舒洪銘 許昌林
摘 要:對于收斂的無窮級數(shù)的求和有時候存在困難, 本文通過構造兩種不同的概率模型,?將一個收斂的無窮級數(shù)求和問題轉化為概率問題,?然后利用概率的公理化定義以及概率運算性質,?對復雜收斂無窮級數(shù)的和進行求解. 另外,?說明了對于同一個收斂無窮級數(shù)的求和,?可能存在著多種概率模型,?從而豐富了收斂級數(shù)的求和方法.
關鍵字:級數(shù)求和; 概率模型; 概率運算性質.
中圖分類號O173 ???文獻標識碼 A
一、?引言
目前, 對于收斂無窮級數(shù)的求和方法有很多, 比如定義法、構造關系式法、求冪級數(shù)的和函數(shù)法、冪級數(shù)展開式等方法[1][2][3]. 當然除了這些級數(shù)求和方法以外, 對一些復雜收斂無窮級數(shù)的求和問題,?利用上述基礎方法求解起來比較困難, 此時通過構造一些適當?shù)母怕誓P瓦M行求解收斂無窮級數(shù)的和是一種比較好的途徑[4]. 為此, 本文針對一個復雜收斂正項級數(shù)的和的求解問題, 適當構造了兩種概率模型進行求解, 不僅解決了特殊無窮級數(shù)的求和問題, 還進一步說明了對于一些收斂級數(shù)的求和問題來說, 可能同時存在著多種概率模型.
比如針對下列正向無窮級數(shù)
的求和問題. 由正項級數(shù)收斂的判別準則[6]可知(1)式收斂. 為了求解無窮級數(shù)(1)式的和, 下面通過構造適當?shù)母怕誓P蛠韺ζ溥M行求解.
二、?無窮級數(shù)和的第一種概率模型求解
概率模型1:設有兩個一樣的盒子, 第一個盒子有1個紅球、1個白球, 第二個盒子有4個紅球、1個白球, 小球除了顏色不同, 其余特征均相同. 現(xiàn)在有放回的從兩個盒子中各取1個小球, 若取出的2個小球均為紅球, 則試驗成功, 停止試驗; 反之試驗失敗, 此時再向兩個盒子中分別各加入2個白球, 重復上述試驗,?直到試驗成功.?求該試驗成功的概率.
對于(1)式收斂級數(shù)的求和,?還可以構造其他概率模型進行求解,?如此可以構造下面的概率模型進行求解.
概率模型2: 設有兩個一樣的盒子, 第一個盒子有2個紅球、0個白球, 第二個盒子有2個紅球、3個白球, 小球除了顏色不同, 其余特征均相同. 重復模型1的試驗步驟, 求該試驗成功的概率.
四、?總結
本文對一個復雜收斂的無窮級數(shù)和的求解問題,?從構造不同概率模型角度出發(fā),?將復雜求和問題轉化為利用概率論預算性質進行求解, 計算過程簡單明了,?簡化了求和復雜程度, 同時也降低了求解難度,?這為收斂的無窮級數(shù)的求和問題提供了不同的途徑.?同時,?也能看出,?對于同一個收斂的無窮級數(shù),?可以構造不同的概率模型進行求解.?可見,?運用概率模型求解無窮級數(shù)和的靈活性.
參考文獻
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