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      一類解析函數(shù)的Bohr定理

      2021-07-30 03:28:30李程鵬李錦成
      華僑大學學報(自然科學版) 2021年4期
      關鍵詞:子類圓盤半徑

      李程鵬, 李錦成

      (華僑大學 數(shù)學科學學院, 福建 泉州 362021)

      用C表示復平面,D={z∈C:|z|<1}表示C中的單位開圓盤,Dr=D(0,r)表示以原點為圓心、r為半徑的開圓盤.H(D,Ω)表示從D映到Ω?C中的解析函數(shù)全體,A(D)表示D內正規(guī)化解析函數(shù)的全體,K(D)表示D內正規(guī)化單葉解析凸函數(shù)的全體.在單復變幾何函數(shù)論中,凸函數(shù)都與正實部函數(shù)密切相關.定義正實部函數(shù)子類,記為Pα(D)[1],0<α≤1,即

      Pα(D):={f∈A(D):Re[f(z)/z]≥α}.

      注1當α=1時,由極值原理可知,f(z)≡z.

      注2[1]K(D)?P1/2(D).

      在單復變中,Bohr[2]得到了經典的Bohr定理.

      上式中:d為歐式距離;?D為D的邊界.基于此形式,Bohr不等式可以被推廣到任何區(qū)域Ω?C[6-9].

      給定一個區(qū)域Ω?C,找出最大的半徑rΩ>0,使得對任一f∈H(D,Ω)和|z|

      類似地,可以定義一類解析函數(shù)滿足Bohr現(xiàn)象.

      則稱M滿足Bohr現(xiàn)象,其中,最大的r*稱為M的Bohr半徑.

      Bohr現(xiàn)象是一個活躍的研究領域,Ali等[11]確定了幾類解析函數(shù)的Bohr半徑,包括α級凸函數(shù)類及近于凸函數(shù)子類.

      由于K(D)?P1/2(D),解析函數(shù)族Pα(D)的Bohr半徑將是一個有意義的問題.

      給出上述問題的解答,通過建立Pα(D)的增長和掩蓋定理,得到了Pα(D)的Bohr定理,給出了相應的Bohr半徑.

      1 相關引理

      為了給出文中的主要結果,需引入以下2個引理.

      引理1[12]設函數(shù)h(z)在D內解析,Re[h(z)]>0,且h(0)=1,則當z∈D時,

      |an|≤2Re(a0).

      證明:為了讀者方便,給出證明,具體可參考文獻[13].

      對于任一正整數(shù)n≥1,由于

      從而,

      即|an|≤2Re(a0).

      2 主要結果

      定理1設f∈Pα(D),0<α≤1,則當z∈D時,有

      從而,Dα?f(D).

      從而,

      于是,

      上式左邊令|z|→1,可得Dα?f(D).

      注3若f∈Pα(D),則f(0)=0,且d(f(0),?f(D))=d(0,?f(D))≥α.

      (1)

      其中,

      (2)

      為Pα(D)的Bohr半徑.

      根據引理2,有

      |an|≤2(1-α),n≥2.

      從而,

      再結合注3,有d(f(0),?f(D))=d(0,?f(D))≥α.

      解不等式組

      經計算,可得|z|

      下面證明r0為Pα(D)的Bohr半徑,即r0為最佳常數(shù).

      這表明r0為Pα(D)的Bohr半徑.

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