黃平

“關(guān)系數(shù)學(xué)”觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)科中的任何知識(shí)、方法、思想都不是孤立的，都是與其他數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想相關(guān)聯(lián)的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，秉持這樣的一種“關(guān)系”數(shù)學(xué)觀，有助于實(shí)施整體性教學(xué)。整體性教學(xué)，需要教師對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體解讀，需要教師引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生整體反思，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出一種有機(jī)的結(jié)構(gòu)樣態(tài)、體系樣態(tài)。整體性教學(xué)能有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力，讓學(xué)生的認(rèn)知走向通透。

一、對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體解讀

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先要對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體性解讀。整體性解讀，包括課時(shí)內(nèi)容解讀、單元內(nèi)容解讀、類知識(shí)解讀以及跨教材、跨學(xué)段解讀。這是一個(gè)從宏觀到微觀、又從微觀到宏觀的反復(fù)解讀的過程。宏觀上，整體性解讀就是要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的“高觀點(diǎn)”“大概念”，從而讓教師形成教學(xué)的“大視野”;微觀上，整體性解讀就是要“見微知著”，就是要讓教師能從“知識(shí)點(diǎn)”中發(fā)現(xiàn)“知識(shí)線”“知識(shí)面”乃至于“知識(shí)體”。

在對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體性解讀過程中，教師要以“高觀點(diǎn)”來駕馭，對相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行左顧右盼、瞻前顧后。首先，從大的方面來劃分，要明確這一數(shù)學(xué)知識(shí)屬于哪個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”還是“綜合與實(shí)踐”;其次，在同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域比如“數(shù)與代數(shù)”之中，要考量屬于“概念”“計(jì)算”還是“應(yīng)用”等;再次，要解讀顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)背后的隱性的數(shù)學(xué)思想方法。例如：解讀“公頃和平方千米”（北師大版五年級上冊）這部分內(nèi)容，很多教師往往只關(guān)注這一課時(shí)內(nèi)容，缺乏對數(shù)學(xué)知識(shí)整體性解讀，結(jié)果造成了學(xué)生所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)都是點(diǎn)狀、孤立的，時(shí)間久了就會(huì)走向認(rèn)知模糊。筆者在對這部分內(nèi)容進(jìn)行解讀過程中，嘗試將“公頃和平方千米”放置到面積單位系統(tǒng)中去進(jìn)行解讀、考量，構(gòu)建了一種整體性的知識(shí)關(guān)聯(lián)。將“平方十米（公畝 ）”放置其中，將“公頃”解釋為“平方百米”，從而構(gòu)建了“平方毫米”“平方厘米”“平方分米”“平方米”“平方十米（公畝）”“平方百米（公頃）”“平方千米”等的序列，這樣的序列有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體性建構(gòu)。不僅如此，在知識(shí)解讀中，筆者還將“面積”“面積單位”與“長度”“長度單位”進(jìn)行比較，并將這樣的一種解讀延伸、拓展到“體積”“體積單位”“體積單位之間的進(jìn)率”。

計(jì)量單位的學(xué)習(xí)主要有兩個(gè)方面的內(nèi)容，其一是引導(dǎo)學(xué)生建立計(jì)量單位的大?。恐担┑母拍?，其二是讓學(xué)生把握計(jì)量單位之間的關(guān)系。整體性解讀能實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)方面教學(xué)內(nèi)容的統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師仍然以“知識(shí)點(diǎn)”作為教學(xué)單位，以“課時(shí)”作為組織單位，那么學(xué)生獲得的知識(shí)就是碎片化、單子式的。而如果教師以“類知識(shí)”作為教學(xué)單位，以“板塊”作為組織單位，則能讓學(xué)生進(jìn)行整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的學(xué)習(xí)。

二、對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)

對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性建構(gòu)，是指教師在教學(xué)中將“相鄰”“相關(guān)”“相反”“相近”等內(nèi)容進(jìn)行整合，從而讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能達(dá)到舉一反三、觸類旁通。對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)，有時(shí)需要對原來的教材內(nèi)容進(jìn)行解構(gòu)，進(jìn)而對原來的教材內(nèi)容進(jìn)行整合、重構(gòu)。整體性建構(gòu)以“結(jié)構(gòu)”為中心，將教學(xué)變成了動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的、有個(gè)性的再創(chuàng)造學(xué)習(xí)過程。對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性建構(gòu)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)空間從封閉走向開放，讓學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)從平衡走向新的不平衡，讓學(xué)生的探究過程從無序走向有序。

對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性建構(gòu)，包括“預(yù)建構(gòu)”“互建構(gòu)”和“深建構(gòu)”。在預(yù)建構(gòu)中，教師要為學(xué)生的自主思考、探究預(yù)留充分的可能性時(shí)空;在互建構(gòu)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深度研討、交流，讓學(xué)生的思維、認(rèn)知相互碰撞;在深建構(gòu)中，要讓學(xué)生重塑學(xué)的角色。比如“正比例和反比例”（北師大六年級下冊）這一學(xué)習(xí)內(nèi)容是六年級的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，這一學(xué)習(xí)內(nèi)容是建立在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的“比”“比例”等相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)上展開的。在教材中，“正比例”和“反比例”是分開來進(jìn)行教學(xué)的。盡管這樣的一種“各個(gè)擊破”的編排方式有助于學(xué)生掌握正反比例的意義，但也容易導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的模式化、判定數(shù)量關(guān)系的機(jī)械化。為了提升學(xué)生的問題解決能力，培育學(xué)生的問題解決靈性，筆者在教學(xué)中，將這部分內(nèi)容整合起來進(jìn)行整體性教學(xué)。首先，正反比例盡管知識(shí)內(nèi)容不同，卻有著相同點(diǎn)，都是“兩種相關(guān)聯(lián)的量”。為此，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，將正反比例整合起來進(jìn)行整體教學(xué)。通過出示多種表格（不相關(guān)聯(lián)、和一定、差一定、商一定和積一定），引導(dǎo)學(xué)生探究分類。學(xué)生首先將數(shù)量關(guān)系表格分成兩類：一類是不相關(guān)聯(lián)的量;另一類是相關(guān)聯(lián)的量。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)深入分析相關(guān)聯(lián)的量，將“商不變的數(shù)量關(guān)系”以及“積不變的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生厘清正反比例的意義。通過整體性教學(xué)，學(xué)生形成了整體性的認(rèn)知，如“相關(guān)聯(lián)的量不一定成比例”“成比例的量一定相關(guān)聯(lián)”，如“兩種量商一定就成正比例”“兩種量積一定就成反比例”，等等。整體性建構(gòu)有助于學(xué)生在比較中鑒別，從而把握知識(shí)的本質(zhì)屬性。

對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性建構(gòu)，要放眼學(xué)科知識(shí)的長度、俯瞰學(xué)科知識(shí)的廣度、凝視學(xué)科知識(shí)的厚度。作為教師，要用數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的“組織形式”“構(gòu)成秩序”將知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)整、融合，從而形成學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)。借助于學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，就能形成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性觀念、整體性意識(shí)。通過整體性知識(shí)建構(gòu)，能有效地提升教師的課堂教學(xué)效益，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升。

三、對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體反思

整體性教學(xué)不僅包括整體性建構(gòu)，還包括整體性反思。在學(xué)生學(xué)完一段知識(shí)之后，教師有必要將學(xué)生已有知識(shí)提取出來，引導(dǎo)學(xué)生比較、勾連，從而促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的整體反思。在整體性反思過程中，教師要力圖用整體性的思想、觀念、上位知識(shí)等進(jìn)行統(tǒng)馭。反思的過程，就是梳理知識(shí)的過程，就是感悟數(shù)學(xué)思想方法的意義的過程。通過整體性反思，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知。

在整體性反思中，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知從“點(diǎn)狀”走向“線性”，從“個(gè)別”走向“整體”，從“單一”走向“多元”。比如“因數(shù)和倍數(shù)”（北師大五年級上冊）“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”（北師大五年級上冊）以及“分?jǐn)?shù)的加法和減法”（北師大五年級下冊）這些內(nèi)容，盡管它們被教材編排在不同的年級、單元之中，但它們之間有著密切的關(guān)聯(lián)。因此，在教學(xué)相關(guān)知識(shí)之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整體性反思。如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生反思“因數(shù)和倍數(shù)”;在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的加法和減法”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生溯源，如計(jì)算“分?jǐn)?shù)的加法和減法”的主要方法就是“通分”，而“通分”的依據(jù)是“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，而“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的靈活運(yùn)用諸如約分、通分等離不開“最大公因數(shù)”和“最小公倍數(shù)”，進(jìn)而離不開“因數(shù)和倍數(shù)”這一單元的相關(guān)知識(shí)。這樣的整體性、溯源性反思，能讓學(xué)生切身感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的前后貫通性、整體性、結(jié)構(gòu)性，并且認(rèn)識(shí)到先前的學(xué)習(xí)對于現(xiàn)在學(xué)習(xí)的功能、作用、意義，同時(shí)也能認(rèn)識(shí)到現(xiàn)在的學(xué)習(xí)對以后學(xué)習(xí)的功能、意義和價(jià)值。如此，讓學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知形成了一個(gè)整體性、系統(tǒng)性、關(guān)聯(lián)性的結(jié)構(gòu)，對“源知識(shí)”“數(shù)學(xué)知識(shí)前后關(guān)聯(lián)”產(chǎn)生了一種通透性的把握，并進(jìn)而達(dá)成了觸類旁通、連點(diǎn)成線、結(jié)線成網(wǎng)的教學(xué)效果。

整體性教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理性回歸與突圍。整體性教學(xué)超越了單元教學(xué)，它以“類知識(shí)”“類結(jié)構(gòu)”作為載體、媒介、支撐。借助于整體性教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)與過程的統(tǒng)一、教學(xué)預(yù)設(shè)與生成的統(tǒng)一、數(shù)學(xué)知識(shí)與能力的統(tǒng)一。整體性教學(xué)真正實(shí)現(xiàn)了教師“有深度的教”以及學(xué)生“有深度的學(xué)”。整體性教學(xué)，有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

■ 編輯/魏繼軍