《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)案例

案列背景：

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)本節(jié)課的要求有以下三條：

（1）通過物理中“功”等事例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;

（2）進(jìn)一步探究?jī)蓚€(gè)向量的夾角對(duì)數(shù)量積符號(hào)的影響及有關(guān)的性質(zhì);（3）能用運(yùn)數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

從以上的背景可以看出，數(shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，首先無論是在概念的引入還是應(yīng)用過程中，物理中“功”的實(shí)例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數(shù)量積概念延伸的性質(zhì)和運(yùn)算律，不僅能夠使學(xué)生更加全面深刻地理解概念，同時(shí)也是進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和判斷的理論依據(jù)。最后，無論是數(shù)量積的性質(zhì)還是運(yùn)算律，都希望學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上，通過主動(dòng)探究來發(fā)現(xiàn)，因而對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體。

前面我上這一堂課是作為公開課進(jìn)行的，主要采用探究式教學(xué)，以多媒體手段為平臺(tái)，利用問題讓學(xué)生自主地參與探究，在探究?jī)上蛄康膴A角及數(shù)量積的概念過程中，引導(dǎo)學(xué)生積極將物理學(xué)科知識(shí)遷移到數(shù)學(xué)中進(jìn)而融入到自己的知識(shí)體系。

案列主題：

一方面，我校是農(nóng)村鄉(xiāng)鎮(zhèn)高中，生源基礎(chǔ)較差，導(dǎo)致自主學(xué)習(xí)速度較慢，所以對(duì)導(dǎo)學(xué)案進(jìn)行前置運(yùn)用，并通過小組評(píng)價(jià)機(jī)制，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，適當(dāng)優(yōu)化題目數(shù)量，體現(xiàn)懂一題會(huì)一類。因此，在上課時(shí)，隨機(jī)的選擇同學(xué)代表小組起來展示，根據(jù)展示情況，在小組評(píng)價(jià)表上進(jìn)行加分或是減分。

另一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的線性運(yùn)算，理解并掌握了向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義。學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑問——平面向量之間可以進(jìn)行向量與向量的乘法運(yùn)算嗎？而學(xué)生此時(shí)已學(xué)習(xí)了功等物理知識(shí)，能夠解決簡(jiǎn)單的物理問題，并熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊。

所以本節(jié)課我從學(xué)生所熟悉的“功”引入“數(shù)量積”，通過學(xué)生的自主探究，小組合作探究，教師點(diǎn)評(píng)等環(huán)節(jié)完成本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)。通過學(xué)生的自主探索與合作交流滲透數(shù)學(xué)建模思想，這個(gè)目標(biāo)符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的要求。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

（1）了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義;

（2）體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算和判斷;

（3）了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件;

（4）體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括和邏輯推理能力。

教學(xué)活動(dòng)1：

老師：完成下表：

學(xué)生：按照老師要求獨(dú)立完成，

老師：請(qǐng)畫出余弦函數(shù)在上的圖象，

學(xué)生：按照老師要求獨(dú)立完成，

設(shè)計(jì)意圖：為后面學(xué)習(xí)兩向量夾角及夾角對(duì)數(shù)量積的影響作鋪墊。

老師：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？

學(xué)生：加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果是向量。

設(shè)計(jì)意圖：在于使學(xué)生了解數(shù)量積的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生明白本節(jié)課所要研究的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運(yùn)算，但與向量的線性運(yùn)算相比，數(shù)量積運(yùn)算又有其特殊性，那就是其結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化。

老師：我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？

學(xué)生：位移

設(shè)計(jì)意圖：由加減聯(lián)想到乘法這是個(gè)很自然的問題，明確本節(jié)課的任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的探求欲望;由向量加法類比的基礎(chǔ)上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學(xué)活動(dòng)指明方向。

教學(xué)活動(dòng)2：

老師：觀察以下各組的兩個(gè)非零向量有何不同？

學(xué)生：位置（角度）

設(shè)計(jì)意圖：從特殊的圖形中，發(fā)現(xiàn)區(qū)分兩向量位置是用夾角區(qū)分的，為以下給出向量夾角的定義做了自然的鋪墊。

歸納1：向量的夾角的定義：

設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況

老師：如圖所示，一物體在力的作用下產(chǎn)生位移.那么力所做的功 .

這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已有的物理中“功”的概念的背景下，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，引入平面向量數(shù)量積的概念，突出物理背景的意義，便于學(xué)生自然過度和理解。讓學(xué)生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實(shí)意義的，從而產(chǎn)生了進(jìn)一步研究這種新運(yùn)算的愿望。同時(shí)，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。

老師： 你能用文字語言表述“功的計(jì)算公式”嗎？如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又將如何表述？

老師： 向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？并完成下表.

設(shè)計(jì)意圖：歸納出數(shù)量積的運(yùn)算與前面三種線性運(yùn)算的區(qū)別（運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量而不再是向量），研究數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)取決于兩非零向量的夾角

設(shè)計(jì)意圖：例題精講，變式訓(xùn)練，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更上一層樓。

教學(xué)活動(dòng)3：

老師： 本節(jié)課我們主要研究了什么重要內(nèi)容？你認(rèn)為本節(jié)課體現(xiàn)了哪些重要的思想方法？學(xué)生總結(jié)，最后老師再概括.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生討論總結(jié)，加強(qiáng)了學(xué)生概念法則的理解和掌握，體會(huì)整個(gè)內(nèi)容的研究過程，明白了為什么要學(xué)這些內(nèi)容，學(xué)了這些內(nèi)容可以做什么，這對(duì)以后的學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義。培養(yǎng)了學(xué)生思考、解決問題的能力。有利于學(xué)生內(nèi)化已學(xué)的知識(shí)。

老師：總之，數(shù)學(xué)史要與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合，老師除了要有數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，還應(yīng)該具有創(chuàng)新意 識(shí)，不只是對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)簡(jiǎn)單的重組，還要對(duì) 史料掌握清楚，并敢于探索，在實(shí)踐中不斷尋求更好的方式。

案列評(píng)析：

（1）針對(duì)我校學(xué)生的學(xué)情，本節(jié)課我把投影向量放到了下一課時(shí)，

以物理知識(shí)為背景，建立了數(shù)學(xué)的平面向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算。

（2）知識(shí)系統(tǒng)完備，使學(xué)生很好的體驗(yàn)了知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和完善的全過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析、思考、解決問題的能力，為進(jìn)一步形成良好的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ)。

（3）借助問題串和多媒體輔助教學(xué)使教學(xué)效果和教學(xué)內(nèi)容的容量充分的得以體現(xiàn)和展示，提高了課堂效率，取得了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社.2018.

[2] 程仕然 .平面向量數(shù)量積課堂教學(xué)的反思與重構(gòu) [J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2019（06）

云南省普洱市墨江第二中學(xué) 周雅建