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      集合論公理的選擇:兩種路徑

      2021-07-13 14:04:50
      關(guān)鍵詞:集合論蘊(yùn)涵公理

      寇 亮

      一、引言

      自上個(gè)世紀(jì)公理化集合論發(fā)展起來(lái)后,集合論的ZFC系統(tǒng)已經(jīng)得到了普遍認(rèn)可。與此同時(shí),關(guān)于集合論新公理的討論也一直不曾停止①誠(chéng)然,一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)不需要新公理,但這個(gè)問(wèn)題不在本文討論的范圍內(nèi)。本文要討論的是,目前集合論新公理討論中的幾種選項(xiàng)與它們各自的理由。。哥德?tīng)栐谄洹妒裁词强低械倪B續(xù)統(tǒng)假設(shè)》一文中提到:“康托的猜想必然或者為真或者為假,從今日已知公理得到的不可判定性?xún)H能表明,這些公理沒(méi)有包含對(duì)這一事實(shí)(this reality)的完全描述……集合論公理絕沒(méi)有構(gòu)成一個(gè)自身封閉的系統(tǒng)……”[1]

      為集合論增加新公理這個(gè)問(wèn)題在哥德?tīng)柡涂贫鞯难芯恐笞兊酶鼮榫o迫:連續(xù)統(tǒng)假設(shè)(CH)就是ZFC不能判定的一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)命題。即,我們可以構(gòu)造一個(gè)模型L,其中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)為真;也可以構(gòu)造一個(gè)模型M[G],其中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)為假。因此,ZFC不能證明CH,也不能證明CH的否定。

      要為ZFC 添加什么樣的公理,這是一個(gè)不容易的問(wèn)題。例如,我們是否可以直接把CH 或CH 的否定作為公理呢?如果添加CH 作為公理,理由何在?除此之外,由于哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼南拗?,任何ZFC 的擴(kuò)張都存在不可判定的命題,特別地,它們都必然不能證明自身的一致性。受此限制,我們對(duì)新公理的探索到哪一步停下?添加新公理的目的又是什么呢?

      當(dāng)代集合論的兩大主要分支:大基數(shù)和力迫,它們對(duì)以上問(wèn)題的解決給出了兩種備選項(xiàng):大基數(shù)公理和力迫公理。

      二、兩組候選公理

      (一)大基數(shù)公理

      將大基數(shù)公理作為候選新公理是一個(gè)較為自然的選擇,因?yàn)樽钤绫话l(fā)現(xiàn)的大基數(shù)——不可達(dá)基數(shù)——實(shí)際上是對(duì)第一個(gè)無(wú)窮ω的模仿。

      我們已知所有的大于?0的后繼基數(shù)都是正則的①序數(shù)α的共尾cf(α)是最小的滿(mǎn)足存在f:β→α使得sup(f[β])=α的序數(shù)β。一個(gè)基數(shù)κ是正則的當(dāng)且僅當(dāng)cf(κ)=κ。,因此奇異基數(shù)②一個(gè)基數(shù)是奇異的當(dāng)且僅當(dāng)其不是正則的。都是極限基數(shù)。反過(guò)來(lái),是否存在正則的極限基數(shù)呢?豪斯道夫最早注意到,這樣的基數(shù)κ必須滿(mǎn)足κ=?κ,并且κ中極限點(diǎn)的極限就是κ。這樣的基數(shù)被稱(chēng)為“弱不可達(dá)基數(shù)”。

      觀察ω和每一個(gè)自然數(shù)的關(guān)系,從自然數(shù)到達(dá)“更大”的集合無(wú)非通過(guò)兩種方式。第一種是進(jìn)行“后繼運(yùn)算”:κ→κ+;第二種是進(jìn)行“冪集運(yùn)算”κ→2κ。并且,任何自然數(shù)都不能通過(guò)先取一組基數(shù)較小的集合后取并集“堆起來(lái)”③即共尾運(yùn)算:κ→cf(κ)。達(dá)到ω。容易發(fā)現(xiàn),通過(guò)自然數(shù)的后繼運(yùn)算、取冪運(yùn)算都無(wú)法達(dá)到ω,且ω的共尾就是ω,因此“從下面堆積”無(wú)法到達(dá)ω。一個(gè)自然的問(wèn)題是,是否有其他的集合也滿(mǎn)足這樣的條件?塔斯基將?0之上的這樣的基數(shù)稱(chēng)為“不可達(dá)基數(shù)”。

      假設(shè)廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立,則“弱不可達(dá)基數(shù)”與“不可達(dá)基數(shù)”等價(jià)。它們是已知的最小大基數(shù)④這里的“小”,指一致性強(qiáng)度。若T+φ 的一致性蘊(yùn)涵T 的一致性,則我們稱(chēng)T+φ 的一致性強(qiáng)度不弱于(≥)T。假設(shè)ZFC+存在κ 是不可達(dá)基數(shù)一致,那么Vκ?ZFC,因此ZFC一致。,在ZFC之中我們不能證明存在這樣的基數(shù)。

      由以上可以總結(jié)不可達(dá)基數(shù)的幾個(gè)特點(diǎn):

      a)不可達(dá)基數(shù)的定義是對(duì)第一個(gè)無(wú)窮ω的模仿;

      b)不可達(dá)基數(shù)的一致性強(qiáng)度比ZFC更強(qiáng);

      c)ZFC+“存在不可達(dá)基數(shù)”是對(duì)ZFC的擴(kuò)張⑤即ZFC中不能證明存在不可達(dá)基數(shù)。。

      正是因?yàn)槿绱?,哥德?tīng)栒J(rèn)為不可達(dá)基數(shù)這樣的大基數(shù)公理是擴(kuò)充ZFC 的良好選項(xiàng):“……集合論公理所基于的集合概念暗示了公理系統(tǒng)的擴(kuò)張,這些擴(kuò)張的新公理斷言存在‘……的集合’這一運(yùn)算的更遠(yuǎn)迭代……這些強(qiáng)‘無(wú)窮公理’中最簡(jiǎn)單的就是斷言存在>?0的不可達(dá)基數(shù)?!盵1]520

      回到引言中最末段的問(wèn)題,我們加入新公理的目標(biāo)是什么?斯蒂爾在其《哥德?tīng)柧V領(lǐng)》一文中將哥德?tīng)栐凇妒裁词强低械倪B續(xù)統(tǒng)假設(shè)》中所提出的目標(biāo)總結(jié)為:“哥德?tīng)柧V領(lǐng)在ZFC 獲得良好辯護(hù)的(well-justified)擴(kuò)張中決定那些獨(dú)立于ZFC的數(shù)學(xué)上有趣的問(wèn)題”[2]。

      因此對(duì)于實(shí)現(xiàn)哥德?tīng)柧V領(lǐng)而言,實(shí)現(xiàn)目標(biāo)有兩個(gè)要點(diǎn),一是解決獨(dú)立性,二是獲得良好辯護(hù)。獲得良好辯護(hù)在哥德?tīng)柕恼Z(yǔ)境下包含了內(nèi)在辯護(hù)與外在辯護(hù)[1]519-521⑥對(duì)內(nèi)在辯護(hù)與外在辯護(hù)的分析,還可參考寇亮《反映原理作為大基數(shù)內(nèi)在辯護(hù)的不可行性》(《邏輯學(xué)研究》2020 年第4 期)。。不論是就解決獨(dú)立性的目標(biāo),還是就獲得良好辯護(hù)而言,大基數(shù)公理同時(shí)代的備選項(xiàng)還有哥德?tīng)柕目蓸?gòu)成性公理V=L,因?yàn)閂=L有如下一些優(yōu)勢(shì):

      a)L中可以獲得一個(gè)可定義的良序,能知道CH是對(duì)的,能知道存在蘇斯林樹(shù),進(jìn)而蘇斯林假設(shè)不成立,即可以解決大量獨(dú)立性問(wèn)題;

      b)L是一個(gè)有秩序的、結(jié)構(gòu)十分清晰的模型;

      c)V=L使得我們對(duì)一些具體的數(shù)學(xué)概念有了更深的理解。例如假設(shè)V=L,可知κ是弱緊基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)不存在κ蘇斯林樹(shù)。

      哥德?tīng)査幍臅r(shí)代人們所能認(rèn)識(shí)到的大基數(shù)公理與V=L都是相容的。從下面的定理可知,如果存在這樣的大基數(shù),那么這些大基數(shù)在L之中也存在:

      定理1[3]

      a)若κ是基數(shù),則(κ是基數(shù))L;

      b)若κ是極限基數(shù),則(κ是極限基數(shù))L;

      c)若κ是正則基數(shù),則(κ是正則基數(shù))L;

      d)若κ是不可達(dá)基數(shù),則(κ是不可達(dá)基數(shù))L;

      e)若κ是馬洛基數(shù),則(κ是馬洛基數(shù))L。

      如果L與大基數(shù)相容,那么或許L的確就是那個(gè)獨(dú)特的集合宇宙,或許在新公理下,所有有意義的數(shù)學(xué)命題都可以得到判定。但是,斯科特的結(jié)果表明,這是不能做到的:

      定理2(Scott)[4]如果存在可測(cè)基數(shù),則V≠L。

      可測(cè)基數(shù)是從測(cè)度自然引入的一種大基數(shù),它等價(jià)于存在某種形式的初等嵌入。可測(cè)基數(shù)是比不可達(dá)基數(shù)強(qiáng)得多的一種大基數(shù)。因此,大基數(shù)公理與V=L只能二選一。

      事實(shí)上,不僅只有可測(cè)基數(shù)與V=L不相容,0#這樣的大基數(shù)①0#的原始定義與一種不可辨元序列有關(guān)。如果0#存在,事實(shí)上0#=Σ={φ:L?ω[?1,…,?n]},編碼后是一個(gè)實(shí)數(shù)。也與V=L不相容。因?yàn)樗葍r(jià)于存在L到L的非平凡初等嵌入:

      定理3(Kunen)[5]323

      下列等價(jià):

      a)0#存在;

      b)不存在j:L→L是非平凡初等嵌入。

      而同時(shí),不存在V到V的非平凡初等嵌入:

      定理4(Kunen)[5]290若存在j:M→V的非平凡初等嵌入,則M≠V。

      大基數(shù)公理與V=L不相容,但集合論學(xué)家、特別是柏拉圖主義傾向的集合論學(xué)家不傾向于將L作為真實(shí)的集合宇宙②事實(shí)上,邏輯學(xué)家在這個(gè)問(wèn)題上莫衷一是。遞歸論學(xué)家會(huì)認(rèn)為V=L 是非常好的公理,柏拉圖主義的集合論學(xué)家,如H.Woodin 絕不認(rèn)為L(zhǎng)是真實(shí)的集合宇宙,形式主義的邏輯學(xué)家則只考慮相對(duì)一致性結(jié)果和它的后承。。這基于多種理由。第一,0#之下的那些較小的大基數(shù)可以獲得較為可靠的內(nèi)在辯護(hù);第二,大基數(shù)公理也蘊(yùn)含著許多漂亮的結(jié)果,例如Woodin基數(shù)與PD 的等一致性;第三,有一些大基數(shù)公理成立的“證據(jù)”,例如HOD 猜想、終極L猜想等[6]。目前,數(shù)學(xué)哲學(xué)仍在探索大基數(shù)公理更受集合論學(xué)家青睞的理由。

      除了上述這些大基數(shù)公理之外,還有更多比可測(cè)基數(shù)更強(qiáng)的大基數(shù)公理。這些大基數(shù)公理有著與可測(cè)基數(shù)定義相類(lèi)似的形式,即都斷言存在著某種形式的初等嵌入,例如超緊基數(shù)、Woodin 基數(shù)等等。在哥德?tīng)柧V領(lǐng)下,人們?cè)噲D尋找容納大基數(shù)公理和V=L兩種優(yōu)勢(shì)的新集合宇宙,這是我們后文將會(huì)介紹的內(nèi)模型計(jì)劃。如前所述,大基數(shù)公理是哥德?tīng)柧V領(lǐng)下的候選新公理。

      (二)力迫公理

      哥德?tīng)栐凇妒裁词强低械倪B續(xù)統(tǒng)假設(shè)》一文發(fā)表時(shí),尚不知道(或剛剛知道)Cohen 的力迫法結(jié)果。Cohen 的力迫法證明CH 的獨(dú)立性后,哥德?tīng)柼剿骷细拍畹哪繕?biāo)立刻受到了挑戰(zhàn)。對(duì)哥德?tīng)柖裕细拍钍仟?dú)一無(wú)二的實(shí)在。換言之,集合宇宙是唯一的,我們發(fā)現(xiàn)新公理的目標(biāo),只是幫助我們理解這個(gè)唯一的集合宇宙。

      但以Cohen為代表的形式主義者不這么認(rèn)為。對(duì)于形式主義者而言,獨(dú)立性不過(guò)意味著,在ZFC這個(gè)公理系統(tǒng)下,CH 既不能被證明,也不能被證否,僅此而已。我們可以借助力迫法構(gòu)造不同的模型,以此證明一個(gè)命題在不同的模型下可以有不同的真值。利用力迫法得出的相對(duì)一致性無(wú)非意味著,某個(gè)公理系統(tǒng)下一些命題是獨(dú)立的。這種形式主義推而廣之,則形成了集合多宇宙觀,即沒(méi)有一個(gè)獨(dú)特的集合宇宙,而是有著諸多地位平等的集合宇宙①可見(jiàn)Shelah S.,“Logical Dreams”, Preprint Math, 2002, 此文中Shelah 并不認(rèn)為所有的集合論模型都是完全平等的,但他沒(méi)有給出“合法”集合宇宙的具體標(biāo)準(zhǔn)。持有多宇宙觀這種觀點(diǎn)的邏輯學(xué)家還包括J.D.Hamkins。。

      構(gòu)造不同的集合宇宙,并且獲得諸多獨(dú)立性命題的唯一方法是力迫法。通過(guò)力迫法,我們可以從一個(gè)給定的力迫偏序之中獲得一些信息,利用與可數(shù)稠子集族的每一個(gè)稠子集都相交的脫殊濾(generic filter)G,我們可以構(gòu)造一個(gè)外模型M[G],這個(gè)模型之中的每一個(gè)元素都有由基底模型(ground model)M得到的“名字”。通過(guò)控制力迫偏序,我們可以獲得有著不同事實(shí)的M[G]。

      從力迫法之中獲得信息的關(guān)鍵在于,存在一個(gè)濾G與可數(shù)稠子集族的每一個(gè)稠子集都相交[7]:

      定義1

      MA:?κ<2ω(MA(κ))。

      由于能和更多的稠子集相交,因此馬丁公理可以給我們更多信息。馬丁公理可以幫助我們確定ω1和2ω上的很多信息,因此可以構(gòu)造一個(gè)能幫助我們更好地理解實(shí)數(shù)理論②即可以確定很多實(shí)數(shù)子集相關(guān)的獨(dú)立性命題。的集合論模型。例如,馬丁公理蘊(yùn)涵一般化的貝爾綱定理等[5]276-279。但這些都建立在連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立的前提下,否則馬丁公理并不能給我們帶來(lái)更多信息。如果連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定與馬丁公理一致,那么我們就有理由將其作為一條公理。

      使用迭代力迫,我們可以構(gòu)造一個(gè)模型,其中MA成立而CH不成立,因此MA+?CH一致:

      定理6(索羅韋與特納鮑姆[5]273)

      設(shè)GCH在V中成立,令κ是大于?1的正則基數(shù)。那么存在一個(gè)c.c.c力迫使得脫殊擴(kuò)張V[G]滿(mǎn)足馬丁公理和2?0=κ。

      因此,我們的確有理由將馬丁公理作為一條公理。這里將它作為公理的意思是,我們能從馬丁公理得到一些有秩序的數(shù)學(xué)結(jié)論,同時(shí)我們能夠構(gòu)造出一些馬丁公理成立的、有意思的集合論模型。因此,將馬丁公理作為公理,并不蘊(yùn)涵著一個(gè)獨(dú)特的集合論宇宙。

      注意到,馬丁公理有兩個(gè)要求,一是c.c.c 的力迫類(lèi),二是對(duì)||<2?0的稠子集族都有脫殊濾。在力迫法證明獨(dú)立性的步驟中,c.c.c的要求主要用于保持基數(shù)不變[7]213,特別是保持ω1不變。因此,要加強(qiáng)馬丁公理,我們可以直接考慮將c.c.c換成保持ω1。

      我們使用記號(hào)FA(κΓ)表示一般的力迫公理,其中Γ 表示具有某種性質(zhì)的力迫類(lèi),κ表示任意稠子集族||<κ,則存在脫殊濾。可知MA 即FA2?(0c.c.c)?,F(xiàn)在我們同時(shí)加強(qiáng)κ和Γ。若將Γ加強(qiáng)為保持ω1的力迫,且κ=ω2,那么這個(gè)力迫公理毫無(wú)意義,因?yàn)樗愠闪ⅰ?/p>

      另一種保持ω1的方式是要求ω1封閉(ω1-closed)。若將Γ 替換為ω1封閉的力迫,且κ=ω2,則會(huì)不一致。因?yàn)榭梢允褂玫ζ葮?gòu)造一個(gè)破壞ω1封閉的力迫。

      因此,我們希望能夠選擇合適的力迫作為Γ。這就是謝拉赫提出的真力迫[7]602:

      定義3

      根據(jù)T.Jech經(jīng)典集合論教材的敘述[7]601,“真”是對(duì)c.c.c和ω1封閉的同時(shí)加強(qiáng):

      引理1

      a)力迫是c.c.c的蘊(yùn)涵力迫是合適的;

      b)力迫是ω1封閉的蘊(yùn)涵力迫是合適的;

      c)力迫是合適的蘊(yùn)涵力迫是ω1保持的。

      定理7

      若存在超緊基數(shù),那么存在一個(gè)脫殊模型滿(mǎn)足PFA。即Con(ZFC+超緊基數(shù))蘊(yùn)涵Con(ZFC+PFA)。

      如果繼續(xù)加強(qiáng)PFA,則可得到馬丁極大(MM)。這里引入的是“半真”(semiproper)概念①可見(jiàn)Jech T.,Set Theory,Berlin:Springer Science&Business Media,2013,p.649.定義34.3,這里使用等價(jià)定義。:

      定義4

      同樣,超緊基數(shù)蘊(yùn)涵MM的一致性[5]684:

      定理8

      若存在超緊基數(shù),那么存在一個(gè)脫殊模型滿(mǎn)足MM。

      以上的力迫公理也是新公理的一種候選項(xiàng)。

      三、大基數(shù)公理與力迫公理的矛盾

      大基數(shù)公理與力迫公理看起來(lái)都是ZFC 較為自然的擴(kuò)張。大基數(shù)公理可以擴(kuò)展我們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí),而利用合適力迫可以得到大量無(wú)窮組合上的結(jié)果②可見(jiàn)Kunen K.,Vaughan J.Handbook of Set Theoretic Topology, Holland:Elsevier,2014.第21章合適力迫部分。,利用PFA可以獲得一些整齊的結(jié)論[8]。不同力迫公理的一致性強(qiáng)度,還總是與大基數(shù)公理相關(guān),二者似乎有著緊密的聯(lián)系。那么我們是否可以同時(shí)接納大基數(shù)公理和力迫公理呢?

      正如前文介紹的那樣,大基數(shù)公理背后的哲學(xué)是存在唯一的集合宇宙,因此與可以構(gòu)造諸多集合論模型的力迫,在哲學(xué)上是有矛盾的。盡管力迫公理并不直接斷言存在諸多地位平等的集合論模型,但它在整體上與大基數(shù)公理有著矛盾。

      (一)大基數(shù)公理與內(nèi)模型計(jì)劃

      前面我們提到大基數(shù)公理是哥德?tīng)柧V領(lǐng)下的新公理備選項(xiàng)。由于0#之上的那些大基數(shù)與V=L不相容,因此集合論學(xué)家不傾向于認(rèn)為L(zhǎng)是真實(shí)的集合宇宙。因此,基于大基數(shù)公理,一些集合論學(xué)家提出了內(nèi)模型計(jì)劃:尋找一個(gè)類(lèi)似L的、與大基數(shù)相容的集合論模型。

      假設(shè)存在可測(cè)基數(shù),則我們可以構(gòu)造一個(gè)模型L[U],使得它是僅包含一個(gè)可測(cè)基數(shù)的集合論模型。按照類(lèi)似的方法,我們可以繼續(xù)往模型中加入大基數(shù)。米切爾Steel擴(kuò)張模型能夠在迭代假設(shè)(iteration hypothesis)下證明存在超強(qiáng)基數(shù)。這種方法下已知的最好結(jié)果來(lái)自尼曼,他證明存在一個(gè)內(nèi)模型,其中存在一個(gè)Woodin 基數(shù),它是一系列武丁基數(shù)的極限[9]。H.Woodin 在他的研究中[10]觀察到,假設(shè)N是ZFC的內(nèi)模型,δ是其中的超緊基數(shù),若“δ是N中的超緊基數(shù)”被限制到N的一些擴(kuò)張?jiān)赩中見(jiàn)證(即:對(duì)任意γ>δ,存在一個(gè)Pδ(λ)上的正則精細(xì)超濾U使得Pδ(λ)∩N∈U且U∩N∈N),則這樣的模型(被稱(chēng)為弱擴(kuò)張模型)滿(mǎn)足一些很好的性質(zhì)。

      首先,N中的“基數(shù)”的確是V中的基數(shù),V中的奇異基數(shù)也是N中的“奇異基數(shù)”;對(duì)這些“奇異基數(shù)”,N中算出來(lái)的“后繼”就是這些奇異基數(shù)的后繼。其次,與L[U]和向L[U]逐步添加基數(shù)不同,N中有許許多多可測(cè)基數(shù)。最重要的是,N中包含所有目前已知的大基數(shù)。

      如何構(gòu)造這樣的弱擴(kuò)張子模型,目前還沒(méi)有讓人滿(mǎn)意的結(jié)論。但Woodin發(fā)現(xiàn),HOD①遺傳序數(shù)可定義集的類(lèi)。有類(lèi)似L的二歧性,即它或者很接近V,或者離V很遠(yuǎn)。若前者成立,則HOD 就是當(dāng)κ是超緊基數(shù)時(shí)的弱擴(kuò)張子模型。基于此,Woodin提出了終極L猜想:假設(shè)κ是可擴(kuò)張基數(shù),則存在模型N滿(mǎn)足:

      a)N是κ是超緊基數(shù)的模型;

      b)N?HOD;

      c)N?存在Woodin基數(shù)的真類(lèi)。

      內(nèi)模型計(jì)劃中,GCH總是成立。例如,L[U]中GCH成立,終極L猜想也蘊(yùn)涵GCH成立。

      (二)力迫公理的推論

      在大基數(shù)公理中,MA 最早并不是被嚴(yán)肅地作為公理提出的。根據(jù)D.Martin 和R.Solovay 最早論文[11]140的報(bào)道,MA 只是用于討論CH 替換項(xiàng)的產(chǎn)物:“我們迫切需要一個(gè)CH 的替換項(xiàng)。本文的目標(biāo)即是考慮這樣的備選項(xiàng)。我們引入一個(gè)‘公理’……”[11]

      對(duì)Shelah 而言,引入合適力迫并非是作為MA 的一般化。他通過(guò)引入合適力迫得到了與Martin 和Solovay對(duì)c.c.c力迫平行的結(jié)論[12]334-393,借助合適力迫得到一些關(guān)于無(wú)窮組合的一致性結(jié)論。

      真正引入合適力迫公理的是鮑姆加特納[12],他發(fā)現(xiàn)PFA 比MA 蘊(yùn)涵一些強(qiáng)得多的結(jié)論。最典型的就是,MA 的一致性?xún)H需ZFC 的一致性,但目前所知,PFA 的一致性需要超緊基數(shù)。盡管得到了諸多比MA 更強(qiáng)的結(jié)論,但正如MA 一樣,集合論學(xué)家那時(shí)(1984 年)并不真正把PFA 作為一條公理來(lái)看待,只是出于技術(shù)性便利而稱(chēng)其為“公理”。

      據(jù)J. Schatz 在其博士論文中的報(bào)道,這個(gè)情況在托爾多切維奇之后發(fā)生了重大轉(zhuǎn)變[13]33。Todorc?vi? 研究了開(kāi)染色公理(OCA),發(fā)現(xiàn)在OCA 下,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立,且2?0=?2[5]609。而PFA 蘊(yùn)涵OCA,因此PFA蘊(yùn)涵連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立。除連續(xù)統(tǒng)假設(shè)之外,PFA的很多結(jié)論都與內(nèi)模型計(jì)劃中的結(jié)論相反。由此可見(jiàn),力迫公理和大基數(shù)公理之間存在著矛盾。

      四、如何選擇?

      既然力迫公理與大基數(shù)公理之間有矛盾,那么要如何在兩者之間做出選擇呢?

      有一些集合論學(xué)家,例如M.Magidor 和Todorc?vi? 認(rèn)為,PFA 應(yīng)該被視為ZFC 的補(bǔ)充公理;另一些集合論學(xué)家則認(rèn)為,大基數(shù)公理是更理想的ZFC 的補(bǔ)充公理。當(dāng)然,也有很多集合論學(xué)家,包括一些研究力迫公理的學(xué)者——Baumgartner、Shelah 和Foreman 等,只關(guān)注力迫公理帶來(lái)的獨(dú)立性結(jié)果,只將它作為一種集合論研究中的技術(shù)手段。

      本文在此不打算討論他們各自的理由,也不打算對(duì)比哪一方的理由更有道理。仔細(xì)觀察大基數(shù)公理與力迫公理,我們能在它們的不同之處中尋找到它們的一些相同之處。

      大基數(shù)公理與力迫公理的不同之處主要在于二者追求的目標(biāo)不同。同為新公理候選,大基數(shù)公理基于內(nèi)模型計(jì)劃,追求的是一個(gè)獨(dú)特的集合宇宙;與此相反,力迫公理更追求一些相對(duì)一致性的結(jié)果,我們不僅可以借助相對(duì)一致性將力迫公理作為獲得更多強(qiáng)數(shù)學(xué)結(jié)論的技術(shù)保障,還可以借助不同的力迫得到許多不同的集合宇宙。大基數(shù)公理和力迫公理常蘊(yùn)涵一些相互矛盾的結(jié)果,甚至有時(shí)的一些結(jié)論從根本上排斥另一組公理。例如,如果存在Woodin 基數(shù)的真類(lèi),那么Th(L(?))對(duì)力迫免疫。即力迫無(wú)法改變L(?)中命題的真值。它們背后的哲學(xué)基礎(chǔ)是截然不同的,前者是數(shù)學(xué)實(shí)在論,而后者是形式主義。

      盡管大基數(shù)公理與力迫公理有諸多不同,我們?nèi)钥梢园l(fā)現(xiàn)兩者的一些相同之處。限于篇幅,筆者在這里僅做一些簡(jiǎn)單的總結(jié)。

      第一個(gè)相同之處是對(duì)極大的追求。大基數(shù)公理追求的是集合宇宙“高度”上的極大,即任何類(lèi)似ω那樣的無(wú)窮都可以被集合宇宙涵蓋。力迫公理追求的極大是通過(guò)稠子集獲得盡可能多的信息,在保證一致性的前提下,盡可能將力迫類(lèi)和稠子集的條件放寬。正如哥德?tīng)査裕骸拔倚闹械哪切┰獢?shù)學(xué)結(jié)論都集中于一點(diǎn),或者可以說(shuō)僅僅只是一個(gè)基礎(chǔ)事實(shí)的不同方面,或許可以被稱(chēng)為:數(shù)學(xué)的非完成性(incompletability)或無(wú)止境(inexhaustibility)”[14]

      第二個(gè)相同之處是,二者都蘊(yùn)含著某種帶有“絕對(duì)性”意味的結(jié)論。這些絕對(duì)性表明,集合宇宙可能是唯一的,也可能是有多個(gè)的,但絕不是可以被主觀隨意改變的。內(nèi)模型計(jì)劃的終極L猜想毫無(wú)疑問(wèn)蘊(yùn)含著這樣的結(jié)論。在力迫公理中,阿斯佩羅與辛德勒近來(lái)發(fā)現(xiàn)了如下定理:

      定理9

      MM++蘊(yùn)涵Woodin的公理(*)[15]。

      后者蘊(yùn)涵存在一個(gè)(Hω2,∈,NSω1)的力迫不變的Π2理論。已知力迫可以容易地處理Π2命題,而Π2以上的命題很難使用Π2處理。因此,力迫公理實(shí)際上也蘊(yùn)含著存在某種獨(dú)特的實(shí)數(shù)子集的理論。困難之處僅在于,這樣的Π2不變理論蘊(yùn)涵CH 的否定,而內(nèi)模型計(jì)劃得出的結(jié)論CH 成立與此處矛盾。盡管如此,大基數(shù)公理與力迫公理都蘊(yùn)涵某種具有獨(dú)特性的絕對(duì)理論。

      第三個(gè)相同之處在于,在某些強(qiáng)度的大基數(shù)公理和力迫公理處,大基數(shù)與力迫公理沒(méi)有那么絕對(duì)對(duì)立。最典型的即是超緊基數(shù)的一致性蘊(yùn)涵了PFA和MM的一致性。此外,我們還知道:

      定理10(斯莫林)[5]611

      若PFA成立,那么存在一個(gè)內(nèi)模型,滿(mǎn)足存在一個(gè)Woodin基數(shù)。

      因此,如果出于相對(duì)一致性接受力迫公理,那么就必然接受一些大基數(shù);如果接受大基數(shù),除非我們有足夠的理由接受一個(gè)獨(dú)特的集合宇宙,那我們也要接受力迫公理的合法性。

      從以上幾個(gè)角度看,盡管大基數(shù)公理和力迫公理在最前沿的發(fā)展上有一些相互矛盾的結(jié)論,但它們之間哲學(xué)上的矛盾和分歧并非完全無(wú)法調(diào)和??偨Y(jié)這些哲學(xué)上的共同點(diǎn),促進(jìn)對(duì)集合論基礎(chǔ)的討論,獲得更多的證據(jù)來(lái)探索集合宇宙,或許是未來(lái)做出集合論新公理選擇的可能途徑。

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