顯錯(cuò)誤的位置甚至不相交，造成極大的軌跡測(cè)量誤差，在拐角軌跡與直線(xiàn)軌跡的相交處容易發(fā)生圖3（a）所示的映射錯(cuò)誤。

圖3 切線(xiàn)法平面存在的映射問(wèn)題Fig.3 Problem of tangent normal plane

工業(yè)機(jī)器人在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作時(shí)間的函數(shù)，其軌跡數(shù)據(jù)可以看作一條時(shí)間序列。DTW 算法是一種衡量?jī)蓚€(gè)時(shí)間序列相似度的方法，用滿(mǎn)足一定條件的時(shí)間規(guī)整函數(shù)描述兩者之間的時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)兩序列間的最優(yōu)匹配。因此，針對(duì)指令軌跡與實(shí)際軌跡采樣點(diǎn)之間的映射關(guān)系問(wèn)題，采用DTW 算法進(jìn)行研究分析。

3 動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整

DTW 算法是一種具有非線(xiàn)性時(shí)間歸一化效果的模式匹配算法［10］，在工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡分析中，本文利用這種算法進(jìn)行工業(yè)機(jī)器人實(shí)際軌跡與指令軌跡之間的映射，避免出現(xiàn)映射后時(shí)間順序顛倒的問(wèn)題。

3.1 DTW 算法

DTW 算法是一種把時(shí)間規(guī)整和距離測(cè)度計(jì)算結(jié)合起來(lái)的非線(xiàn)性規(guī)整技術(shù)［11］，通過(guò)不斷地計(jì)算兩矢量間的距離來(lái)搜索兩者之間最優(yōu)匹配路徑，保證它們之間存在最大的相似度。該算法原理如下：

定義兩個(gè)離散序列：則，兩個(gè)離散序列中各點(diǎn)xi和yj之間的距離：

定義兩者的相似性度量函數(shù)D(i，j)，即兩條序列之間的累積距離：

定義規(guī)整路徑ω，將序列Y上的數(shù)據(jù)點(diǎn)非線(xiàn)性地映射到序列X上，使得兩者的累積距離最?。?/p>

其中：wT=D(i，j)，ωT是規(guī)整路徑ω上的第T個(gè)元素，表示xi與yj建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

回溯法［12］是一種選優(yōu)搜索方法，按選優(yōu)策略向前搜索，以達(dá)到目標(biāo)，本文選用回溯法得到規(guī)整路徑ω。規(guī)定規(guī)整路徑ω的回溯優(yōu)選策略為：

（1）邊界性：規(guī)整路徑ω要從點(diǎn)(xm，yn)開(kāi)始，到點(diǎn)(x1，y1)結(jié)束；

（2）單調(diào)連續(xù)性：規(guī)整路徑ω從點(diǎn)(xm，yn)開(kāi)始，只能去往(xm，yn-1)或(xm-1，yn)或(xm-1，yn-1)。

通過(guò)上述約束條件可以找到一條累積距離最小的規(guī)整路徑，此時(shí)序列X和Y之間即可實(shí)現(xiàn)最優(yōu)匹配。采用動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整算法對(duì)兩條二維軌跡進(jìn)行映射分析，結(jié)果如圖4 所示。圖4（a）的坐標(biāo)軸分別表示兩條軌跡的采樣點(diǎn)，網(wǎng)格表示兩條軌跡全部采樣點(diǎn)之間的所有可能映射，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)值代表兩點(diǎn)間的相似度量值，通過(guò)回溯法的優(yōu)選策略得到最優(yōu)規(guī)整路徑，根據(jù)序列間的規(guī)整路徑得到圖4（b）中兩條軌跡的映射關(guān)系。

圖4 動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整算法的軌跡映射示例Fig.4 Path mapping example of DTW

3.2 CDTW 算法

將DTW 算法應(yīng)用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析的一個(gè)主要缺點(diǎn)是映射的離散化［13］。機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡是連續(xù)的，但軌跡測(cè)量數(shù)據(jù)是離散的，離散的數(shù)據(jù)導(dǎo)致在應(yīng)用DTW 算法進(jìn)行軌跡映射時(shí)只能映射到已有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這種匹配導(dǎo)致兩條軌跡間的相似性度量值增大，點(diǎn)與點(diǎn)之間的匹配度降低，可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間多對(duì)一的情況。當(dāng)采樣頻率較小時(shí)，這種現(xiàn)象更加明顯。

CDTW 算法的目標(biāo)是找到最佳的連續(xù)規(guī)整路徑，即規(guī)整路徑不再被約束為通過(guò)圖中的節(jié)點(diǎn)，可以映射到兩個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的插值點(diǎn)［14］。不同映射方法獲得的規(guī)整路徑對(duì)比如圖5所示。

圖5 DTW 與CDTW 映射對(duì)比Fig.5 Mapping comparison between DTW and CDTW

與DTW 算法的回溯優(yōu)選策略不同，CDTW算法的連續(xù)性不再局限于網(wǎng)格上的節(jié)點(diǎn)，路徑匹配規(guī)則如圖6 所示。圖6（a）為采用DTW 算法，規(guī)定規(guī)整路徑ω只能去往3 個(gè)邊界點(diǎn)，圖6（b）為采用CDTW 算法，規(guī)整路徑ω可以到達(dá)網(wǎng)格的左方和下方中行列之間的插值點(diǎn)。

圖6 DTW 與CDTW 路徑匹配規(guī)則對(duì)比Fig.6 Comparison of Path matching rule between DTW and CDTW

因此，兩序列之間的相似性度量函數(shù)表示如式（6）所示：

其中，δ為介于0～1 之間的一個(gè)參數(shù)。δ非零時(shí)，一條軌跡的對(duì)應(yīng)點(diǎn)必定位于另一條軌跡上的插值點(diǎn)，可以通過(guò)線(xiàn)性插值模型計(jì)算具體位置［15］。對(duì)于兩條待映射的軌跡曲線(xiàn)C1和C2，通過(guò)弧長(zhǎng)參數(shù)化來(lái)描述線(xiàn)性插值模型，曲線(xiàn)上的插值點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)r1和r2，如圖7 所示。

圖7 曲線(xiàn)參數(shù)化Fig.7 Curve parameterization

曲線(xiàn)C1和C2的點(diǎn)坐標(biāo)方程式Ck為：

其中：

通過(guò)確定r1，r2即可獲得插值點(diǎn)的具體位置。當(dāng)CDTW 算法進(jìn)行回溯時(shí)，相似性度量矩陣D(i，j)中如果出現(xiàn)多點(diǎn)映射一點(diǎn)的情況，通過(guò)線(xiàn)性插值模型在多對(duì)一映射的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間進(jìn)行插值，直到數(shù)據(jù)點(diǎn)間實(shí)現(xiàn)一一映射。通過(guò)CDTW算法得到的規(guī)整路徑更平滑，能夠更好的反映測(cè)量軌跡與指令軌跡點(diǎn)之間的映射關(guān)系。機(jī)器人在執(zhí)行拐角軌跡過(guò)程中速度會(huì)發(fā)生變化，因此在數(shù)據(jù)點(diǎn)相較稀疏的區(qū)域進(jìn)行選擇性的插值處理來(lái)提高算法的精度。

4 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)量

本文采用Leica 激光跟蹤儀對(duì)KUKA KR6 R700 工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行軌跡測(cè)量實(shí)驗(yàn)，參照ISO 9283 標(biāo)準(zhǔn)中提供的可選用的試驗(yàn)軌跡規(guī)劃?rùn)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，試驗(yàn)裝置如圖8 所示。

圖8 試驗(yàn)裝置圖Fig.8 Test device

機(jī)器人的實(shí)際軌跡為時(shí)間的函數(shù)，因此與其對(duì)應(yīng)的理論軌跡也應(yīng)該是與時(shí)間相關(guān)的一條軌跡數(shù)據(jù)點(diǎn)，而非等間隔采樣的數(shù)據(jù)。根據(jù)在示教器上輸入的指令軌跡，機(jī)器人系統(tǒng)生成一條理論軌跡點(diǎn)，該理論軌跡是時(shí)間的函數(shù)，可以通過(guò)上位機(jī)與機(jī)器人通信實(shí)時(shí)獲得理論軌跡數(shù)據(jù)。機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制是由機(jī)器人的內(nèi)部控制環(huán)境KRL（KUKA Robot Language）與RSI（Robot Sensor Interface）來(lái)實(shí)現(xiàn)的，KRL 是機(jī)器人控制編程接口，主要對(duì)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的非實(shí)時(shí)控制，在KRL 環(huán)境中編寫(xiě)運(yùn)動(dòng)軌跡程序。RSI 是機(jī)器人通信接口，實(shí)現(xiàn)與外部系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)交互，通過(guò)上位機(jī)編程對(duì)RSI 對(duì)象進(jìn)行配置和調(diào)用便可實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)的獲取。本文通過(guò)RSI 讀取機(jī)器人理論軌跡，通過(guò)外部測(cè)量設(shè)備激光跟蹤儀測(cè)量機(jī)器人的實(shí)際軌跡。

4.1 機(jī)器人通信

RSI 可通過(guò)Ethernet 通信或機(jī)器人總線(xiàn)IO與外部系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)交互，具備周期性的信號(hào)處理和評(píng)估能力。RSI 每隔12 ms 進(jìn)行一次數(shù)據(jù)交互，實(shí)時(shí)性較好。上位機(jī)與機(jī)器人控制器進(jìn)行的數(shù)據(jù)交換是以XML 格式進(jìn)行的，通信前的參數(shù)配置如圖9 所示。

圖9 XML 文件配置Fig.9 XML file configuration

RSI 上下文是在KRL 程序中被加載的，其對(duì)信號(hào)的處理與KRL 程序并行執(zhí)行，并可按需要激活或取消激活。RSI 在KRL 程序中調(diào)用的流程為：聲明KRL 變量，創(chuàng)建RSI 上下文，將配置的參數(shù)加載到RSI 容器中。激活RSI，上位機(jī)建立與機(jī)器人系統(tǒng)的通信，機(jī)器人執(zhí)行運(yùn)動(dòng)軌跡，上位機(jī)周期性的獲取機(jī)器人的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，軌跡執(zhí)行結(jié)束后關(guān)閉RSI。

4.2 機(jī)器人與激光跟蹤儀坐標(biāo)系變換矩陣標(biāo)定

機(jī)器人基坐標(biāo)系和測(cè)量坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換可以通過(guò)測(cè)量機(jī)器人安裝平面及軸1，2 軸線(xiàn)擬合計(jì)算，但機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差會(huì)影響坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的準(zhǔn)確性，因此本文采用D-H 模型對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定［16］，利用標(biāo)定后的參數(shù)精標(biāo)定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣，提高測(cè)量精度。

利用激光跟蹤儀獲得機(jī)器人末端靶標(biāo)位置，采用位置誤差最小模型解算機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，以測(cè)量的位置與實(shí)際位置之間的差值最小為約束條件來(lái)求解參數(shù)，坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖10所示。

圖10 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.10 Coordinate system conversion

激光跟蹤儀與機(jī)器人坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換存在3 個(gè)旋轉(zhuǎn)誤差δx，δy，δz以及3 個(gè)平移誤差dx，dy，dz。兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣誤差可由如式（8）表示：

將靶球剛性連接在機(jī)器人末端，相對(duì)于末端只發(fā)生了平移變換，誤差關(guān)系式為：

建立測(cè)量得到的靶球坐標(biāo)系Otm與計(jì)算得到的靶球坐標(biāo)系Otc的關(guān)系式：

至少選取測(cè)量11 個(gè)位置坐標(biāo)用于標(biāo)定，并利用最小二乘法進(jìn)行求解。標(biāo)定后機(jī)器人的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣誤差及靶球安裝誤差如表1所示。

表1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣誤差及靶球安裝誤差Tab.1 Coordinate system transformation matrix error and target ball installation error（mm）

5 機(jī)器人軌跡準(zhǔn)確度試驗(yàn)

根據(jù)ISO 9283 標(biāo)準(zhǔn)附錄中的可選測(cè)試軌跡數(shù)據(jù)集編輯一條軌跡，該軌跡位于標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試平面內(nèi)，包括直線(xiàn)、圓弧和拐角運(yùn)動(dòng)的組合。機(jī)器人首先執(zhí)行一段直線(xiàn)軌跡，起點(diǎn)P1坐標(biāo)為（400，-50，750），P2為（450，-50，750）。其次執(zhí)行一段圓弧類(lèi)型的圓滑拐角，設(shè)置拐角為5 mm。最后執(zhí)行一段直線(xiàn)軌跡，終點(diǎn)P3為（450，0，750）。上位機(jī)實(shí)時(shí)讀取機(jī)器人系統(tǒng)的理論軌跡，激光跟蹤儀讀取機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)行軌跡，通過(guò)坐標(biāo)系變換轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下。

5.1 直線(xiàn)軌跡映射方法對(duì)比

為了比較ISO 標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定方法、DTW 算法以及CDTW 算法的映射結(jié)果，設(shè)置激光跟蹤儀采樣頻率為50 Hz，首先選取了直線(xiàn)軌跡處的30對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)。采用ISO 標(biāo)準(zhǔn)方法和DTW 算法進(jìn)行映射，軌跡映射對(duì)比分析如圖11 所示，計(jì)算直線(xiàn)軌跡映射后的軌跡準(zhǔn)確度結(jié)果如圖12所示。

圖11 直線(xiàn)軌跡映射結(jié)果Fig.11 Comparison of linear path mapping result

圖12 直線(xiàn)軌跡準(zhǔn)確度計(jì)算結(jié)果Fig.12 Calculation results of linear path accuracy

圖11 中的直線(xiàn)軌跡，機(jī)器人的運(yùn)行速度相對(duì)穩(wěn)定，采樣點(diǎn)比較均勻，ISO 方法獲得的軌跡準(zhǔn)確度為0.312 mm，DTW 算法獲得的軌跡準(zhǔn)確度為0.306 mm。軌跡準(zhǔn)確定測(cè)量精度為0.01 mm，兩種算法計(jì)算結(jié)果相差0.006 mm，相對(duì)誤差1.9%，計(jì)算結(jié)果相一致，說(shuō)明采用映射算法對(duì)軌跡準(zhǔn)確度的計(jì)算結(jié)果是正確的。

5.2 拐角軌跡映射方法對(duì)比

選取拐角處的50 對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用3 種方法分別對(duì)兩種軌跡的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行映射。對(duì)于ISO 標(biāo)準(zhǔn)中的法平面放置問(wèn)題，采用文獻(xiàn)8 的方法優(yōu)化。軌跡映射對(duì)比如圖13 所示。

圖13 拐角軌跡映射結(jié)果比較Fig.13 Comparison of corner path mapping result

圖13 中可以看到，在機(jī)器人執(zhí)行拐角軌跡時(shí)，受機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度以及機(jī)器人運(yùn)動(dòng)偏差的影響，導(dǎo)致實(shí)際軌跡的形狀與指令軌跡存在一定的差別，圖13（a）中的ISO 軌跡映射方法在點(diǎn)21 至點(diǎn)30 處的10 個(gè)點(diǎn)存在時(shí)間序列的失真，占軌跡總點(diǎn)數(shù)的20%，導(dǎo)致映射的錯(cuò)誤，嚴(yán)重影響軌跡準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)的正確性。圖13（b）中的DTW 算法則不會(huì)產(chǎn)生這種問(wèn)題，能夠正確地進(jìn)行軌跡點(diǎn)之間的映射。但由于采樣頻率的限制，在理論軌跡點(diǎn)14，17，21，31，35，37 處存在非一一映射的現(xiàn)象，占總點(diǎn)數(shù)的12%，導(dǎo)致軌跡準(zhǔn)確度的不準(zhǔn)確。圖13（c）中采用CDTW 算法不僅不會(huì)產(chǎn)生映射錯(cuò)誤問(wèn)題，由于內(nèi)插點(diǎn)的存在，實(shí)際軌跡點(diǎn)能夠映射到理論軌跡的非參考點(diǎn)上，不會(huì)出現(xiàn)一點(diǎn)映射多點(diǎn)的情況。計(jì)算拐角軌跡映射后的軌跡準(zhǔn)確度結(jié)果如圖14 所示。

圖14 拐角軌跡準(zhǔn)確度計(jì)算結(jié)果Fig.14 Calculation results of corner path accuracy

ISO 的方法測(cè)量得到的軌跡誤差值大，與圖13（a）對(duì)比分析可知，點(diǎn)21 至點(diǎn)30 的測(cè)量誤差是由于ISO 方法的映射錯(cuò)誤導(dǎo)致的。DTW 算法明顯減小了映射后的軌跡準(zhǔn)確度，與圖13（b）對(duì)比分析可知，曲線(xiàn)的4 個(gè)峰值點(diǎn)是由于采樣頻率的限制導(dǎo)致數(shù)據(jù)點(diǎn)之間發(fā)生多對(duì)一的映射導(dǎo)致的。CDTW 算法通過(guò)內(nèi)插點(diǎn)解決了此問(wèn)題，誤差曲線(xiàn)更光滑，提高了軌跡準(zhǔn)確度。采用ISO 方法計(jì)算得到的軌跡準(zhǔn)確度為1.343 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.389 mm；采用DTW 算法計(jì)算得到的軌跡準(zhǔn)確度為0.585 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.194 mm；采用CDTW 算法計(jì)算得到的軌跡準(zhǔn)確度為0.357 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.054 mm。CDTW 算法映射后的軌跡準(zhǔn)確度提高73%，標(biāo)準(zhǔn)差減小86%，誤差整體波動(dòng)幅度明顯變小。

5.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度對(duì)映射的影響

ISO 9283 中規(guī)定，機(jī)器人軌跡準(zhǔn)確度的測(cè)試應(yīng)與軌跡速度相關(guān)，因此選擇機(jī)器人運(yùn)行速度50%和100%，分析不同速度下DTW 和CDTW算法對(duì)測(cè)量精度的影響。選擇激光跟蹤儀采樣頻率保持50 Hz，獲得兩組軌跡數(shù)據(jù)，取得拐角處的57 對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)和30 對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)，代入DTW 算法和CDTW 算法，分析機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度對(duì)映射方法的影響。不同速度下DTW 算法和CDTW 算法的映射結(jié)果如圖15 所示。

圖15 不同速度下的DTW 算法和CDTW 算法的映射結(jié)果Fig.15 Mapping results of DTW and CDTW algorithm at different speeds

由圖15 可知，由于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)偏差的影響，機(jī)器人執(zhí)行拐角運(yùn)動(dòng)時(shí)存在過(guò)沖和超調(diào)，速度越快機(jī)器人運(yùn)動(dòng)偏差越大，同時(shí)，相同采樣頻率下，運(yùn)動(dòng)速度越快采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)越少。對(duì)比50% 和100%速度下DTW 算法映射的結(jié)果，可以看到數(shù)據(jù)點(diǎn)映射時(shí)都會(huì)出現(xiàn)多對(duì)一的情況，但隨著速度的降低，數(shù)據(jù)點(diǎn)的增加，數(shù)據(jù)點(diǎn)多對(duì)一的映射情況減少。對(duì)于50%和100%速度下的CDTW算法，由于CDTW 能夠進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的插值，因此不會(huì)受到數(shù)據(jù)點(diǎn)密度的影響。映射后的軌跡準(zhǔn)確度對(duì)比分析如表2 所示。

表2 不同速度下的兩種算法的軌跡誤差對(duì)比Tab.2 Comparison of path error between DTW and CDTW algorithm at different speeds（mm）

由表2 可知，當(dāng)速度相同時(shí)，CDTW 算法相比于DTW 算法軌跡準(zhǔn)確度提高了40%。當(dāng)速度降低時(shí)，CDTW 算法標(biāo)準(zhǔn)差減小54%，DTW算法標(biāo)準(zhǔn)差減小34%，CDTW 算法能夠更好地降低誤差整體波動(dòng)幅度。

5.4 測(cè)量系統(tǒng)采樣頻率對(duì)映射的影響

為了分析測(cè)量系統(tǒng)的采樣頻率對(duì)映射的影響，設(shè)置激光跟蹤儀采樣頻率分別為25 Hz，50 Hz 和80 Hz，獲得兩組軌跡數(shù)據(jù)，分別取得拐角處的20 對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)、40 對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)和68 對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)，代入ISO 算法、DTW 算法和CDTW 算法，分析采樣頻率對(duì)3 種映射方法的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

采用ISO 算法進(jìn)行軌跡間的映射，隨著采樣頻率的增大，采樣點(diǎn)之間的距離間隔變小，軌跡切線(xiàn)變得陡峭，出現(xiàn)映射錯(cuò)誤的軌跡點(diǎn)增多。由表3 可知，當(dāng)采樣頻率從25 Hz 增加到80 Hz 時(shí)，軌跡準(zhǔn)確度從1.160 mm 降低到1.532 mm，標(biāo)準(zhǔn)差從0.304 mm 增大到0.535 mm。采樣頻率的提高導(dǎo)致ISO 算法映射后的軌跡準(zhǔn)確度降低，誤差整體波動(dòng)幅度增大。

表3 不同頻率下3 種算法的軌跡誤差對(duì)比Tab.3 Comparison of path error of three algorithms at different frequencies（mm）

DTW 算法是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)之間的映射，隨著采樣頻率的提高，軌跡點(diǎn)密度增大，軌跡點(diǎn)之間能夠更好地實(shí)現(xiàn)一對(duì)一的匹配。通過(guò)表3 則可以看出采用DTW 映射方法與ISO 映射方法正好相反，當(dāng)采樣頻率從25 Hz 增加到80 Hz 時(shí)，軌跡準(zhǔn)確度從0.678 mm 提高至0.508 mm，標(biāo)準(zhǔn)差從0.242 mm 減小至0.159 mm。采樣頻率的提高導(dǎo)致DTW 算法映射后的軌跡準(zhǔn)確度提高，誤差整體波動(dòng)幅度減小。

對(duì)于表3 中的CDTW 算法映射軌跡誤差，當(dāng)采樣頻率從25 Hz 增加到80 Hz 時(shí)，軌跡準(zhǔn)確度的極值為0.015 mm，標(biāo)準(zhǔn)差的極值為0.003 mm。由于CDTW 算法采用插值計(jì)算，采樣頻率不會(huì)對(duì)其軌跡準(zhǔn)確度造成明顯的影響。

6 結(jié) 論

本文提出了一種基于連續(xù)動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整方法的工業(yè)機(jī)器人軌跡準(zhǔn)確度分析方法，通過(guò)對(duì)兩軌跡序列的相似度最優(yōu)匹配進(jìn)行映射，對(duì)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)建立插值模型來(lái)提高軌跡點(diǎn)之間的映射準(zhǔn)確度，解決了不同速度和復(fù)雜軌跡測(cè)量中由于映射錯(cuò)誤導(dǎo)致的軌跡準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)不準(zhǔn)確的問(wèn)題。

采用激光跟蹤儀測(cè)量機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡，針對(duì)直線(xiàn)軌跡與拐角軌跡將該方法與ISO 標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行對(duì)比分析，并分析了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度和測(cè)量系統(tǒng)的采樣頻率對(duì)算法的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：ISO 標(biāo)準(zhǔn)方法和DTW 算法能夠很好地應(yīng)用在直線(xiàn)軌跡準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)中，對(duì)于拐角軌跡ISO 方法出現(xiàn)明顯的映射錯(cuò)誤，DTW 算法解決了映射錯(cuò)誤，但受機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度和測(cè)量系統(tǒng)采樣頻率的影響存在多點(diǎn)映射的問(wèn)題，CDTW 算法有效解決了此問(wèn)題，提高了軌跡準(zhǔn)確度。