基于帶置信區(qū)間穩(wěn)定圖的鐵路連續(xù)梁橋模態(tài)參數(shù)識別

王秋萍 秦世強

武漢理工大學土木工程與建筑學院，武漢430070

高速鐵路橋梁運營過程中，列車和橋梁形成一個車橋耦合系統(tǒng)，系統(tǒng)的動力響應(yīng)十分復雜，會影響行車安全。為評價車橋耦合動力學行為，準確識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)十分重要［1-2］。模態(tài)參數(shù)包括頻率、阻尼比和模態(tài)振型，是結(jié)構(gòu)基本的動力參數(shù)，也是進行結(jié)構(gòu)動力分析、損傷識別的基本參數(shù)。與傳統(tǒng)測力法相比，環(huán)境激勵的模態(tài)參數(shù)識別方法通過測試結(jié)構(gòu)在風、水流、地脈動等環(huán)境荷載下的微幅振動響應(yīng)，結(jié)合時域、頻域算法識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，具有測試簡便、無須額外激勵設(shè)備，不會對結(jié)構(gòu)造成損傷等優(yōu)點。因此，環(huán)境激勵的模態(tài)參數(shù)識別方法在橋梁工程領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注和應(yīng)用［3-4］。

隨機子空間識別（Stochastic Subspace Identification，SSI）是一種時域識別方法，是環(huán)境激勵模態(tài)參數(shù)識別中較為可靠的一種算法。西寧北川河橋［5］、岸橋［6］、Millau高架橋［7］等已經(jīng)驗證了SSI算法的實用性。基于環(huán)境激勵下的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，通過SSI算法識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)分為四個步驟：①數(shù)據(jù)采集；②數(shù)據(jù)預處理；③系統(tǒng)矩陣識別；④模態(tài)參數(shù)識別。第4步也稱作模態(tài)分析后處理，主要是利用穩(wěn)定圖方法來確定各個測試組數(shù)據(jù)識別的頻率和阻尼比，并整合各個測試組的信息識別模態(tài)振型。對于分多個測試組完成的橋梁環(huán)境振動測試，這種后處理十分繁瑣，不僅要處理多個測試組的數(shù)據(jù)，而且須要區(qū)分穩(wěn)定圖中虛假模態(tài)，使得整個模態(tài)分析過程效率大幅降低。

許多學者針對這個問題開展了研究。樊江玲等［8］在穩(wěn)定圖中引入了一種可表征各階模態(tài)貢獻量的分量能量指標作為穩(wěn)定判據(jù)，從而剔除虛假模態(tài)。陳永高等［9］引入余弦相似定理，提出頻率相似度和振型相似度，從而剔除穩(wěn)定圖中虛假模態(tài)。Reynders等［10］提出模態(tài)轉(zhuǎn)移范數(shù)ni的概念來區(qū)分系統(tǒng)真實模態(tài)和虛假模態(tài)，ni越小，該階模態(tài)是虛假模態(tài)的可能性就越高。常軍等［11］提出一種兩階段穩(wěn)定圖的方法，首先對輸出信號進行分段構(gòu)造穩(wěn)定圖，然后對各段識別的模態(tài)參數(shù)再一次用穩(wěn)定圖方法分析，從而去除虛假模態(tài)。Cara等［12］通過研究各階模態(tài)對實測響應(yīng)的貢獻，確定了系統(tǒng)階次的選定方法，避免系統(tǒng)階次過高帶來虛假模態(tài)或過低引起模態(tài)遺漏。

在上述研究基礎(chǔ)上，針對穩(wěn)定圖中存在的系統(tǒng)階次確定較為隨意和虛假模態(tài)問題，本文提出基于奇異熵增量的系統(tǒng)階次計算方法和帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖，并通過一座高速鐵路連續(xù)梁橋?qū)е眯艆^(qū)間穩(wěn)定圖的效果進行驗證。

1 隨機子空間識別

結(jié)構(gòu)的隨機狀態(tài)空間模型為

式中：x k、x k+1分別為系統(tǒng)在第k、k+1個時間點處的狀態(tài)向量；y k為測試到的輸出響應(yīng)向量；w k、v k分別為測試過程誤差和系統(tǒng)建模誤差，均假定為互不相關(guān)的白噪聲；A、C分別為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸出矩陣。

隨機子空間識別的主要思路是通過實測輸出響應(yīng)向量y k識別系統(tǒng)矩陣（AC），結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)可通過系統(tǒng)矩陣特征值分解獲取。有兩種方式識別系統(tǒng)矩陣：①直接從響應(yīng)數(shù)據(jù)出發(fā)構(gòu)建Hankel矩陣，引入卡爾曼濾波、正交投影和QR分解，稱為數(shù)據(jù)驅(qū)動的SSI（SSI-data）；②從響應(yīng)數(shù)據(jù)的協(xié)方差出發(fā)構(gòu)建輸出協(xié)方差矩陣（Toeplitz矩陣），引入奇異值分解，稱為協(xié)方差驅(qū)動的SSI（SSI-cov）。兩種方式得到的結(jié)果近似，但計算效率不同；另外，SSI-cov識別過程更容易量化模態(tài)參數(shù)的方差［13］。因此，本文選擇SSI-cov作為試驗模態(tài)分析算法。SSI算法較成熟，不再贅述其理論過程。詳細的SSI算法實現(xiàn)過程可以參考文獻［6］。

2 系統(tǒng)階次的確定

系統(tǒng)階次n是SSI算法中須要確定的一個參數(shù)。由于模態(tài)以共軛對形式出現(xiàn)，因此系統(tǒng)階次取偶數(shù)。系統(tǒng)階次取值過小會導致結(jié)構(gòu)真實模態(tài)遺漏，而取值過大會出現(xiàn)虛假模態(tài)。因此，合理地估計系統(tǒng)階次十分重要。

確定系統(tǒng)階次的方法主要有兩種：

1）奇異值分解法。通過觀察Toeplitz矩陣奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的結(jié)果來確定系統(tǒng)階次。當系統(tǒng)階次逐漸增大時，奇異值會逐漸減小至0。這種方法在數(shù)值模擬中比較精確，但實際工程中Toeplitz矩陣的奇異值并不是突變到0，而是緩緩地減小，通過觀察奇異值的變化很難確定系統(tǒng)階次。

2）穩(wěn)定圖法?；舅悸肥墙o系統(tǒng)階次賦予一個較大的值nmax，循環(huán)求解每個系統(tǒng)階次對應(yīng)的模態(tài)參數(shù)，然后以頻率為橫軸、系統(tǒng)階次為縱軸繪制穩(wěn)定圖，穩(wěn)定圖中的散點稱為穩(wěn)定點，須滿足相鄰兩階頻率的相對誤差dfi不超過1%、相鄰兩階阻尼比的相對誤差dξi不超過5%，相鄰兩階模態(tài)振型的模態(tài)置信準則（Modal Assurance Criterion，MAC）值的相對誤差dMACi不超過1%。結(jié)構(gòu)真實模態(tài)的穩(wěn)定點會逐漸形成一條穩(wěn)定軸，而虛假模態(tài)一般只會形成一些離散點。

目前，穩(wěn)定圖方法已經(jīng)成為SSI算法的通用工具，其有效性已經(jīng)在許多工程實例中得到證明。合理地確定穩(wěn)定圖中nmax具有一定的價值。當nmax取值較大時，循環(huán)求解各階模態(tài)參數(shù)的計算時間會顯著增加，且虛假模態(tài)會逐漸形成穩(wěn)定軸，影響系統(tǒng)模態(tài)的拾取。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，提出一種奇異熵增量加權(quán)法來估計系統(tǒng)階次。

熵是反映系統(tǒng)不確定度的一個指標。對奇異值而言，奇異熵Ek定義為

式中：k為奇異熵的階次；ΔEi為奇異熵階次i時的奇異熵增量，可以通過下式得到。

式中：λi為Toeplitz矩陣的奇異值。

奇異熵增量在低階時λi較大，在高階時λi較小，且λi隨系統(tǒng)階次的增加逐漸減小，這種變化規(guī)律不隨信號的噪聲情況而改變。已有研究利用奇異熵增量的一階導數(shù)來判定系統(tǒng)階次，當奇異熵增量的一階導數(shù)趨于穩(wěn)定時，對應(yīng)的階次即為系統(tǒng)階次。然而，這種方法仍須要作圖觀察。本文利用奇異熵增量的特性構(gòu)造奇異熵階次i處的權(quán)重系數(shù)εi。εi定義為

計算得到系統(tǒng)階次n，即

系統(tǒng)階次n應(yīng)取其鄰近的較大偶數(shù)。該方法簡單易行，避免了作圖觀察，且便于模態(tài)參數(shù)自動化識別。

3 帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖

穩(wěn)定圖方法中另一個問題是虛假模態(tài)。引起虛假模態(tài)的原因包括實測過程產(chǎn)生的信號噪聲以及計算假定帶來的模擬誤差。信號噪聲引起的虛假模態(tài)可以通過信號預處理、合理選定系統(tǒng)階次避免，而模擬誤差則須要量化。量化的誤差稱為模態(tài)參數(shù)的不確定度σ，能夠衡量模態(tài)參數(shù)的可信程度。在SSI算法中，模態(tài)參數(shù)最終從狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C獲得。因此，模態(tài)參數(shù)的不確定度由A和C的誤差導致，即識別的A和C僅僅是其真實值的估計

為了分析系統(tǒng)狀態(tài)的變化，首先分析可觀矩陣O i的一階擾動ΔO i， 即

式中：U、S分別為輸出協(xié)方差矩陣奇異值分解后得到的正交矩陣和對角矩陣；ΔU、ΔS分別為正交矩陣和對角矩陣的一階擾動。

由于狀態(tài)矩陣A可以寫成可觀矩陣O i的表達式，因此，狀態(tài)矩陣A的一階擾動ΔA可以表達為

式中：（·）?表示（·）的廣義逆。

此時，問題轉(zhuǎn)化為如何求解正交矩陣和對角矩陣的一階擾動ΔU和ΔS。具體步驟：基于矩陣敏感性分析推導狀態(tài)矩陣的一階擾動，并量化單個測試組識別的模態(tài)參數(shù)的不確定度；構(gòu)建頻率置信區(qū)間（f±σf）和阻尼比置信區(qū)間（ξ±σξ），σf、σξ分別為頻率f和阻尼比ξ的不確定度，并將其以誤差圖的形式繪制于穩(wěn)定圖中，用于輔助判斷虛假模態(tài)。置信區(qū)間越大，表明模態(tài)參數(shù)的不確定度越高，是虛假模態(tài)的可能性就越大；反之，表明是結(jié)構(gòu)真實模態(tài)的可能性越大。

4 連續(xù)梁橋模態(tài)參數(shù)識別

4.1 橋梁概況

Jalon高架橋位于西班牙境內(nèi)，是一座高速鐵路連續(xù)梁橋，主橋跨徑布置為（35+45×4+35）m。主橋全長250 m，采用單箱單室等高截面雙線梁，箱梁頂寬12.94 m，底寬5.90 m，截面高3.22 m，見圖1。

圖1 橋梁立面及橫截面

4.2 環(huán)境振動試驗

為研究該橋的動力特性，須對其進行環(huán)境振動測試。設(shè)置12個GeoSIG無線加速度傳感器，其中4個作為參考點傳感器，其余8個作為移動測點傳感器。每個測試組采樣時間約為15 min，采樣頻率為200 Hz；測點均布置于箱梁內(nèi)部，每個截面共布置3個測點（參見圖1），沿橋縱向每隔2.5 m設(shè)置1個測試截面，共101個測試截面，303個測點，見圖2。

圖2 測點布置及參考點位置（單位：m）

測試組4中參考點27處橫向加速度響應(yīng)見圖3?？芍?，在環(huán)境激勵作用下橋梁呈微幅振動狀態(tài)，最大橫向加速度未超過1×10-3m/s2。

圖3 參考點27處橫向加速度響應(yīng)

4.3 識別結(jié)果分析

利用測試組4中加速度數(shù)據(jù)構(gòu)建輸出協(xié)方差矩陣得到奇異值分解結(jié)果和對應(yīng)的奇異熵增量，見圖4?？芍浩娈愔惦S系統(tǒng)階次變化無明顯突變，很難通過觀察奇異值變化情況來確定系統(tǒng)階次；隨著系統(tǒng)階次的增加，奇異熵增量逐漸減小。按照前文方法計算得到系統(tǒng)階次為49.3，將系統(tǒng)階次設(shè)置為50時即可得到結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)。

圖4 奇異值與奇異熵增量隨系統(tǒng)階次變化曲線

通過分析測試組4的數(shù)據(jù)得到帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖，見圖5。圖中頻率誤差線顯示了各個穩(wěn)定點的準確程度，尤其頻率為0～1 Hz時，存在較多不確定度較高的穩(wěn)定點，影響了系統(tǒng)模態(tài)的拾取。當頻率不確定度σf≤0.25、阻尼比不確定度σξ≤0.25時，圖5（a）中的虛假模態(tài)和離散點會被剔除，得到圖5（b）所示的穩(wěn)定圖，其更利于人工拾取真實模態(tài)。此外，圖5（a）中頻率為4～6 Hz時穩(wěn)定軸發(fā)生了分裂，另一個穩(wěn)定軸頻率不確定度相對較高，須進一步判定是否為結(jié)構(gòu)真實模態(tài)。通過引入置信區(qū)間，能夠較好地區(qū)分部分虛假模態(tài)和真實模態(tài)，有效提高拾取穩(wěn)定軸的效率。

圖5 帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖

按照上述方法對其余測試組的數(shù)據(jù)進行處理，并獲取與圖5（b）類似的帶置信區(qū)間穩(wěn)定圖進行各測試組模態(tài)參數(shù)的融合，以獲得模態(tài)參數(shù)的試驗值。為了校核試驗值，采用ANSYS建立橋梁有限元模型，通過理論模態(tài)分析獲取模態(tài)頻率的有限元計算值。采用實體單元模擬混凝土箱梁，采用梁單元模擬橋墩；邊界條件按圖紙設(shè)置，在E-1處設(shè)置移動鉸支座，在E-2處設(shè)置固定支座；橋墩底部采用固結(jié)處理。

橋梁模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果見表1，其中頻率和阻尼比的試驗值為各測試組識別結(jié)果的均值。

表1 橋梁模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

由表1可知：①頻率試驗值與有限元計算值吻合良好，橫向振動模態(tài)中，第1、2階頻率有限元計算值略低于試驗值，第3、7、8階頻率有限元計算值略高于試驗值；②除第8階外，其余階次頻率有限元計算值和試驗值的相對誤差未超過5.00%；③第8階頻率有限元計算值與試驗值相對誤差為8.36%，相對低階模態(tài)較高，但未超過10.00%；④由于環(huán)境激勵對橋梁的激勵程度有限，高階模態(tài)的識別誤差相對低階模態(tài)較高。豎向模態(tài)頻率的試驗值與有限元計算值基本一致。⑤最大阻尼比不超過1.37%，阻尼較低。

5 結(jié)論

1）基于奇異熵增量的系統(tǒng)階次計算方法簡單易行，避免通過觀察奇異值的變化情況來確定系統(tǒng)階次，且能夠在程序編制中直接實現(xiàn)，利于模態(tài)識別過程自動化。

2）帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖能夠有效區(qū)分系統(tǒng)真實模態(tài)和虛假模態(tài)。由于信號受實測過程誤差等因素影響，對有些虛假模態(tài)須進一步判定，但帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖仍能去除部分虛假模態(tài)。改進的穩(wěn)定圖方法能夠有效協(xié)助用戶進行模態(tài)參數(shù)識別后處理，提高SSI算法后處理的效率。

3）帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖識別出的橋梁模態(tài)參數(shù)試驗值與有限元計算值吻合良好，表明帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖能有效應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別。