楊咸啟，時大方，劉國倉

（1.安徽建筑大學 城市建設學院,安徽 合肥238076；2.浙江天馬軸承集團有限公司，浙江 湖州313200；3.黃山學院，安徽 黃山245041）

1 線接觸問題概述

在高速鐵路軸承和重載軋機軸承等一類滾子軸承中，多是采用圓柱滾子軸承或是圓錐滾子軸承，其中的接觸問題主要屬于線接觸類型。由于滾子和滾道接觸都是具有限長度的，不符合理想的線接觸類型問題的條件，只能通過數(shù)值計算方法計算。隨著載荷的增加，有限長線接觸區(qū)域會逐漸擴大[1-3]。當載荷比較大時，在接觸區(qū)兩端部邊界會出現(xiàn)很高的應力集中問題，如圖1（a）所示。為了消除這種不利的應力集中現(xiàn)象，滾子的母線需要采取修形設計。早先的修形母線通常采用小角度傾斜直線或圓弧曲線，等等。經(jīng)過這樣修形后的滾子能夠降低接觸應力集中度，但不能完全避免應力集中，如圖1(b)所示。如果滾子母線采用圓弧曲線，可以避免滾子邊緣應力集中，如圖1(c)所示。但這時接觸中心區(qū)的接觸應力會比較高，它會減少軸承接觸疲勞壽命。經(jīng)過不斷深入的研究發(fā)現(xiàn)，如果滾子母線采用對數(shù)型曲線，理論上可以完全消除應力集中現(xiàn)象，可以使接觸壓力分布接近均勻，如圖1(d)所示。因此，在重要的滾子軸承設計中都推薦采用對數(shù)型曲線來作為滾子的母線。設計中通常的做法有兩種：1.滾子母線直接采用對稱型的對數(shù)曲線；2.在滾子母線中段采用一段直線，在滾子兩端部采用對數(shù)曲線，使兩者光滑連接。這樣接觸應力就能夠比較均勻分布。

圖1 不同的母線滾子接觸壓力分布情況

滾子母線經(jīng)過修形后，接觸應力和接觸變形計算比較復雜，目前還沒有理論計算公式可直接應用。有條件的情況下可以采用商業(yè)分析軟件來計算，但這些軟件所采用的計算模型需要事先確定，給計算帶來不便。本文針對不同的滾子母線曲線，討論它們的接觸應力特點，提出采用線條元模型的計算方法。由于母線修形主要在滾子端部，因此，在滾子中部可采用理想線接觸計算方法，而在滾子端部則采用簡化的計算方法。當計算出表面的接觸壓力后可以進一步計算接觸體內(nèi)部材料的應力[2-7]，從而為軸承的接觸疲勞分析及其他特性計算服務，為軸承設計帶來方便。經(jīng)過接觸力學參數(shù)分析之后，提出了高速和重載鐵路滾子軸承優(yōu)化穩(wěn)健設計思想和方法，豐富了軸承設計理論。

2 理想線接觸壓力計算模型

設兩個光滑的彈性圓柱體長度同為l，其軸線平行，在外力Q作用下對中接觸,這就是一種理想的線接觸模型，如圖2（a）所示。

圖2 兩個長度相同圓柱體理想線接觸模型

由赫茲接觸理論知道，對點接觸模型，首先假設接觸區(qū)形狀為橢圓形狀，再假定接觸壓力分布為與橢圓形區(qū)域相適應的橢球形分布，最后利用接觸表面幾何方程和接觸變形協(xié)調(diào)條件，確定出接觸區(qū)的大小和壓力分布函數(shù)。對于理想的線接觸模型，同樣也采用假設接觸區(qū)域為矩形，沿滾子軸線的接觸壓力為均勻分布，沿周向的壓力分布為橢圓曲線，即為橢圓柱形狀，如圖2(b)所示的接觸區(qū)域及接觸壓力放大圖。這樣，理想線接觸問題可以轉(zhuǎn)化為平面接觸問題，如圖2(c)所示。對無限長線接觸問題，它可轉(zhuǎn)化為平面應變問題（εx=0），對等長度線接觸它可轉(zhuǎn)化為平面應力問題（σx=0）。但線接觸問題與點接觸問題不同，在彈性力學理論上，它存在接觸變形不能確定的問題。

在文獻[7]中，介紹了理想線接觸模型的理論計算公式。在理想線接觸條件下，假設接觸壓力分布函數(shù)為：

式中，qmax為接觸表面的最大壓力，b為接觸區(qū)半寬度。

由外力與接觸力的平衡條件，并且利用半橢圓柱體的體積積分得到

因此，得到接觸表面的最大壓力為

為了求出接觸表面上的變形，當已知壓力的分布函數(shù)后，由波西涅斯克解[7]，接觸表面的變形可以表示為

式中，E為彈性模量，ν為泊松比，代表矩形接觸區(qū)域。

利用變量積分變換方法，上式中的積分變換為

進一步，如果兩個接觸圓柱體的半徑分別為R1、R2，其材料彈性模量和泊松比分別為E1、ν1；E2、ν2。利用接觸表面的幾何關系和變形協(xié)調(diào)條件，可以導出接觸區(qū)域半寬度和最大接觸壓力的計算公式。根據(jù)平面接觸的特點，假設開始接觸點的切平面保持不變，接觸變形發(fā)生應該滿足下面的接觸變形的協(xié)調(diào)條件。

上式中，δ(0)代表初始接觸點上兩個圓柱體的變形和（也稱為兩者的彈性變形趨近量）。

在上面的方程中，兩個柱面之間的距離近似為

這樣，接觸變形的協(xié)調(diào)條件(5)可以改寫為

如果采用兩個圓柱體的參數(shù)來簡化表示時，可令

方程(6)是一種廣義積分方程，不容易直接求解。但上述方程是包含變量y的函數(shù)關系式，將方程（6）對y求導數(shù)，得

對上式積分得

比較上方程變量的系數(shù)得到

將接觸壓力公式（2）代入上式，得接觸區(qū)域半寬度為

利用方程(6)，進一步將兩個圓柱體的接觸中心趨近量化簡為

上式對于坐標y的任意值都應該成立。特別當y=0時，必須滿足

式中的J(0)還不能直接求出。

為了解決這一問題，通常采用近似的計算方法。例如K.L.Johson利用平面應變狀態(tài)積分，導出兩個圓柱體接觸區(qū)中心彈性趨近量近似公式為

式中，Q為作用外力，l為接觸圓柱體長度，R1、R2分別為接觸圓柱體的半徑，b為接觸區(qū)域半寬度，E1、ν1；E2、ν2分別為材料彈性模量和泊松比。

G.Lundberg與H.Sjovall針對軸承中的理想線接觸區(qū)中心彈性趨近量近似公式為

式中，Q為接觸區(qū)作用外力，l為接觸圓柱體長度，E、ν分別為軸承材料彈性模量和泊松比。為軸承內(nèi)外圈與滾動體接觸結(jié)構參數(shù)。

而A.Palmgren通過試驗給出帶凸度的圓柱體接觸中心彈性趨近量的近似公式為

式中，Q為作用外載荷（N），l為接觸圓柱體長度(mm)，?為當量彈性模量（MPa）。

對于平面應變狀態(tài)下，接觸表面下，沿對稱軸上的主應力為

因此，在對稱軸上的最大剪應力為

具體計算得出，當z=0.786b,τmax(x=0)=0.301qmax。當z=0.165b,τmax(x=0)=0.262qmax。

對于平面應力狀態(tài)下的應力，如兩個圓盤接觸，表面下沿對稱軸上的主應力計算時，將上面的平面應變狀態(tài)主應力公式中的泊松系數(shù)ν換成ν/(1+ν)即可。

3 有限長線接觸壓力的有限條元分析方法

有限長線接觸如圖3（a）所示。Harris等人已經(jīng)介紹了典型的有限長線接觸的計算例子，計算結(jié)果如圖3（b）、（c）所示[2,3]。從圖中可以看出，有限長線接觸的接觸壓力分布，在圓柱的端部出現(xiàn)了明顯的應力集中。接觸區(qū)域的形狀也不再是嚴格的矩形形狀。

圖3 典型有限長線接觸結(jié)果

對于接觸問題求解，需要滿足的第一個要求是接觸力平衡條件，即在接觸區(qū)上的全部接觸壓力合力與外載荷平衡，設接觸區(qū)的分布壓力為q(x,y)，載荷平衡關系可以表示為：

接觸問題求解需要滿足的第二個要求是兩個物體接觸變形滿足協(xié)調(diào)條件，即

其中，δ(0)為接觸體1與2的接觸區(qū)中心的變形之和,w1(x,y),w2(x,y)為接觸體1與2的接觸表面上各點的變形，z1(x,y)，z2(x,y)為接觸體1與2的接觸表面形狀各點的坐標。

又根據(jù)表面接觸變形位移的計算方法（波西涅斯克模型）[7]，接觸表面上各點的變形大小為：

方程（15）-（17）是接觸問題求解的基本方程，目前還沒有理論解，多采用數(shù)值方法求解。先設定可能的接觸區(qū)域，并劃分為一系列的微小矩形單元面（如圖4），在每個小的單元面上假定接觸壓力為常值（未知量），利用接觸壓力平衡條件（15）和接觸變形協(xié)調(diào)條件（16），建立求解方程[4]。但這樣做求解的未知量比較多，需要迭代次數(shù)多，計算費時。

圖4 接觸區(qū)域劃分

如果針對線接觸壓力分布和接觸區(qū)域的特點，將接觸區(qū)域沿長度x方向劃分為微小單元條nij，長度與寬度為2h×2b，如圖3（c）中的線條分割所示的條狀區(qū)域。在每個微小單元條接觸區(qū)域上，我們假設接觸壓力分布函數(shù)為（見圖5）：

圖5 接觸壓力分布函數(shù)模型

式中，q m(x)為x軸上最大接觸壓力，B(x,y)為有限條上壓力變化的分布函數(shù)。

根據(jù)不同的接觸壓力分布模型，B(x,y)可以取不同的函數(shù)形式來插值模擬接觸壓力變化。本文進一步假設沿y方向壓力的變化為橢圓函數(shù)，則B(x,y)可以取為：

式中，b(x)為接觸區(qū)半寬度。

下面再建立數(shù)值計算方法。在微小單元條接觸區(qū)域nij中心點（xij,y ij）上，接觸變形的計算公式（17）中的積分可表示為：

將式（20）帶入到兩個物體接觸變形協(xié)調(diào)條件（16）后，可以得到

式中，ij=1,2,3,…，MN，MN為x坐標軸方向上數(shù)值計算點總數(shù)量，δ0=δ(0)。

式（21）是有MN個方程的方程組，其中的未知量為q m有MN個，及δ0共有MN+1個。這樣不能直接求解，需要再增加接觸壓力平衡方程（15）。

在接觸壓力為半橢圓分布假設下，接觸平衡條件（15）的積分表示為：

這樣，聯(lián)立式（21）、（22）為1組方程組。求解這些方程組可以得到接觸區(qū)域上的壓力分布qm和δ0。在整個求解過程中，由于接觸區(qū)大小在計算之前是未知的，必須首先假定接觸區(qū)域形狀大小進行試計算，計算中必須保證接觸壓力為非負值（q m≥0）。通過不斷迭代修正接觸區(qū)，最后確定出符合實際的接觸區(qū)的形狀和接觸壓力的分布。

4 軸承中的有限長線接觸參數(shù)的工程計算方法

在滾子軸承工程設計計算中，當計算接觸壓力時，需要確定接觸區(qū)半寬度b，它與線接觸滾子的母線形狀有關。下面針對幾種滾子母線形狀函數(shù)，討論接觸區(qū)參數(shù)的工程計算方法。

設圓柱滾子的總長度為lw；初始接觸點的直徑為Dw，作用接觸載荷為QW,有效接觸區(qū)長度為le,一對接觸圓柱體的半徑分別為R1、R2。

4.1 對數(shù)曲線型母線滾子

在對數(shù)母線滾子的設計中，為了使?jié)L子母線為光滑完整的對數(shù)曲線，同時也與滾子的凸度相對應，對數(shù)曲線通常要根據(jù)滾子的凸度值來設計，而凸度設計值可以由滾子最大的受載接觸變形來確定。一般采用的光滑完整的對稱型母線的對數(shù)曲線函數(shù)為：

式中，ε0為滾子凸度值，α、β為系數(shù)。當x=0時，z=0；當x=l e/2時,z=ε0。利用這些條件可以確定函數(shù)中的系數(shù)α、β的值。

有時為了滾子母線加工方便，只在滾子的端部區(qū)域采用對數(shù)曲線修形，而在滾子中部仍然采用直線。這時的滾子母線函數(shù)形式為：

其中，l0為滾子直母線段長度，ζ、η為系數(shù)。當x=l0/2時，z=0；當x=l e/2時,z=ε0。利用這些條件同樣可以確定函數(shù)中的系數(shù)ζ、η的值。當式（20）中的l0=0，它與式（23）相似。對數(shù)曲線型母線滾子剖面如圖6所示。

圖6 對數(shù)母線滾子剖面圖

對于上面兩種形式的對數(shù)曲線滾子，接觸區(qū)的寬度和接觸壓力的計算方法可統(tǒng)一如下。

在保證滿足外力與接觸壓力符合平衡方程（15）的前提條件下，將載荷QW分為兩部分，一部分由滾子直線段承擔，一部分由滾子端部曲線段承擔。若QW比較小，接觸區(qū)不超出滾子有效接觸長度時，QW全部由直母線部分承擔，可采用理想線接觸參數(shù)計算方法（公式（1）-（3））。而當QW比較大時，整個對數(shù)曲線母線部分的接觸參數(shù)計算方法如下:

其中，Q C為滾子直線段承擔的載荷，Q E為對數(shù)曲線段承擔的載荷，Q W=Q C+Q E。aE、bE分別為滾子直線段端點處的接觸橢圓長、短半軸尺寸。Σρ(x)=2/D w+z″(x)±ρi,e，z″(x)為滾子母線的接觸點處的曲率，ρi,e為內(nèi)圈（或外圈）接觸點處的周向曲率，，d m為軸承節(jié)圓直徑，α為軸承接觸角。符號“-”對應內(nèi)圈，“+”對應外圈。

當載荷QW很大，接觸區(qū)長度已經(jīng)超出滾子有效接觸長度時，接觸區(qū)成為完整的線接觸模型，可采用線接觸公式計算如下：

4.2 圓弧倒角曲線型母線滾子

當滾子母線采用對稱型部分圓弧修型母線，圓弧曲線與直線光滑連接，則滾子的母線函數(shù)為：

其中，l0為滾子直母線長度值，圓弧半徑R C=[(l w-2c)2-(l w-2t)2]/(8ε0)，l w為滾子全長，c為滾子端面倒角尺寸，t為凸度修正圓弧部分長度，ε0為滾子凸度值。滾子母線剖面如圖7所示。

圖7 滾子部分圓弧修型母線剖面圖

這時，接觸區(qū)的寬度和接觸壓力的計算方法也需 要 按 照 式（26）-（28）計 算，此 時 取Σρ=2/D w+1/R C±ρi,e。

4.3 傾斜直線倒角修型母線滾子

如果滾子母線采用對稱型傾斜直線倒角修型母線，則滾子的母線函數(shù)為：

其中，l0為滾子直母線長度值，θ為斜直線傾角。滾子母線剖面如圖8所示。

圖8 滾子傾斜直線修型母線剖面圖

這種母線不常采用,它的接觸區(qū)的寬度和接觸壓力可采用線接觸公式(1)-(3)近似計算[2.3]。

4.4 大圓弧曲線型母線滾子

如果滾子母線采用對稱完整大圓弧曲線母時，則滾子的母線函數(shù)為：

其中，RW為滾子直母線弧的半徑值。滾子母線剖面如圖9所示。

圖9 大圓弧滾子數(shù)母線剖面

此時接觸區(qū)為橢圓，橢圓尺寸大小和接觸參數(shù)按照點接觸公式計算如下[2,7]：

上面各式中，取Σρ=2/D w+1/R w±ρi,e,a*,b*為赫茲接觸計算系數(shù)。

如果隨著載荷的增加，出現(xiàn)橢圓長軸值超出滾子有效接觸區(qū)長度，這時需要對點接觸結(jié)果進行適當修正[8]。

5 軸承滾道接觸力學參數(shù)化設計的數(shù)學模型

對于一般的圓錐滾子軸承，滾道接觸參數(shù)a、b、δ、qmax與軸承接觸點處的曲率、接觸載荷以及材料力學性能常數(shù)等有關。因此，對整個軸承來說，可以建立下面一種泛函關系式:

式中，左邊的量為圓錐軸承滾道接觸參數(shù)，右邊是與軸承接觸點處的結(jié)構參數(shù)、材料常數(shù)、接觸載荷等。[HZ]是一種矩陣泛函關系。

當對一些軸承滾道接觸參數(shù)作出某些要求（或限制）時，可以對結(jié)構參數(shù)進行規(guī)劃設計。這是一種接觸力學參數(shù)設計思想。采用數(shù)學方法表達時，可以寫成

其中[a]，[b]，[δ]，[qmax]表示對接觸區(qū)域尺寸、接觸變形和最大接觸壓力等參數(shù)的限制性要求值。它們可以根據(jù)需要來挑選。

[HZ]-1min表示泛函矩陣逆向優(yōu)化運算，這一過程可以利用程序在計算機上完成。

對于其他類型的滾子軸承，也可以建立類似的設計模型。對于球軸承，滾道接觸參數(shù)a、b、δ、qmax與軸承接觸點處的曲率、接觸載荷以及材料力學性能常數(shù)等有關。因此，對整個軸承來說，可以建立下面一種泛函關系式

式中，左邊的量為深溝球軸承滾道接觸參數(shù)，右邊是與軸承接觸點處的結(jié)構參數(shù)、材料常數(shù)、接觸載荷等。[HZ]是一種軸承接觸參數(shù)計算過程的矩陣泛函關系。

當對軸承接觸參數(shù)作出某些要求（或限制）時，則可以對軸承滾道結(jié)構參數(shù)進行規(guī)劃設計。這是一種接觸力學參數(shù)化設計思想。采用數(shù)學方法表達時可以寫成

其中[a]，[δ]，[qmax]表示對接觸區(qū)長軸尺寸、變形和最大接觸壓力等參數(shù)的限制性要求值，它們可以根據(jù)情況來挑選。

[HZ]-1min表示泛函矩陣逆向優(yōu)化運算。根據(jù)接觸力學中的計算公式和穩(wěn)健優(yōu)化原理進行分析，這一過程可以利用程序在計算機上完成。

對接觸參數(shù)的限制性要求取值，應該根據(jù)不同的使用場合，選擇不同的限制值。例如，對通用軸承，限制值可以選擇穩(wěn)健的可靠性高的值，對應的設計稱為穩(wěn)健的可靠性設計；而對于特殊使用的專用軸承，限制值可以選擇極限值，對應的設計稱為極限設計[8]。

6 結(jié)論

本文討論了滾子軸承中凸度滾子有限長線接觸問題的計算方法，主要的結(jié)果如下：

1.在有限長線接觸數(shù)值計算方法中，建立了有限條元分析模型。與傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法相比，它可以有效地簡化計算過程，提高計算效率。

2.針對滾子軸承設計中不同的凸度滾子母線，提出了接觸區(qū)形狀和接觸壓力的工程計算方法。它與商業(yè)軟件系統(tǒng)中的模型方法計算結(jié)果對比，本文方法與軟件方法得到的接觸參數(shù)計算結(jié)果接近。

3.建立軸承接觸參數(shù)的穩(wěn)健優(yōu)化設計的模型理論，為提高軸承的可靠性使用性能提供了方法。