李文鑫,李曠代，王 偉

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044;2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854)

0 引言

空間飛行器一直是軍事應(yīng)用和科學(xué)探索重要的載體和平臺(tái)，對(duì)空間飛行器與其它飛行器交會(huì)策略的研究具有重要意義。傳統(tǒng)地面飛行器的研究需要根據(jù)飛行器具體的形狀特點(diǎn)以及所處環(huán)境的不同分析其具體的受力情況，因此一般不能得到地面飛行器通用的交會(huì)仿真策略?？臻g飛行器根據(jù)天體力學(xué)的空間規(guī)律運(yùn)行，在研究空間飛行器交會(huì)過(guò)程時(shí)可以借助空間技術(shù)，這是與普通飛行器研究不同的一點(diǎn)。由于空間中絕大部分飛行器的運(yùn)動(dòng)都可看作相對(duì)于地球的二體運(yùn)動(dòng)，受力情況基本一致，因此結(jié)合空間飛行器所處空間環(huán)境的特殊性，針對(duì)它們的一些共性，給出了利用變軌算法和優(yōu)化算法構(gòu)建空間飛行器交會(huì)軌道模型的方法，在綜合考慮誤差因素的情況下，得到了空間飛行器交會(huì)準(zhǔn)確度的計(jì)算模型。

1 飛行器轉(zhuǎn)移軌道模型構(gòu)建

空間飛行器與目標(biāo)的交會(huì)過(guò)程從另一方面可看作飛行器由原來(lái)軌道向目標(biāo)位置轉(zhuǎn)移的軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程,可利用軌道轉(zhuǎn)移技術(shù)構(gòu)建其交會(huì)軌道模型。飛行器的交會(huì)軌道是其從初始軌道向目標(biāo)軌道的過(guò)渡軌道，飛行器在發(fā)動(dòng)機(jī)推力的作用下實(shí)現(xiàn)速度的變化，進(jìn)而完成軌道的轉(zhuǎn)換。對(duì)飛行器交會(huì)軌道的構(gòu)建可利用霍曼轉(zhuǎn)移或Lambert轉(zhuǎn)移，其中霍曼轉(zhuǎn)移一般適用于共面或非共面圓軌道轉(zhuǎn)移情況，為了空間飛行器交會(huì)策略的普遍適用性采用了既可應(yīng)用于圓軌道轉(zhuǎn)移也可適用于橢圓軌道轉(zhuǎn)移的Lambert轉(zhuǎn)移[1]。

1.1 Lambert變軌算法

基于Lambert理論的飛行器轉(zhuǎn)移過(guò)程如圖1所示。飛行器在初始位置獲得一定的速度后就可以沿著轉(zhuǎn)移軌道轉(zhuǎn)移到理論上的目標(biāo)點(diǎn)位置。

圖1 Lambert變軌示意圖

Lambert問(wèn)題也叫做Gauss問(wèn)題[3]，求解Lambert問(wèn)題需要結(jié)合拉格朗日時(shí)間轉(zhuǎn)移方程[4]，而此方程是一個(gè)超越方程，很難求得解析解。因此現(xiàn)在一般求解的思路是尋找該方程的數(shù)值解，通過(guò)引入一些相對(duì)獨(dú)立的迭代變量，結(jié)合時(shí)間轉(zhuǎn)移方程建立控制方程組，在不斷的循環(huán)迭代中求得滿足精度的數(shù)值解。Lambert求解方法很多，具體可參考文獻(xiàn)[5-10]。利用普適量法對(duì)Lambert問(wèn)題求解如下。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

通過(guò)引入普適變量z對(duì)式(3)～(6)進(jìn)行重新表示，推導(dǎo)后得到z與Lambert變軌轉(zhuǎn)移時(shí)間tf之間的關(guān)系：

(8)

式中，χ、S(z)、y(z)均為z的函數(shù)，關(guān)于z及以上參數(shù)的具體定義可參考文獻(xiàn)[11]。

在空間中，由于飛行器質(zhì)量相對(duì)于地球質(zhì)量可以忽略不計(jì)，則空間飛行器相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)的軌道動(dòng)力學(xué)方程如下：

(9)

由以上轉(zhuǎn)移軌道的求解過(guò)程可知，要利用Lambert變軌算法求得轉(zhuǎn)移軌道，需要給定轉(zhuǎn)移時(shí)間作為已知條件，并且目標(biāo)位置不會(huì)隨時(shí)間變化，這是傳統(tǒng)Lambert變軌算法的局限性，只能解決飛行器在兩個(gè)定點(diǎn)之間的軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題。在飛行器與目標(biāo)交會(huì)的實(shí)際條件下，從發(fā)射飛行器到與目標(biāo)交會(huì)的轉(zhuǎn)移時(shí)間一般不能提前獲得，目標(biāo)的位置也處于不斷變化中，這是飛行器在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)移問(wèn)題。為解決這一問(wèn)題，在Lambert變軌算法的基礎(chǔ)上引入了粒子群優(yōu)化算法和交會(huì)時(shí)間優(yōu)化算法來(lái)進(jìn)行飛行器轉(zhuǎn)移軌道的構(gòu)建。

1.2 粒子群優(yōu)化算法獲取轉(zhuǎn)移時(shí)間

粒子群算法是一種智能算法，一般用于解決最優(yōu)化的搜索問(wèn)題。粒子群算法的基本原理是通過(guò)個(gè)體之間的信息共享快速找到能夠滿足收斂條件的最優(yōu)解。該算法的具體操作是給空間中所有的粒子隨機(jī)分配滿足條件的初始位置和初始速度。粒子的位置就對(duì)應(yīng)了問(wèn)題的一個(gè)解，將粒子位置值帶入目標(biāo)函數(shù)就可得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，這就是粒子的適應(yīng)度。迭代過(guò)程中，根據(jù)每個(gè)粒子的速度值和空間中已知的最優(yōu)位置和粒子已知的最優(yōu)位置更新粒子下一次的位置，在不斷的迭代過(guò)程中，通過(guò)個(gè)體和種群之間的信息共享，能夠很快找到滿足條件的粒子值。其算法流程圖如圖2所示。

圖2 粒子群算法流程圖

利用粒子群算法求解轉(zhuǎn)移時(shí)間的函數(shù)如下：

(10)

在給定目標(biāo)初始位置的情況下，利用粒子群算法以及Lambert變軌算法得到了飛行器的初始轉(zhuǎn)移軌道以及相應(yīng)的轉(zhuǎn)移時(shí)間tf，如圖3所示。然而在交會(huì)過(guò)程中，目標(biāo)會(huì)沿著運(yùn)行軌道不斷移動(dòng)，位置在不斷發(fā)生變化，飛行器的實(shí)際轉(zhuǎn)移軌道會(huì)隨著目標(biāo)位置的變化而變化，轉(zhuǎn)移時(shí)間也隨之改變。

圖3 飛行器實(shí)際軌道示意圖

1.3 轉(zhuǎn)移時(shí)間優(yōu)化

該優(yōu)化方法的基本思路是：利用已知的定點(diǎn)到定點(diǎn)的轉(zhuǎn)移時(shí)間給出一個(gè)初始的基可行解，也就是新的轉(zhuǎn)移時(shí)間，然后根據(jù)提前設(shè)定的最優(yōu)性判定方法對(duì)這個(gè)新的轉(zhuǎn)移時(shí)間進(jìn)行判定，若該初始可行解是符合條件的最優(yōu)解，則輸出這個(gè)可行解，停止計(jì)算；若不滿足最優(yōu)性條件，則由當(dāng)前的轉(zhuǎn)移時(shí)間根據(jù)計(jì)算結(jié)果生成一個(gè)更接近最優(yōu)解的新的轉(zhuǎn)移時(shí)間，再次利用最優(yōu)性判定方法進(jìn)行判定，在不斷更新可行解的過(guò)程中，一步步接近符合條件的轉(zhuǎn)移時(shí)間值。利用該算法計(jì)算實(shí)際轉(zhuǎn)移時(shí)間的流程如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)移時(shí)間優(yōu)化算法流程圖

首先利用初始轉(zhuǎn)移時(shí)間tf0給定一個(gè)基可行解：

x1=tf0+α*E

(11)

x2=tf0

(12)

其中：α為初始轉(zhuǎn)移時(shí)間的一半，E為取值系數(shù)，可根據(jù)計(jì)算結(jié)果調(diào)整，初次取值時(shí)為1。

(13)

得到實(shí)際轉(zhuǎn)移時(shí)間，根據(jù)目標(biāo)初始速度以及位置矢量就可以得到實(shí)際交會(huì)過(guò)程中飛行器與目標(biāo)交會(huì)時(shí)的位置，再結(jié)合飛行器初始位置，利用Lambert變軌算法就可以得到飛行器的實(shí)際發(fā)射速度?？臻g中可將飛行器與地球的相對(duì)運(yùn)動(dòng)看作二體運(yùn)動(dòng)，利用軌道動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行積分運(yùn)算，就可以得到飛行器的轉(zhuǎn)移軌道模型。

2 交會(huì)準(zhǔn)確度計(jì)算模型構(gòu)建

上節(jié)得到的飛行器轉(zhuǎn)移軌道模型是理想條件下的理想模型，在不考慮誤差因素影響的情況下，飛行器嚴(yán)格按照預(yù)定的軌道與目標(biāo)實(shí)現(xiàn)交會(huì)。在實(shí)際的發(fā)射過(guò)程中，由于各種誤差因素的影響，飛行器會(huì)偏離理論的飛行軌道，當(dāng)偏差過(guò)大時(shí)，飛行器可能與目標(biāo)實(shí)現(xiàn)交會(huì)，也可能不會(huì)與目標(biāo)交會(huì)。在理想軌道模型中引入誤差因素，并對(duì)飛行器偏離目標(biāo)點(diǎn)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，就可得到交會(huì)準(zhǔn)確度計(jì)算模型。

2.1 誤差分析

考慮空間飛行器交會(huì)策略的普遍適用性，這里主要對(duì)以下普遍存在的誤差進(jìn)行分析，主要包括：系統(tǒng)存在的時(shí)間誤差、計(jì)算過(guò)程中由精度引起的速度精度誤差、飛行器理論發(fā)射角度與實(shí)際發(fā)射角度不一致導(dǎo)致的指向誤差、角度測(cè)量過(guò)程中存在的角度測(cè)量誤差、目標(biāo)理論位置和實(shí)際位置不一致導(dǎo)致的目標(biāo)位置誤差以及各被測(cè)量隨時(shí)間變化所產(chǎn)生的附加值即模型動(dòng)態(tài)誤差等。這些誤差在各飛行器交會(huì)過(guò)程中普遍存在，考慮這些誤差的影響可以建立更加準(zhǔn)確的空間飛行器交會(huì)策略。

確定了引入模型的誤差，每次仿真過(guò)程中需要給定誤差值。根據(jù)誤差類型的不同，誤差可按照系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩種方式取值。系統(tǒng)誤差每次仿真過(guò)程為固定值，可根據(jù)實(shí)際情況取值。隨機(jī)誤差在仿真過(guò)程為隨機(jī)值，可給定誤差范圍，每次仿真過(guò)程以符合該類型誤差分布方式的形式取值。一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)誤差的分布方式分為正態(tài)分布和均勻分布兩種。

得到誤差值后，就可以利用誤差轉(zhuǎn)換將誤差引入飛行器轉(zhuǎn)移軌道的具體計(jì)算過(guò)程中。在進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)換時(shí)需要根據(jù)對(duì)飛行器轉(zhuǎn)移軌道模型構(gòu)建影響方式的不同將誤差轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的變化量，所以根據(jù)影響方式的類型可將誤差分為以下幾組：

1)第一組誤差：主要影響飛行器的轉(zhuǎn)移時(shí)間，比如發(fā)射時(shí)間誤差Et；

2)第二組誤差：主要影響飛行器的發(fā)射速度，比如初速精度誤差Ev、指向誤差Ealt、角度測(cè)量誤差Eagl。

3)第三組誤差：主要影響目標(biāo)位置坐標(biāo)的獲取，比如目標(biāo)位置誤差Etar、模型動(dòng)態(tài)誤差Eyhc等。

2.2 誤差轉(zhuǎn)換

為將誤差因素引入轉(zhuǎn)移軌道模型需要進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)換。其中第一組和第三組誤差直接影響模型中的時(shí)間和目標(biāo)位置，可將誤差值直接引入模型中。以目標(biāo)位置誤差為例：

(14)

第二組誤差直接或間接影響飛行器的發(fā)射速度。其中初速精度誤差直接影響飛行器的發(fā)射速度，對(duì)發(fā)射速度的影響如下：

(15)

指向誤差和角度測(cè)量誤差以角度為量綱，間接影響飛行器的發(fā)射速度，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)換，以指向誤差為例，該誤差向飛行器發(fā)射速度的轉(zhuǎn)換公式如下：

(16)

(17)

得到誤差轉(zhuǎn)換后的時(shí)間、發(fā)射速度、目標(biāo)位置等變量后，引入第1節(jié)介紹的理想軌道模型就可以得到飛行器與目標(biāo)交會(huì)的實(shí)際軌道模型。

2.3 交會(huì)準(zhǔn)確度計(jì)算

建立起飛行器的理論轉(zhuǎn)移軌道模型并在模型中引入誤差因素后，飛行器的實(shí)際轉(zhuǎn)移軌道模型就會(huì)因每次仿真誤差取值的變化而變化。

假設(shè)每次交會(huì)仿真考慮誤差因素的情況下，依據(jù)飛行器實(shí)際軌道模型計(jì)算出飛行器經(jīng)過(guò)交會(huì)時(shí)間到達(dá)的位置坐標(biāo)為(rsx,rsy,rsz)，目標(biāo)的實(shí)際位置坐標(biāo)為(rx,ry,rz)，二者之間的差向量為(drx,dry,drz)，則可以得到：

drx=rsx-rx

(18)

dry=rsy-ry

(19)

drz=rsz-rz

(20)

假設(shè)目標(biāo)為球體，半徑為R，飛行器與目標(biāo)具有相同半徑，通過(guò)計(jì)算差向量的長(zhǎng)度l并與目標(biāo)半徑R和飛行器半徑之和進(jìn)行比較：當(dāng)l>2R時(shí)，飛行器未與目標(biāo)交會(huì)；反之，則可認(rèn)為目標(biāo)與飛行器實(shí)現(xiàn)了交會(huì)。

假設(shè)經(jīng)過(guò)M次交會(huì)仿真，N次與目標(biāo)交會(huì)，則可以得到交會(huì)準(zhǔn)確度：

(21)

3 模型仿真

假定目標(biāo)是半徑為0.25 m的球體，飛行器初速為1 200 m/s，進(jìn)行1 000次仿真。誤差參數(shù)如表1所示。

表1 仿真誤差參數(shù)

表1中系統(tǒng)誤差為固定值，每次仿真都按誤差取值項(xiàng)給定誤差值，隨機(jī)誤差為隨機(jī)值，每次仿真按誤差分布方式在0到誤差范圍項(xiàng)之間的范圍內(nèi)取值，因此每次仿真誤差值都不相同。

前面兩節(jié)設(shè)計(jì)得到了空間飛行器的交會(huì)策略，為了驗(yàn)證交會(huì)策略的正確性，需要進(jìn)行仿真計(jì)算交會(huì)的準(zhǔn)確度。假定飛行器和目標(biāo)具有相同的半徑，可通過(guò)式(18)～(21)計(jì)算假定條件下的交會(huì)準(zhǔn)確度。飛行器在空間中的軌道可以由軌道六根數(shù)(半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角、近地點(diǎn)幅角、升交點(diǎn)赤經(jīng)以及平近點(diǎn)角)確定，也可指定軌道上某一點(diǎn)的位置速度矢量，二者可以互相轉(zhuǎn)化。這里以地心慣性坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，首先給定了飛行器及目標(biāo)初始位置及速度矢量，參數(shù)如表2所示，此時(shí)飛行器與目標(biāo)之間的相對(duì)距離為20 km，相對(duì)速度為300 m/s。

表2 給定飛行器及目標(biāo)參數(shù)

利用以上設(shè)定參數(shù)進(jìn)行1 000交會(huì)仿真，得到飛行器與目標(biāo)的交會(huì)準(zhǔn)確度為32.5%，選取某些仿真結(jié)果列于表3。

表3 仿真結(jié)果

將表2給定的參數(shù)轉(zhuǎn)換為軌道六根數(shù)，確定飛行器和目標(biāo)軌道，讓飛行器和目標(biāo)在各自軌道上運(yùn)行，運(yùn)行到指定距離后進(jìn)行1 000次仿真，得到在此距離下飛行器與目標(biāo)的交會(huì)準(zhǔn)確度，結(jié)果如表4所示。由表可知，隨著距離增加，交會(huì)準(zhǔn)確度不斷下降。

表4 不同距離下飛行器與目標(biāo)交會(huì)準(zhǔn)確度

4 結(jié)束語(yǔ)

空間飛行器交會(huì)策略的構(gòu)建做到了對(duì)大多數(shù)空間飛行器的適用性，可為多數(shù)空間飛行器的交會(huì)過(guò)程提供參考。利用Lambert變軌算法為飛行器轉(zhuǎn)移軌道模型的構(gòu)建建立了基礎(chǔ)，粒子群優(yōu)化和交會(huì)時(shí)間優(yōu)化算法解決了目標(biāo)位置不斷變化下交會(huì)時(shí)間的求解問(wèn)題，在綜合考慮誤差因素后得到了飛行器與目標(biāo)交會(huì)的準(zhǔn)確度。通過(guò)仿真，該模型能夠快速、高效、準(zhǔn)確地得到準(zhǔn)確度結(jié)果。