溫如鳳 方躍法 葉 偉

(1.北京交通大學(xué)機械與電子控制工程學(xué)院， 北京 100044； 2.山東管理學(xué)院智能工程學(xué)院, 濟南 250357；3.浙江理工大學(xué)機械與自動控制學(xué)院, 杭州 310018)

0 引言

傳統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)的動平臺通過兩條以上分支與基座相連，具有多閉環(huán)結(jié)構(gòu)。這類機構(gòu)具有剛度好、負載能力強、操作速度快等優(yōu)點，在分揀、運動模擬等領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。但是，傳統(tǒng)的并聯(lián)機構(gòu)中各分支獨立支撐動平臺，容易產(chǎn)生奇異位形、剛度退化等問題[1]。為此，學(xué)者們在并聯(lián)機構(gòu)的分支間添加耦合分支，提出了廣義并聯(lián)機構(gòu)的概念[2]。

相較于傳統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)，具有耦合分支的廣義并聯(lián)機構(gòu)在剛度、精度等方面更具優(yōu)勢[3-4]。TIAN等[4]結(jié)合拓撲圖與螺旋理論提出了一種系統(tǒng)的綜合方法，用于含耦合分支并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合。DING等[5-6]設(shè)計了一類具有耦合分支的雙層雙閉環(huán)空間機構(gòu)。劉婧芳等[7]在3-(RRR)RR并聯(lián)機構(gòu)上添加耦合分支，得到了一類三移動自由度空間多環(huán)耦合機構(gòu)。SHEN等[8]對并聯(lián)機構(gòu)的分支進行拆分組合，設(shè)計了一類多環(huán)耦合六自由度機構(gòu)。

在眾多少自由度機構(gòu)中，動平臺輸出兩轉(zhuǎn)動兩移動運動(2R2T)的機構(gòu)一直被廣泛關(guān)注。這類機構(gòu)在加工機械[9-10]、農(nóng)業(yè)機械[11]、醫(yī)療手術(shù)器械[12]等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景。YE等[13]設(shè)計了一類具有對稱分支結(jié)構(gòu)的2R2T并聯(lián)機構(gòu)。WANG等[14]采用鉸接動平臺設(shè)計了一類大轉(zhuǎn)動工作空間的2R2T并聯(lián)機構(gòu)，并進行了性能分析。張彥斌等[15]基于螺旋理論設(shè)計了一類具有運動解耦特點的2R2T并聯(lián)機構(gòu)。GAN等[16]對一種2R2T并聯(lián)機構(gòu)進行了無奇異優(yōu)化設(shè)計。范彩霞等[17]基于構(gòu)型演變和李群理論進行了2R2T并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合。

目前，已有較多含耦合分支的廣義并聯(lián)機構(gòu)以及2R2T并聯(lián)機構(gòu)的相關(guān)研究成果。但含耦合分支的2R2T并聯(lián)機構(gòu)尚未見相關(guān)研究報道。本文提出一種具有耦合分支的2R2T并聯(lián)機構(gòu)，基于李群理論進行自由度分析，然后進行運動學(xué)建模、剛度分析與優(yōu)化設(shè)計，為機構(gòu)的實際應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

1 機構(gòu)描述與自由度分析

圖1、2為本文提出的一種具有耦合分支的并聯(lián)機構(gòu)。該機構(gòu)動平臺和基座間有3條分支。分支1和分支2是RPU分支，其中R表示轉(zhuǎn)動副、P表示移動副、U表示虎克鉸。分支3是SPS分支，其中S代表球副。在分支1和分支2之間橫向連接了1條結(jié)構(gòu)為RPR的耦合分支4。分支1、2、4中所有的轉(zhuǎn)動副軸線與虎克鉸的第1條轉(zhuǎn)軸平行，且與這些分支中移動副的軸線垂直。分支1和2內(nèi)2個虎克鉸的第2條轉(zhuǎn)軸共線。

用A1和A2分別表示分支1和分支2與基座相連轉(zhuǎn)動副的中心，A3表示分支3與基座相連球副的中心。類似地，用B1和B2分別表示分支1和分支2與動平臺相連虎克鉸的中心，B3表示分支3與動平臺相連球副的中心。C1和C2分別表示耦合分支4與分支1和分支2相連轉(zhuǎn)動副的中心。點A1、A2、A3位于同一平面內(nèi)，且構(gòu)成一個等腰三角形。線段A1A3與A2A3等長，A1A2長度等于2a，A3與A1A2的垂直距離等于a。動平臺B1B2B3同樣設(shè)計為等腰三角形，線段B1B3與B2B3等長，B1B2長度等于2b，B3與B1B2的垂直距離等于b。線段B1C1與B2C2等長，長度均為c。在基座上建立定坐標系oxyz，原點o位于線段A1A2中點，x軸沿oA2方向，y軸沿oA3方向，z軸遵從右手法則。同樣，在動平臺上建立動坐標系puvw，原點p位于線段B1B2中點，u軸沿oB2方向，v軸沿oB3方向，w軸遵從右手法則。

采用李群理論[18]對機構(gòu)進行自由度分析。注意到C1和C2分別是分支1和分支2上的點，由于分支1和分支2結(jié)構(gòu)的限制，這兩個點始終位于xoz平面內(nèi)，它們的相對自由度為平面內(nèi)的兩個移動和一個轉(zhuǎn)動。耦合分支4為RPR結(jié)構(gòu)，構(gòu)成三維位移子群{G(y)}，允許xoz平面內(nèi)的所有3個自由度。因此，耦合分支4的引入對點C1和C2的相對自由度沒有影響，也就意味著對整體機構(gòu)的自由度沒有影響。

根據(jù)以上分析，可將耦合分支4移除，再分析動平臺的自由度特性。分支1位移流形L1可表示為

L1={R(A1,y)}{T(a1b1)}{R(B1,y)}{R(B1,u)}={G(y)}{R(B1,u)}

(1)

式中 {R(A1,y)}——軸線平行于y軸且通過點A1的轉(zhuǎn)動位移子群

{T(a1b1)}——沿向量a1b1方向的移動位移子群

a1b1——沿分支1內(nèi)移動副方向的單位向量

{G(y)}——垂直于y軸的平面位移子群

其余符號含義類同。

分支2和分支1結(jié)構(gòu)相同，且由于點B1和點B2均位于u軸上，分支2位移流形L2可以表示為

L2={G(y)}{R(B2,u)}={G(y)}{R(B1,u)}

(2)

分支3為SPS分支，有6個自由度，其位移流形L3是六維李群，記為

L3={D}

(3)

可得動平臺位移流形{M}為

{M}=L1∩L2∩L3={G(y)}{R(B1,u)}∩{G(y)}{R(B1,u)}∩{D}={G(y)}{R(B1,u)}

(4)

由式(4)可知，該機構(gòu)動平臺有4個自由度，包括xoz平面內(nèi)2個移動自由度、繞y軸的轉(zhuǎn)動自由度、繞u軸的轉(zhuǎn)動自由度。由于位移子群和子流形表示連續(xù)運動，機構(gòu)的4個自由度也是連續(xù)自由度。

為了使機構(gòu)具有確定的運動，需要選取4個關(guān)節(jié)作為主動關(guān)節(jié)。選取機構(gòu)內(nèi)4個移動副作為主動關(guān)節(jié)。如果鎖住所有的主動關(guān)節(jié)后，機構(gòu)的自由度為0，說明驅(qū)動選取合適。觀察機構(gòu)的結(jié)構(gòu)，可發(fā)現(xiàn)動平臺繞u軸的轉(zhuǎn)動自由度完全由分支3控制，與分支1、2、4無關(guān)。而分支1、2、4與動平臺實際構(gòu)成一個平面子機構(gòu)，圖3為鎖住主動關(guān)節(jié)后的該平面子機構(gòu)。此時，構(gòu)件數(shù)為4，低副數(shù)目為6，機構(gòu)的自由度F=3×4-2×6=0，表明分支1、2、4中的主動關(guān)節(jié)能完全控制線段B1B2在空間的位姿。

當B1B2的位姿確定后(即可視為與基座相連)，鎖定分支3內(nèi)主動關(guān)節(jié)后，動平臺與分支3構(gòu)成的局部子機構(gòu)如圖4所示，其中，構(gòu)件數(shù)為2，轉(zhuǎn)動副數(shù)目為1，球副數(shù)目為2，連接兩個球副的連桿存在1個局部自由度，機構(gòu)的自由度F=6×2-5-2×3-1=0，表明分支3的主動關(guān)節(jié)能完全控制動平臺繞u軸的轉(zhuǎn)動自由度。

綜合以上分析可知，分支1、2、3、4內(nèi)的4個移動副能完全控制動平臺的4個自由度，驅(qū)動選取合適。

2 位置分析

位置分析的目的在于建立主動關(guān)節(jié)輸入?yún)?shù)和動平臺輸出位姿參數(shù)間的映射關(guān)系。分析的機構(gòu)中4個移動副為主動關(guān)節(jié)，對應(yīng)的長度為d1、d2、d3、d4，是輸入?yún)?shù)。動平臺的位置可由動坐標系原點p在定坐標系中的位置矢量p=(x，0，z)T表示，姿態(tài)可由旋轉(zhuǎn)變換矩陣R表示

R=R(y,α)R(u,β)=

(5)

式中R(y,α)——繞y軸轉(zhuǎn)動角α的旋轉(zhuǎn)矩陣

R(u,β)——繞u軸轉(zhuǎn)動角β的旋轉(zhuǎn)矩陣

R(y,α)、R(u,β)分別對應(yīng)機構(gòu)的2個轉(zhuǎn)動自由度。因此，動平臺的位姿可由x、z、α、β4個參數(shù)表示。

在定坐標系中，點Ai(i=1,2,3)的位置矢量可表示為

(6)

在動坐標系中，點Bi(i=1,2,3)的位置矢量可表示為

(7)

其中，右上標p表示參考的是動坐標系。

可通過坐標變換將點Bi(i=1,2,3)在定坐標系下的位置矢量求得。變換公式為

(8)

將式(5)、(7)代入式(8)中，可得

(9)

根據(jù)A1、A2、B1、B2的位置矢量，可以求得點C1、C2的位置矢量為

(10)

根據(jù)分支的結(jié)構(gòu)，可以建立4個約束方程

(11)

將各點位置矢量代入式(11)，可得到4個方程為

(12)

(13)

(14)

(15)

位置逆解是已知動平臺輸出參數(shù)x、z、α、β，求解輸入?yún)?shù)di(i=1,2,3,4)?？珊苋菀椎赝ㄟ^式(12)～(15)求得，注意di(i=1,2,3,4)為移動副長度，應(yīng)取正值。位置正解是已知輸入?yún)?shù)di(i=1,2,3,4)，求解x、z、α、β，屬于方程求解問題。

3 奇異分析

并聯(lián)機構(gòu)的工作空間內(nèi)可能存在奇異位形，會導(dǎo)致機構(gòu)剛度退化、失去控制等不良后果，應(yīng)對奇異位形進行分析。奇異分析一般在速度雅可比矩陣的基礎(chǔ)上開展，將方程(12)～(15)對時間求導(dǎo)，得到速度方程，可整理為

(16)

其中

可以得到機構(gòu)的雅可比矩陣J為

(17)

并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形可分為3類[19]：逆奇異、正奇異和混合奇異。

當矩陣JA的行列式值等于0，但矩陣JB的行列式值不為0時，機構(gòu)處于逆奇異位形。根據(jù)矩陣JA的表達式可知，只有當某個移動副長度di=0時，JA的行列式值為0。但考慮到實際情況，這種條件無法滿足。因此，機構(gòu)不存在逆奇異。

當矩陣JB的行列式值等于0，但矩陣JA的行列式值不為0時，機構(gòu)處于正奇異位形。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，機構(gòu)有2種正奇異位形。

第1種正奇異位形發(fā)生在線段A3B3穿過線段B1B2時，如圖5所示。此時，動平臺繞u軸轉(zhuǎn)動自由度失去控制。

第2種正奇異位形是當d4取最大值，即到達峰頂。此時，d4變化可能會使得機構(gòu)向兩個不同的方向運動(峰頂?shù)膬蓚?cè))，機構(gòu)不具有確定的運動。

為直觀地展示機構(gòu)奇異位形，設(shè)定機構(gòu)的尺度參數(shù)如下：a=170 mm，b=66 mm，c=80 mm，令z=-220 mm，det(JB)=0，可得到機構(gòu)的正奇異位形曲面如圖6所示。可以發(fā)現(xiàn)，機構(gòu)的正奇異位形包含兩個曲面，分別對應(yīng)兩種正奇異情況。

圖7為當β=0時，工作空間內(nèi)d4分布情況。黑色曲線代表第2種正奇異位形?？梢园l(fā)現(xiàn)，黑色曲線與d4長度的峰值吻合，證實了奇異位形分析的正確性。

當矩陣JA和JB的行列式值都等于0時，機構(gòu)發(fā)生混合奇異。由于JA的行列式值不可能為0，機構(gòu)沒有混合奇異。

4 性能分析

4.1 剛度分析

當在并聯(lián)機構(gòu)的動平臺上施加載荷后，由于機構(gòu)的柔性，動平臺會偏離預(yù)定的位置，從而影響操作精度。剛度反映機構(gòu)受力時抵抗彈性變形的能力，是評價并聯(lián)機構(gòu)的一種重要性能指標。

本文考慮驅(qū)動的柔性，對機構(gòu)進行剛度分析。根據(jù)虛功原理[20]，建立并聯(lián)機構(gòu)平衡方程為

τTδq-FTδx=0

(18)

式中τ——驅(qū)動關(guān)節(jié)的力或力矩

δq——驅(qū)動關(guān)節(jié)對應(yīng)的虛位移

F——動平臺受的力或力矩

δx——動平臺虛位移

驅(qū)動關(guān)節(jié)的虛位移與動平臺的虛位移滿足

δq=Jδx

(19)

將式(19)代入式(18)可得

F=JTτ

(20)

驅(qū)動關(guān)節(jié)力或力矩和虛位移間滿足

τ=χδq

(21)

式中χ——對角矩陣

其對角線上元素代表驅(qū)動關(guān)節(jié)的剛度。

將式(19)代入式(21)，將結(jié)果代入式(20)，可得

F=JTχJδx

(22)

因此，得到并聯(lián)機構(gòu)的剛度矩陣為

K=JTχJ

(23)

考慮到雅可比矩陣含有動平臺的位姿參數(shù)，可知并聯(lián)機構(gòu)的剛度會隨位姿變化。衡量剛度的指標包括剛度矩陣的條件數(shù)、特征值、對角線元素等[21]。在設(shè)計時通常希望機構(gòu)的最小剛度大于一定的值以確保機構(gòu)的精度[22]，因此選取剛度矩陣的最小特征值作為剛度評價指標。

由于本文機構(gòu)具有移動和轉(zhuǎn)動混合自由度，雅可比矩陣J存在量綱不統(tǒng)一的問題，從而導(dǎo)致剛度矩陣缺乏物理意義。為解決這個問題，采用特征長度的方法[23-24]，在對應(yīng)角速度的雅可比矩陣后兩列除以一個表示機構(gòu)尺度的特征長度L來實現(xiàn)量綱的統(tǒng)一。選取點A1和A2間距離為特征長度。注意，剛度矩陣K中所用的J即是量綱統(tǒng)一后的雅可比矩陣。不失一般性，將所有驅(qū)動的剛度系數(shù)均設(shè)置為1×106N/mm，可以得到機構(gòu)工作空間內(nèi)剛度。圖8為x=0，z=-220 mm 時工作空間內(nèi)機構(gòu)的剛度指標K的分布情況。

由圖8可知，機構(gòu)在α=0°時，剛度退化為零。對比圖6可以發(fā)現(xiàn)，此時機構(gòu)處于奇異位形(圖8中的黑色虛線即代表奇異位形)，在鎖住所有的驅(qū)動后，動平臺仍有瞬時自由度。剛度分析與奇異分析結(jié)果吻合。

為消除工作空間內(nèi)部奇異，提高機構(gòu)的剛度性能，可以在機構(gòu)中添加冗余驅(qū)動分支[25-26]。圖9為在原機構(gòu)上添加了RPU結(jié)構(gòu)的分支5，形成的冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)。注意，分支5和分支1共用末端的虎克鉸。由于分支5和分支1的位移流形相同，由李群理論可知，機構(gòu)自由度沒有改變。

設(shè)計分支1和分支5中與基座相連轉(zhuǎn)動副的中心距離為440 mm，采用非冗余機構(gòu)類似的分析方法，可以得到同樣條件下冗余驅(qū)動機構(gòu)工作空間內(nèi)剛度指標分布情況。圖10為x=0，z=-220 mm時冗余驅(qū)動機構(gòu)的剛度指標分布情況。

對比圖8和圖10可以發(fā)現(xiàn)，在添加一個冗余驅(qū)動的分支后，機構(gòu)工作空間中心區(qū)域的剛度性能得到了大幅提升，這是由于添加的冗余驅(qū)動分支消除了第2種正奇異位形。

4.2 工作空間分析

機構(gòu)工作空間也是一項重要性能指標。冗余驅(qū)動機構(gòu)由于增加了額外分支，其工作空間相較于非冗余機構(gòu)勢必會減小?？紤]機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)定分支1、2、3、5中移動副伸縮范圍為200～300 mm，而分支4中移動副伸縮范圍為150～250 mm，當z=-220 mm時，非冗余機構(gòu)和冗余驅(qū)動機構(gòu)的三維工作空間分別如圖11、12所示。

由圖11、12可以發(fā)現(xiàn)，添加冗余驅(qū)動分支后，機構(gòu)的工作空間變小。對工作空間分層分析，令x=-40 mm，x=-20 mm，x=0，x=20 mm，x=40 mm，分別繪制非冗余機構(gòu)和冗余驅(qū)動機構(gòu)的二維工作空間，如圖13所示?？梢园l(fā)現(xiàn)在遠離x=0的區(qū)域，非冗余機構(gòu)的轉(zhuǎn)動工作空間大于冗余驅(qū)動機構(gòu)。在x=0附近的中心區(qū)域，冗余驅(qū)動機構(gòu)和非冗余機構(gòu)的轉(zhuǎn)動工作空間基本一致。

分析冗余驅(qū)動機構(gòu)構(gòu)型可知，當動平臺姿態(tài)保持水平時，隨著動平臺位置參數(shù)x從0開始負增長，分支1和分支5的長度變短，此時，如果動平臺饒y軸順時針轉(zhuǎn)動，分支5的長度將進一步壓縮，導(dǎo)致分支5中移動副行程更容易達到下限，限制了動平臺繞y軸順時針轉(zhuǎn)動的角度。另一方面，如果動平臺位置參數(shù)x從0開始正增長，分支1和分支5的長度變長，此時，動平臺繞y軸的逆時針轉(zhuǎn)動會使得分支5的長度進一步增加，導(dǎo)致分支5中移動副行程更容易達到上限，限制了動平臺繞y軸逆時針轉(zhuǎn)動的角度。當x=0時，由于對稱性，分支5對工作空間的約束與分支1相同，故此時冗余驅(qū)動機構(gòu)的工作空間與非冗余機構(gòu)一致。由圖13可知，相對于非冗余機構(gòu)，當x小于0時，冗余驅(qū)動機構(gòu)的工作空間在α的負方向變??；而當x大于0時，工作空間在α的正方向變小；當x=0時，工作空間沒有變化，這種變化規(guī)律與機構(gòu)的構(gòu)型特點吻合。

并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形會將工作空間分割為多個割裂的區(qū)域。圖13中白色虛線代表奇異位形，可以發(fā)現(xiàn)，在x=0附近，冗余驅(qū)動機構(gòu)的非奇異工作空間比非冗余驅(qū)動機構(gòu)更大。

5 尺度優(yōu)化設(shè)計

圖16為尺度優(yōu)化后(b=78 mm，c=80 mm)機構(gòu)的剛度指標分布。對比圖10可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計，冗余驅(qū)動機構(gòu)的剛度性能得到了明顯提升。

6 結(jié)論

(1)提出了一種具有耦合分支的新型并聯(lián)機構(gòu)，其動平臺能輸出兩個轉(zhuǎn)動運動和兩個移動運動。該機構(gòu)配合一個移動工作臺可作為五軸機床的本體。

(2)基于雅可比矩陣分析了機構(gòu)的奇異位形。該機構(gòu)具有2種正奇異情況，會導(dǎo)致剛度退化，通過添加冗余驅(qū)動分支可有效提升機構(gòu)的剛度性能。

(3)冗余驅(qū)動機構(gòu)的性能與尺度相關(guān)，通過尺度優(yōu)化設(shè)計可進一步提升機構(gòu)工作空間內(nèi)的剛度性能。