模糊數(shù)比較與排序的風(fēng)險(xiǎn)方法

魏思瑤，郭嗣琮,2

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 智能工程與數(shù)學(xué)研究院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

在模糊多屬性決策問(wèn)題中，模糊數(shù)的比較與排序是一個(gè)重要的問(wèn)題.由于模糊數(shù)具有不確定性，模糊數(shù)的排序問(wèn)題也變得比較繁雜，至今人們已經(jīng)提出很多種排序的原則與方法.JAIN R[1]首次在解決模糊決策問(wèn)題時(shí)遇到模糊量的排序問(wèn)題并提出一種排序方法.BASS S M[2]等定義了模糊優(yōu)先關(guān)系，峰值最大的模糊集為最佳選擇，但其最大的缺陷為分辨力不夠，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致與直覺(jué)相反的結(jié)論.YAGER R R[3-4]分別定義了F1、F3模糊集效用函數(shù)，但這兩個(gè)指標(biāo)只考慮了模糊集的中心趨向，而沒(méi)有考慮模糊集的擴(kuò)散程度.LI R J[5]等把模糊集的排序方法劃分為可能性密度型和可能性質(zhì)量型兩個(gè)部分，并借助于模糊事件概率測(cè)度的概念定義了模糊集的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，在此基礎(chǔ)上提出模糊集綜合排序指標(biāo).BUCKLEY J[6]提出基于α-截集的排序方法，但此方法只適用于模糊集之間互不重疊的情況.SAADE J J[7]等將模糊極大集分解為左極大集和右極大集兩部分，與傳統(tǒng)的決策模式相對(duì)應(yīng)，該方法考慮了三種不同的決策判據(jù)：樂(lè)觀型、悲觀型和綜合型，但決策判據(jù)也是由人類主觀決定的.CHENG C H[8]提出一種基于質(zhì)心指標(biāo)的模糊數(shù)排序方法，而對(duì)稱中心相同的兩個(gè)對(duì)稱模糊數(shù)不能作出合理判斷.

上述研究中的排序方法或多或少存在著不足，因?yàn)槟：龜?shù)具有不確定性，通常任何一種排序的結(jié)論都會(huì)伴隨著錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn).因而，本文提出一種基于風(fēng)險(xiǎn)最小化的模糊數(shù)排序方法，該方法有效利用模糊數(shù)的分布特征信息，不僅僅給出模糊數(shù)組的排序，同時(shí)也指出了該排序結(jié)論的風(fēng)險(xiǎn)度與可信度.

1 模糊數(shù)排序的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題

對(duì)于圖1（a）形式有a2

圖1 三種模糊數(shù)分布形式Fig.1 three distribution forms of fuzzy numbers

從上述的分析可以看出，在模糊數(shù)比較與排序中，如果兩個(gè)模糊數(shù)、的承集不相交，則命題>和>必有一個(gè)恒為真；當(dāng)兩個(gè)模糊數(shù)的承集相交時(shí)，在區(qū)間∩上，無(wú)論是命題>或者>都存在著風(fēng)險(xiǎn).

在模糊多屬性決策中，經(jīng)常會(huì)面臨結(jié)論為模糊數(shù)的排序問(wèn)題，如果多個(gè)模糊數(shù)兩兩不相交，則排序結(jié)果很容易得出.但是，當(dāng)模糊數(shù)相交時(shí)，任何一種排序結(jié)果都存在著誤判的風(fēng)險(xiǎn).因此，引出以下問(wèn)題：一是如何模糊數(shù)排序風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算，二是如何基于風(fēng)險(xiǎn)對(duì)模糊數(shù)進(jìn)行排序并使之風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小.

因此，本文針對(duì)模糊數(shù)排序中的不確定性，首先定義基于模糊分布的排序風(fēng)險(xiǎn)，并給出了排序風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算方法，在此基礎(chǔ)上給出了基于風(fēng)險(xiǎn)最小化的模糊數(shù)排序法，該方法可運(yùn)用于解決模糊多屬性決策的方案排序問(wèn)題.

2 兩個(gè)模糊數(shù)的排序風(fēng)險(xiǎn)

定義 1設(shè)隸屬函數(shù)分別為可以生成2R上的二維模糊集定義其隸屬函數(shù)為

用實(shí)數(shù)x和y分別表示模糊數(shù)的可能取值，因此，模糊數(shù)所有可能取值(x,y)為圖2中的矩形域的區(qū)域

圖2 模糊數(shù)所有可能取值區(qū)域Fig.2 all possible values of fuzzy numbers

其面積為M= (a2?a1) ?(b2?b1).

直線y=x將矩形域分成 2個(gè)部分.若模糊數(shù)和的實(shí)際取值(x,y)落于區(qū)域D1中，命題為真（或命題為假）；若取值(x,y)落于區(qū)域D2中，命題為假（或命題為真）.因此，在模糊數(shù)具有交集的情況下，無(wú)論給定模糊數(shù)的哪一種排序，都會(huì)有誤判的可能性存在.

顯然，如果模糊數(shù)在中以及在中取值都是等可能的，則命題“”會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)取決于區(qū)域D1的面積占區(qū)域[a1,a2]×[b1,b2]的面積比例；命題“”會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)取決于區(qū)域D2的面積占區(qū)域[a1,a2]×[b1,b2]的面積比例.如果用M(D)表示平面上區(qū)域D的面積（測(cè)度），α為一個(gè)序關(guān)系命題，用ρ(α)表示誤判命題α的可能性，對(duì)于上述情況，有

定義 2設(shè)模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為μA~(x)，D為任意的實(shí)數(shù)區(qū)間，稱

為模糊數(shù)在區(qū)域D上的可能性測(cè)度.

由定義2易看出，模糊數(shù)在區(qū)域D上的可能性測(cè)度就是概率測(cè)度.

定 義 3設(shè)和分別為模糊數(shù)的所有可能取值，對(duì)于給定的排序命題“”，其產(chǎn)生錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)

由式（10）和式（11）亦可看出

容易證明，模糊數(shù)排序風(fēng)險(xiǎn)度具有如下基本性質(zhì)：

（1）ρ∈ [ 0,1]；

基于上述的討論，可以提出基于風(fēng)險(xiǎn)度最小化的兩個(gè)模糊數(shù)排序原則：

定 義 4稱為 排 序的可信度.

3 多個(gè)模糊數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)排序

定義5設(shè)j= 1 ,2,… ,n)表示兩兩模糊數(shù)排序命題的風(fēng)險(xiǎn)度，稱矩陣P=[ρij]n×n為模糊數(shù)組的風(fēng)險(xiǎn)排序矩陣.

4 算例

圖3 三角模糊數(shù)的隸屬函數(shù)Fig.3 membership function of triangular fuzzy numbers

按照本文提出的方法，首先聯(lián)合模糊測(cè)度構(gòu)建

模糊風(fēng)險(xiǎn)定序判定矩陣為

計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)序值，得Q1=0.5+0.530 9+0.747 6=1.778 5，Q2=1.679 4，Q3=1.042 1，則有Q3

所以，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)最小原則得到模糊數(shù)的排序?yàn)?/p>

由式（15），其排序的綜合風(fēng)險(xiǎn)度為

為說(shuō)明本文的方法得出了合理的排序，在本節(jié)中，使用不同的方法對(duì)模糊數(shù)進(jìn)行排序.

盡管有許多排序方法，但在任何情況下都沒(méi)有人能夠憑直覺(jué)對(duì)模糊數(shù)進(jìn)行一致的排序.在表1中，省略計(jì)算過(guò)程直接給出了獲得的結(jié)果.從表1可知，因?yàn)楸砀裰蟹椒ǖ囊恍┚窒扌裕墨I(xiàn)[15]方法的排序結(jié)果為以及文獻(xiàn)[12]方法的排序結(jié)果為與本文的方法不用，其他的方法與本文方法的排序結(jié)果都相同，排序結(jié)果均為在算例中獲得的結(jié)果證明了本文方法的有效性.正如在算例中所看到的，所提出的方法的主要優(yōu)點(diǎn)是它可以提供正確的模糊數(shù)的排序風(fēng)險(xiǎn)，并且很容易計(jì)算.

表1 多種排序方法比較結(jié)果Tab.1 compare results by multiple sorting methods

5 結(jié)論

（1）本文方法重要意義在于對(duì)排序結(jié)論客觀存在的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了度量，這對(duì)于不確定性決策問(wèn)題有著較大的實(shí)用價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.

（2）基于風(fēng)險(xiǎn)的模糊數(shù)排序方法同時(shí)也適用于各種其他形式模糊數(shù)的排序，例如，梯形模糊數(shù)、二型模糊數(shù)等，為研究模糊決策中模糊數(shù)排序問(wèn)題應(yīng)用領(lǐng)域開(kāi)拓了新思路.