劉壘

[摘 要] 模型思想在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）中受到了充分的重視。因此，本文以人教版五上“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”為例，研究模型思想在小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)施情況，繼而探究得出相應(yīng)的有效策略，為今后的教育教學(xué)工作做好方法指導(dǎo)。

[關(guān)鍵詞] 模型;思想;實(shí)施;策略

一、求解模型的基本思路

數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出了建立和求解模型的過(guò)程：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。因此，可以從主觀和客觀兩個(gè)角度來(lái)理解模型思想。從主觀上講，模型思想是建立和求解模型的意識(shí)與觀念，它是數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)的對(duì)象之一;從客觀上講，模型思想是建立和求解模型的方法與策略，它是學(xué)生應(yīng)該掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法。但是，傳統(tǒng)教學(xué)方法并不注重模型思想的教學(xué)，完成傳統(tǒng)教學(xué)訓(xùn)練后，大多數(shù)學(xué)生依舊對(duì)數(shù)學(xué)模型的相關(guān)概念缺乏了解。這不僅使他們對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)依舊停留在初學(xué)者水平，也使他們不能深化地理解相關(guān)科學(xué)概念。

在我國(guó)，數(shù)學(xué)建模教育最早可以追溯到華羅庚等老一輩數(shù)學(xué)家有意識(shí)地向中小學(xué)生介紹和普及解決實(shí)際問(wèn)題的建模思想，在具體教學(xué)策略實(shí)施上面，沈丹丹提出模型思想的教學(xué)不僅可以提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生提出和解決問(wèn)題的能力，而且可以通過(guò)開(kāi)展建模活動(dòng)推動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展。

在上述理論研究表明模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有極其重要的作用，但是，如何將模型思想運(yùn)用到具體教學(xué)過(guò)程中，并對(duì)教學(xué)效果做有效評(píng)估尚缺乏研究。故本文將以人教版五年級(jí)上冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角—植樹(shù)問(wèn)題”同課異構(gòu)展示課為契機(jī)，利用調(diào)查問(wèn)卷和對(duì)比實(shí)驗(yàn)相結(jié)合方法，研究和評(píng)估以模型思想為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)法實(shí)施策略上的優(yōu)勢(shì)。

二、研究方法與過(guò)程

為了較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明文獻(xiàn)中的觀點(diǎn)，本次研究所采用的方法是將調(diào)查法與對(duì)比實(shí)驗(yàn)法相結(jié)合。在實(shí)驗(yàn)中，筆者隨機(jī)選取了所在學(xué)校的五年級(jí)兩個(gè)班學(xué)生為研究對(duì)象，并通過(guò)發(fā)放問(wèn)卷和談話相結(jié)合，對(duì)五年級(jí)師生做調(diào)查，了解并掌握了五年級(jí)師生對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí)情況，并在此基礎(chǔ)上對(duì)比用于評(píng)估傳統(tǒng)教學(xué)方法和基于模型思想的教學(xué)方法的差異。

（一）前期調(diào)研

在問(wèn)卷調(diào)查中，筆者設(shè)計(jì)的調(diào)查問(wèn)卷從對(duì)模型思想的了解、解決問(wèn)題過(guò)程中的應(yīng)用、深入學(xué)習(xí)模型思想的意愿等多個(gè)維度研究學(xué)生對(duì)模型思想的理解。從調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，絕大部分五年級(jí)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)模型思想的了解程度并不高，通過(guò)和這些學(xué)生的交流，筆者發(fā)現(xiàn)，他們大多數(shù)人只聽(tīng)說(shuō)過(guò)相關(guān)概念，而那些知道得很全面的學(xué)生大多數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的基本概念并不了解。

通過(guò)進(jìn)一步分析調(diào)查數(shù)據(jù)，筆者發(fā)現(xiàn)，盡管大部分教師會(huì)按照新課標(biāo)的要求在課堂上提起數(shù)學(xué)建模或數(shù)學(xué)模型，但是，受限于傳統(tǒng)教學(xué)方法，大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的認(rèn)識(shí)僅停留在表面?？紤]到部分學(xué)生認(rèn)為教師并未在課堂上提及，這表明傳統(tǒng)教學(xué)方法無(wú)法將數(shù)學(xué)模型思想作為數(shù)學(xué)的基本思想被單獨(dú)講解。

（二）教學(xué)策略設(shè)計(jì)

為了解決這一問(wèn)題，筆者按照《數(shù)學(xué)新課標(biāo)（2011版）》提出的建立和求解模型的過(guò)程，設(shè)計(jì)具體培養(yǎng)策略如下：

1.注重體驗(yàn)探究，經(jīng)歷建構(gòu)過(guò)程。任何一種數(shù)學(xué)思想方法的形成和掌握都離不開(kāi)學(xué)習(xí)主體的自我體驗(yàn)和探索，而這種體驗(yàn)和探索即是學(xué)習(xí)主體對(duì)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程。就數(shù)學(xué)模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用而言，從教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)以及反饋和評(píng)價(jià)都應(yīng)將過(guò)程性考慮在內(nèi)。因此，筆者在“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)案例設(shè)計(jì)中，從問(wèn)題情境的數(shù)學(xué)化，即抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，到猜想、嘗試建立數(shù)學(xué)模型，驗(yàn)證和修正數(shù)學(xué)模型，到最后應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)問(wèn)題，整個(gè)過(guò)程都是讓學(xué)生主動(dòng)地去經(jīng)歷、探究，而非簡(jiǎn)單的背記公式或規(guī)律。

2.注重媒體工具，提升直觀感知。由于學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中主要運(yùn)用的表征方式有符號(hào)表征、列表表征和圖解表征，而數(shù)學(xué)模型最終又要以符號(hào)的形式固定下來(lái)，因而確立符號(hào)模型就需要運(yùn)用多種媒體技術(shù)手段來(lái)輔助教學(xué)，從而幫助學(xué)生提升對(duì)數(shù)學(xué)模型的直觀感知，有效的構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。因此，在教學(xué)資源充足的情況下，教師應(yīng)盡量使用多種教學(xué)媒體技術(shù)工具，從而輔助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。筆者在“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)設(shè)計(jì)中就通過(guò)使用多媒體技術(shù)工具進(jìn)行演示，使學(xué)生直觀感知到將一棵棵樹(shù)抽象成一個(gè)個(gè)點(diǎn)的過(guò)程，從而幫助學(xué)生理解棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系，為后面的規(guī)律的得出做好了方法支撐。

3.注重學(xué)習(xí)方式，突顯主體地位。在傳統(tǒng)教育中教師是課堂的主體，數(shù)學(xué)課堂是以教師講授為主，學(xué)生是課堂的被動(dòng)者，以被動(dòng)接受知識(shí)為主。這一傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，忽視了學(xué)生的主體地位，阻礙了學(xué)生應(yīng)用能力的發(fā)展，繼而創(chuàng)新意識(shí)也得不到提高。而新課標(biāo)倡導(dǎo)的自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，將學(xué)生當(dāng)作學(xué)習(xí)的主人，要求學(xué)生自主探究，同學(xué)間合作交流來(lái)掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，以增強(qiáng)學(xué)生解決生活問(wèn)題的能力。

因此，小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)就應(yīng)采用自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，將探究貫穿于課堂教學(xué)的始終。教師通過(guò)設(shè)計(jì)表格（見(jiàn)下圖）巧妙引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中隱藏的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)學(xué)生自主、合作、探究的形式，去解決問(wèn)題，這樣不僅能讓學(xué)生感受到成功的喜悅，也是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的重要途徑，同時(shí)解決問(wèn)題的效率也會(huì)有較大幅度的提高。

想一想：觀察上表你發(fā)現(xiàn)了什么？

4.注重問(wèn)題解決，形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)的內(nèi)容編排主要是以知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，由多個(gè)問(wèn)題構(gòu)成的問(wèn)題串，但是這種結(jié)構(gòu)往往是線性的。如果以數(shù)學(xué)模型為核心進(jìn)行問(wèn)題解決的教學(xué)，構(gòu)建問(wèn)題鏈，可構(gòu)成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而可以最大限度地整合豐富多彩的問(wèn)題，再利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過(guò)抽象建立模型，進(jìn)而解決各種問(wèn)題。筆者以“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”為例，可以封閉圓圈植樹(shù)問(wèn)題為核心模型，再演變出其他模型，封閉圓圈植樹(shù)中的點(diǎn)與間隔一一對(duì)應(yīng)，長(zhǎng)度÷間隔=棵數(shù)。再根據(jù)實(shí)際情況演變出其他模型。

（1）一端栽一端不栽與封閉圓圈植樹(shù)模型相同：長(zhǎng)度÷間隔=棵數(shù)。

（2）兩端都栽：長(zhǎng)度÷間隔+1=棵數(shù)。

（3）兩端都不栽：長(zhǎng)度÷間隔-1=棵數(shù)。

通過(guò)上述研究我們發(fā)現(xiàn)，以模型思想為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)法具有如下兩方面作用：

對(duì)學(xué)生而言，它可以使學(xué)生經(jīng)歷從具體的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助其感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象能力的必要，感受建立數(shù)學(xué)模型的成就感，還能使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)能力、抽象思維等方面得到更廣闊的發(fā)展空間，進(jìn)而有效提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力。

對(duì)教師而言，教師對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的理解與掌握是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)該概念理解與掌握的關(guān)鍵性前提，因此，掌握數(shù)學(xué)模型思想這一結(jié)構(gòu)化的思想方法，對(duì)實(shí)踐教師提高自身的教學(xué)能力和專業(yè)領(lǐng)域的發(fā)展具有重要的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2011年版[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]曹一鳴，王立東.美國(guó)統(tǒng)一州核心課程標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)部分述評(píng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：8-11.

[3]華羅庚.華羅庚科普著作選集[M].上海：上海教育出版社1984.

[4]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講（第2版）[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1988.

[5]沈丹丹.開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，促進(jìn)小學(xué)教學(xué)改革[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2002（5）.

[6]孫丹.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想的策略與意義[J].新課程研究，2011（11）.

[7]唐惠玉.關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].小學(xué)教學(xué)參考，2011（3）.

[8]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014：88.

[9]劉勛達(dá).小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想及培養(yǎng)策略研究[D].華中師范大學(xué)，2013.

[10]蘇小霞.初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)策略研究[D].西北師范大學(xué)，2008.

（責(zé)任編輯：朱福昌）