匯聚線索，巧求角度

郝艷麗

步入初中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸從以直覺、直觀、猜想、合情推理為主的學(xué)習(xí)模式走向以理性、說理、證明、思辨為主的學(xué)習(xí)模式。幾何證明題目，恰好考察了學(xué)生們的證明和說理的能力。解決這類問題，要學(xué)會(huì)匯聚線索巧求角度，這也契合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。本文以旋轉(zhuǎn)全等的題目為例，從問題出發(fā)，通過證明全等解決求角度的問題。在七年級(jí)學(xué)習(xí)階段，求角度主要有三個(gè)思路：利用內(nèi)角和定理，利用平角的定義，或者利用外角定理。

一、分析教學(xué)難點(diǎn)，確定教學(xué)方法

證明題的難點(diǎn)在于沒有做題思路，無法建立起從已知到問題的連接。為培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，教師要發(fā)揮引導(dǎo)作用，通過問題串的遞進(jìn)式教學(xué)法，帶領(lǐng)學(xué)生由淺入深地去分析條件、剖析思路、解決問題、總結(jié)方法，滲透數(shù)學(xué)思想。

二、遞進(jìn)設(shè)置問題，引領(lǐng)總結(jié)方法

例1：如圖1，四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，若正方形DEFG繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，請(qǐng)猜測(cè)CG與AE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由。

教學(xué)過程：

教師提問：請(qǐng)同學(xué)們看圖1，大膽猜測(cè)CG與AE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？

學(xué)生1回答：CG=AE，CG⊥AE

教師提問：證明線段相等可以從證明三角形全等入手，請(qǐng)同學(xué)們思考。

學(xué)生2回答：證明△CDG和△ADE全等。

教師追問：確定目標(biāo)后，我們?cè)俜治鲱}目中的已知條件，該如何證明呢？

學(xué)生3回答：因?yàn)樗倪呅蜛BCD與四邊形DEFG都是正方形，所以CD=AD，GD=DE，∠ADC和∠GDE都是直角，所以∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，也就是說∠CDG=∠ADE，根據(jù)SAS可以證得△CDG≌△ADE。

教師點(diǎn)評(píng)和提問：這位同學(xué)回答的很好，接下來根據(jù)全等的性質(zhì)容易得到CG=AE，但是要怎么證明CG⊥AE呢？

教師追問：假設(shè)CG⊥AE，那么∠AHC或者∠GHE是多少度呢？

學(xué)生4回答：90°。

教師提問：很好，那么我們想證明CG⊥AE，也可以通過求∠AHC或者∠GHE。求角度需要把線索集中，線索包括題目中的已知條件和已證明的結(jié)論。集中線索可以是圖形上的集中，也可以是數(shù)量關(guān)系上的集中，請(qǐng)同學(xué)們嘗試。

學(xué)生5回答：可以在圖形中集中，我發(fā)現(xiàn)∠DAE是我們證明全等的三角形的內(nèi)角，而∠DAE和∠AHC都在△AHQ中。

教師追問：很好，我們可以把這兩個(gè)角在圖形上集中起來，請(qǐng)同學(xué)們嘗試求出∠AHC或者∠GHE？

學(xué)生6回答：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，∠AHC+∠DAE+∠AQG=180°，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等∠DAE=∠GCD，根據(jù)對(duì)頂角相等可知∠AQG=∠CQD，所以∠AQG+∠DAE=∠GCD+∠CQD=90°，所以∠AHC=90°。

教師點(diǎn)評(píng)：非常好，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)寫題過程，歸納寫題方法。

學(xué)生7回答：根據(jù)問題和已知條件，確定需要證明全等的三角形。根據(jù)圖形，將所求的角匯聚在一個(gè)三角形中，再根據(jù)內(nèi)角和180度求角度。

學(xué)生8回答：證明線段的數(shù)量關(guān)系是通過證明全等，證明線段的位置關(guān)系是通過證明角度求解。

教師點(diǎn)評(píng)：同學(xué)們的總結(jié)都非常精彩，我們?cè)趯W(xué)習(xí)新知識(shí)要通過猜測(cè)——探究——驗(yàn)證——總結(jié)的過程將知識(shí)內(nèi)化。解決線段數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的方法就是匯聚線索，巧求角度。

三、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決復(fù)雜問題

例2：如圖2，△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，若等腰直角三角形△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，請(qǐng)猜測(cè)BD與AE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由。

四、完成課堂練習(xí)，及時(shí)反饋總結(jié)

例3：如圖3，△ACE為等邊三角形，∠ABD=∠EDB=60°，（1）試判斷BD、AB、DE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由。（2）連接AD與BE交于F點(diǎn)，求證：①AD=BE;②求∠AFB的大小。

五、完成課后練習(xí)，提升學(xué)習(xí)效果

例4：如圖4，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的兩點(diǎn)，AD=CE，且AE與BD交于點(diǎn)P，BF⊥AE于點(diǎn)F，（1）求證：△ABD≌△CAE;（2）求∠PBF的度數(shù)。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何有關(guān)的內(nèi)容也是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，也是思維靈活性和思維嚴(yán)密性要求較高的章節(jié)。由于幾何的內(nèi)容對(duì)學(xué)生來說較為抽象，所以教師應(yīng)側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，為學(xué)生將來的幾何學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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