田紅亮,李森,杜軒,董元發(fā),張明松

(1.三峽大學(xué)機(jī)器人與智能系統(tǒng)宜昌市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,443002,湖北宜昌;2.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,443002,湖北宜昌;3.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,443002,湖北宜昌)

固體火箭從高空返回和垂直定點(diǎn)軟著陸回收是火箭得以重復(fù)使用的一種重要方法。對(duì)于火箭垂直回收任務(wù)來說,回收過程既要進(jìn)行減速和精確軟著陸,又要滿足返回過程中各種過程約束,此外還要使得燃料消耗最少。由于火箭回收的初始高度(如240 km)比較高,一般而言,整個(gè)返回彈道可以分為動(dòng)力倒飛和軟著陸兩個(gè)階段。

火箭回收制導(dǎo)算法一直是眾多學(xué)者的研究方向。邵楠等針對(duì)火箭高空再入定點(diǎn)回收,基于凸優(yōu)化方法提出了一種考慮氣動(dòng)力和推力控制的多階段軌跡優(yōu)化方法[1]。賀軍義等使用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法和發(fā)射動(dòng)力學(xué)理論,建立了多管火箭發(fā)射動(dòng)力學(xué)模型[2]。張有為等通過金屬絲中空的部分向燃燒室內(nèi)輸出液體工質(zhì),加入負(fù)熱流來改變金屬絲向藥柱的導(dǎo)熱速度[3]。尹云玉對(duì)固體火箭自由運(yùn)行狀態(tài)獲取的低頻振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行兩次積分得到位移參數(shù)[4],還基于小波分析在時(shí)頻兩域皆具有表征信號(hào)局部特征的性質(zhì),對(duì)固體火箭飛行遙測(cè)過載數(shù)據(jù)進(jìn)行了小波分解[5]。崔振新等建立了直升機(jī)CH-53D的動(dòng)力學(xué)模型[6]。吳靖等給出了滿足直升機(jī)地面共振穩(wěn)定性要求的起落架剛度和阻尼的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[7]。魏釗等考慮地球自轉(zhuǎn)和發(fā)動(dòng)機(jī)燃料變化所引起的附加力的影響,建立了彈性體遠(yuǎn)程火箭彈六自由度運(yùn)動(dòng)模型[8]。劉文芝等設(shè)計(jì)了固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力矢量控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)[9]。畢祥軍等提出了將線式分離系統(tǒng)應(yīng)用在芯級(jí)與助推器的捆綁分離上[10]。Kinefuchi等應(yīng)用一種計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)和有限差分時(shí)間域的耦合方法,以預(yù)測(cè)飛行高度240 km的離子化固體火箭在第三飛行階段沿S頻帶遙感勘測(cè)的衰減特性[11]。Griego等通過計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)代碼對(duì)固體火箭推進(jìn)劑進(jìn)行了靈敏度分析[12]。Gao等研究了噴射引擎燃燒室的有效燃燒[13]。Binauld等提出了獲取固體燃料火箭的流量和發(fā)熱的計(jì)算方法[14]。Hashim等將混合氣體生成裝置應(yīng)用在火箭沖壓噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)中[15]。Fu等對(duì)二元燃料火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,提出了一種壁沖擊模型[16]。Acharya等研究了火箭發(fā)動(dòng)機(jī)再生冷通道管口的熱傳遞機(jī)制和熵生成的特點(diǎn)[17]。Li等研究了火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的粉末鎂和二氧化碳的燃燒特性,鎂粉在干冰內(nèi)繼續(xù)燃燒,發(fā)出耀眼的白光,干冰易升華,干冰中的CO2之間只存在范德華力不存在氫鍵,一個(gè)分子周圍有12個(gè)緊鄰分子[18]。Du等研究了大推力火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒膛的大幅度振動(dòng)機(jī)制和振動(dòng)控制技術(shù)[19]。

已有一些文獻(xiàn)采用有限元方法。宏觀世界規(guī)律是由微觀機(jī)制所決定的,現(xiàn)采用理論推導(dǎo)的方式,在機(jī)理上進(jìn)行探究。以返航時(shí)的固體火箭為研究對(duì)象,研究了動(dòng)力倒飛和軟著陸兩個(gè)階段的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火之后,對(duì)固體火箭作用一個(gè)脈沖沖擊力,固體火箭處于動(dòng)力倒飛,在沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間之內(nèi)求解出火箭的位移響應(yīng)和位移絕對(duì)值的最大值;發(fā)動(dòng)機(jī)熄火之后,固體火箭處于軟著陸,在沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間之外推導(dǎo)出火箭的位移響應(yīng)和位移絕對(duì)值的最大值;比較固體火箭動(dòng)力倒飛和軟著陸的位移絕對(duì)值的最大值的大小,取其較大值,給出位移沖擊譜。

1 固體火箭的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

1.1 動(dòng)力倒飛階段(0≤t≤td)

發(fā)動(dòng)機(jī)作用在火箭上的脈沖沖擊力為

(1)

式中:f為脈沖沖擊力的振幅;td為沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間。

當(dāng)任意時(shí)間滿足t≤td時(shí),由杜阿邁爾卷積積分得固體火箭的位移響應(yīng)

t≤td

(2)

式中:Tn為固體火箭振動(dòng)的固有最小正周期;m′為固體火箭除燃料外的箭體質(zhì)量[20]。

將式(1)代入式(2),得

t≤td

(3)

根據(jù)兩正弦的積化和差公式,式(3)可變形為

(4)

式(4)簡(jiǎn)化為

(5)

固體火箭振動(dòng)的固有角頻率為

(6)

將式(6)代入式(5),得

(7)

式(7)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(8)

式中:k為固體火箭的支承剛度。

(9)

將式(8)和(9)合寫在一起,得無量綱的位移響應(yīng)

X(t)=

(10)

式(10)關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)為

X′(t)=

(11)

為求函數(shù)|X(t)|在閉區(qū)間0≤t≤td上的最大值,先求X(t)在開區(qū)間0

(12)

方程式(12)的第一個(gè)解為

(13)

式中:Z為整數(shù)集。

(14)

(15)

式中:N*為正整數(shù)集。或者

(16)

方程(12)的第2個(gè)解為

(17)

(18)

式(11)關(guān)于時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù),得

(19)

由式(14)和(15),將式(13)代入式(19)的第1式

(20)

故存在正數(shù)δ,函數(shù)X(t)的駐點(diǎn)t的一個(gè)δ鄰域(t-δ,t+δ),式(13)是極小值點(diǎn),式(13)中的整數(shù)用m表示,代表最小。根據(jù)式(14)和(15),將式(13)代入式(10)的第1式,得一系列極小值

(21)

按照式(18),將式(17)代入式(19)的第1式,得

(22)

故式(17)是極大值點(diǎn),式中的整數(shù)用l表示,代表最大。根據(jù)式(18),將式(17)代入式(10)的第1式,得一系列極大值

(23)

(a)l=1

在式(15)的條件下,選取適當(dāng)?shù)膍使式(21)取得最大值

(24)

考慮到m是正整數(shù),故取

(25)

將式(25)代入式(15),必須滿足

(26)

根據(jù)取整函數(shù)[]的定義,總有

(27)

以下不等式總成立

(28)

根據(jù)式(28)和(27),不等式(26)成立。

將式(25)代入式(21),得一系列極小值式(21)的最大值

(29)

在式(18)的前提下,選擇適合的l使式(23)最大

(30)

因?yàn)閘為正整數(shù),故得

(31)

將式(31)代入式(18),下式必須成立

(32)

按照取整函數(shù)[]的定義,恒有

(33)

存在以下恒不等式

(34)

根據(jù)式(34)和(33),不等式(32)成立。

將式(31)代入式(23),得一系列極大值式(23)的最大值

(35)

圖2 極大值的最大值與極小值的最大值

將式(31)代入式(17),得位移最大值發(fā)生的時(shí)間為

(36)

按照式(32),式(36)中的tm

Xmax=X(td)=

(37)

由式(37),得位移最大值發(fā)生的時(shí)間

(38)

由式(37)和(35)可得,在閉區(qū)間t∈[0,td]上位移的最大值為

Xmax=

(39)

由式(38)和(36)可得,在閉區(qū)間t∈[0,td]上位移最大值發(fā)生的無量綱時(shí)間

(40)

1.2 軟著陸階段(t≥td)

當(dāng)任意時(shí)間滿足t≥td時(shí),由杜阿邁爾卷積積分,得固體火箭的位移響應(yīng)

t≥td

(41)

將式(1)代入式(41),得

t≥td

(42)

根據(jù)兩正弦的積化和差公式,式(42)可變形為

t≥td

(43)

式(43)簡(jiǎn)化為

(44)

將式(6)代入式(44),有

(45)

式(45)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(46)

根據(jù)兩正弦的和化積公式,式(46)可變形為

(47)

(48)

由式(47)和(48)可得,無量綱的位移響應(yīng)

(49)

使|X(t)|取得最大值的第1個(gè)條件為

(50)

(51)

由式(51)的條件t≥td,得

(52)

使|X(t)|取得最大值的第2個(gè)條件為

(53)

(54)

將式(50)代入式(49)的第1式,得位移絕對(duì)值的最大值

(55)

將式(53)代入式(49)的第2式,得位移絕對(duì)值的最大值

(56)

由式(55)和(56)可得,位移絕對(duì)值的最大值為

|X|max=

(57)

值得注意的是,能將式(51)和(54)合并寫成一個(gè)式子,得位移絕對(duì)值的最大值發(fā)生的無量綱時(shí)間

(58)

1.3 整個(gè)返航階段(t≥0)

圖3 動(dòng)力倒飛和軟著陸的最大位移

故火箭在整個(gè)飛行階段的位移沖擊譜為

μ=

(59)

(60)

對(duì)于火箭飛行的最大速度,文獻(xiàn)[22]的結(jié)果是文獻(xiàn)[20]的1 000倍。火箭飛行的最大速度[22]為

(61)

式中M為已燃燒燃料的質(zhì)量。

2 固體火箭返航數(shù)值仿真和討論

長(zhǎng)征二號(hào)F捆綁式大推力運(yùn)載火箭全長(zhǎng)為58.3 m,起飛時(shí)的質(zhì)量為479.8 t,是目前我國(guó)研制的火箭中最長(zhǎng)、最重的,起飛推力f為5.88×106N,火箭的支承剛度k為1 435 900 N/m,在太空遨游21 h,繞地球14圈,飛行約61×107m。

2.1 整個(gè)返航階段(t≥0)的火箭位移響應(yīng)

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。從圖4d、4f、4g和4h可見,函數(shù)X(t)有多個(gè)極值,極值可能取正值也可能取負(fù)值,還可能是0,需要求出|X(t)|的最大值,而不是X(t)的最大值。如果X(t)的某個(gè)極小值是負(fù)數(shù),某個(gè)極大值是正數(shù),且負(fù)數(shù)與正數(shù)之和小于0,為求出|X(t)|的最大值,應(yīng)該取X(t)的這個(gè)極小值的絕對(duì)值。|X(t)|的最大值也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。

按照?qǐng)D4,在動(dòng)力倒飛階段,無量綱的火箭位移響應(yīng)不會(huì)恒等于0;在軟著陸階段,無量綱的火箭位移響應(yīng)有可能恒等于0,表明火箭的剛度較大,具有抵抗變形的能力。在圖4g中,極大值1與極大值2相等。在圖4h中,極大值2大于極大值1,且遞增。

2.2 整個(gè)返航階段的火箭位移沖擊譜

火箭位移沖擊譜μ與沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間的關(guān)系如圖5所示,由圖可見,當(dāng)沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間較短時(shí),火箭位移沖擊譜發(fā)生在沖擊作用結(jié)束以后的軟著陸階段;當(dāng)沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí),火箭位移響應(yīng)最大值發(fā)生在沖擊作用范圍內(nèi)的動(dòng)力倒飛階段。

圖5 位移沖擊譜與沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間的關(guān)系

2.3 整個(gè)返航階段的位移最大值發(fā)生時(shí)間

(a)位移最大值發(fā)生的所有時(shí)間

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

燃料燃燒時(shí)的情況如圖7所示,渦旋發(fā)生器撐桿材料是耐高溫的透明石英窗玻璃,渦旋發(fā)生器撐桿因超聲速燃燒室釋放的熱而發(fā)生微小形變;燃料燃燒火焰可通過燃燒室出口的觀察窗看到;在通用科學(xué)實(shí)驗(yàn)室中測(cè)試,在風(fēng)洞隧道中進(jìn)行的自開發(fā)氫燃料A5火箭混合循環(huán)式發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)驗(yàn),開展了82次發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)驗(yàn),總時(shí)間大于1 600 s,在存儲(chǔ)熱量風(fēng)洞隧道中,也開展了自由噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)驗(yàn)[23-24]。

圖7 燃料燃燒時(shí)的情況

火箭飛行最大速度vmax與已燃燒燃料質(zhì)量的關(guān)系如圖8所示,由圖可見,火箭飛行的最大速度近似與燃料燃燒的質(zhì)量成正比,本文理論解較接近于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖8 火箭最大速度與燃料燃燒質(zhì)量的關(guān)系

宇宙飛船繞地球飛行速度v與距地面高度的關(guān)系如圖9所示,由圖可見,本文理論解與神舟五號(hào)飛船的實(shí)際飛行參數(shù)較吻合,近地飛船在幾百千米的高度飛行,與地球半徑6 400 km相比,完全可以說是在地面附近飛行,宇宙飛船繞地球飛行速度隨離地面高度的增大而呈線性減小。

圖9 飛船飛行速度與地面高度的關(guān)系

把宇宙飛船從地球表面升高到h的高空處,進(jìn)入軌道,飛船克服地球萬有引力所做的功W如圖10所示。當(dāng)宇宙飛船在幾百千米的高度飛行時(shí),克服引力所做的功幾乎與飛行高度成正比,因?yàn)轱w行高度遠(yuǎn)小于地球半徑。

圖10 飛船做功與離地球表面高度的關(guān)系

火箭在返航階段,對(duì)于給定的沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間td,火箭位移沖擊譜μ、位移最大值的發(fā)生時(shí)間T見表1[25],由表可見,本文火箭位移響應(yīng)最大值的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的相對(duì)誤差為-9%～7%,火箭位移最大值發(fā)生時(shí)間的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的相對(duì)誤差為-6%～8%。

表1 火箭返航時(shí)沖擊譜參數(shù)與沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間的關(guān)系

4 結(jié) 論

對(duì)延遲時(shí)間進(jìn)行杜阿邁爾卷積定積分,推導(dǎo)了固體火箭的位移響應(yīng),所得結(jié)論如下。

(1)在動(dòng)力倒飛階段,無量綱的火箭位移響應(yīng)不會(huì)恒等于0。在軟著陸階段,無量綱的火箭位移響應(yīng)有可能恒等于0。

(2)當(dāng)沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間較短時(shí),火箭位移響應(yīng)最大值發(fā)生在沖擊作用結(jié)束以后的軟著陸階段。當(dāng)沖擊脈沖持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí),火箭位移響應(yīng)最大值發(fā)生在沖擊作用范圍內(nèi)的動(dòng)力倒飛階段。

(3)火箭的位移達(dá)到最大值時(shí),對(duì)應(yīng)的發(fā)生時(shí)間不是唯一的,存在多個(gè)發(fā)生時(shí)間使位移取得最大值。