李程鵬, 李錦成
(華僑大學 數(shù)學科學學院, 福建 泉州 362021)
用C表示復平面,D={z∈C:|z|<1}表示C中的單位開圓盤,Dr=D(0,r)表示以原點為圓心、r為半徑的開圓盤.H(D,Ω)表示從D映到Ω?C中的解析函數(shù)全體,A(D)表示D內正規(guī)化解析函數(shù)的全體,K(D)表示D內正規(guī)化單葉解析凸函數(shù)的全體.在單復變幾何函數(shù)論中,凸函數(shù)都與正實部函數(shù)密切相關.定義正實部函數(shù)子類,記為Pα(D)[1],0<α≤1,即
Pα(D):={f∈A(D):Re[f(z)/z]≥α}.
注1當α=1時,由極值原理可知,f(z)≡z.
注2[1]K(D)?P1/2(D).
在單復變中,Bohr[2]得到了經典的Bohr定理.
上式中:d為歐式距離;?D為D的邊界.基于此形式,Bohr不等式可以被推廣到任何區(qū)域Ω?C[6-9].
給定一個區(qū)域Ω?C,找出最大的半徑rΩ>0,使得對任一f∈H(D,Ω)和|z| 類似地,可以定義一類解析函數(shù)滿足Bohr現(xiàn)象. 則稱M滿足Bohr現(xiàn)象,其中,最大的r*稱為M的Bohr半徑. Bohr現(xiàn)象是一個活躍的研究領域,Ali等[11]確定了幾類解析函數(shù)的Bohr半徑,包括α級凸函數(shù)類及近于凸函數(shù)子類. 由于K(D)?P1/2(D),解析函數(shù)族Pα(D)的Bohr半徑將是一個有意義的問題. 給出上述問題的解答,通過建立Pα(D)的增長和掩蓋定理,得到了Pα(D)的Bohr定理,給出了相應的Bohr半徑. 為了給出文中的主要結果,需引入以下2個引理. 引理1[12]設函數(shù)h(z)在D內解析,Re[h(z)]>0,且h(0)=1,則當z∈D時, |an|≤2Re(a0). 證明:為了讀者方便,給出證明,具體可參考文獻[13]. 對于任一正整數(shù)n≥1,由于 從而, 即|an|≤2Re(a0). 定理1設f∈Pα(D),0<α≤1,則當z∈D時,有 從而,Dα?f(D). 從而, 于是, 即 上式左邊令|z|→1,可得Dα?f(D). 注3若f∈Pα(D),則f(0)=0,且d(f(0),?f(D))=d(0,?f(D))≥α. (1) 其中, (2) 為Pα(D)的Bohr半徑. 根據引理2,有 |an|≤2(1-α),n≥2. 從而, 再結合注3,有d(f(0),?f(D))=d(0,?f(D))≥α. 解不等式組 經計算,可得|z| 下面證明r0為Pα(D)的Bohr半徑,即r0為最佳常數(shù). 這表明r0為Pα(D)的Bohr半徑.1 相關引理
2 主要結果