郭文杰，常亮，王立凱，羅利龍，聶小華

(中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安 710065)

0 引言

復(fù)合材料以其高的比強(qiáng)度、比剛度、可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等特點(diǎn)，在現(xiàn)代飛機(jī)設(shè)計(jì)及制造中得到了較為廣泛的應(yīng)用。復(fù)合材料在飛機(jī)中的用量占比及應(yīng)用部位等已成為衡量飛機(jī)先進(jìn)性的重要標(biāo)志之一[1-2]。為提升結(jié)構(gòu)性能、減輕結(jié)構(gòu)重量，對復(fù)合材料開展鋪層優(yōu)化是工程中常用的技術(shù)手段。然而復(fù)合材料優(yōu)化設(shè)計(jì)中，鋪層厚度、鋪層角度、鋪層比例等因素都對其性能產(chǎn)生一定的影響[3]。復(fù)合材料鋪層設(shè)計(jì)通常單層厚度為設(shè)計(jì)變量，以梯度優(yōu)化算法或啟發(fā)式算法對一定約束條件下的復(fù)合材料進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)通常需要多次迭代，并且敏度計(jì)算或樣本空間構(gòu)造繁瑣[4-5]。然而在結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)時，往往不需要考慮過多的設(shè)計(jì)約束，通常只關(guān)心結(jié)構(gòu)總體的應(yīng)變水平或承載能力，以一定的手段對結(jié)構(gòu)進(jìn)行快速優(yōu)化，進(jìn)而得到較為合理的初始設(shè)計(jì)是大多數(shù)工程師追求的目標(biāo)。

本文針對考慮強(qiáng)度約束的復(fù)合材料機(jī)翼就結(jié)構(gòu)鋪層厚度、鋪層比例快速設(shè)計(jì)，提出工程準(zhǔn)則優(yōu)化方法，該方法采用“設(shè)計(jì)區(qū)-關(guān)鍵元”思想，以鋪層總厚度為設(shè)計(jì)變量，采用考慮拉彎耦合的鋪層比例控制方法，實(shí)現(xiàn)對鋪層厚度、比例的優(yōu)化設(shè)計(jì)，該方法的求解效率不受變量規(guī)模限制，其以準(zhǔn)則的滿足代替復(fù)雜的變量敏度求解或繁瑣的樣本空間構(gòu)造，該方法對于初步設(shè)計(jì)階段快速獲得初始結(jié)構(gòu)參數(shù)具有一定的參考價值。

1 基礎(chǔ)理論

本文介紹基于HAJIF系統(tǒng)開展復(fù)合材料機(jī)翼二級優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論，與各向同性金屬材料不同，各向異性復(fù)合材料優(yōu)化設(shè)計(jì)是在一定假設(shè)基礎(chǔ)上開展的。本工作建立在經(jīng)典層合版假設(shè)、直法線假設(shè)及等法線假設(shè)基礎(chǔ)上，即認(rèn)為層壓板的厚度與其他尺寸相比小得多，認(rèn)為層壓板未受載前垂直于中面的法線，變形后仍垂直于中面并假定層壓板中面的法線變形后長度不變，因而垂直于中面的應(yīng)變及應(yīng)力可以忽略不計(jì)[6]。對于層壓板復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，這里直接給出其應(yīng)變計(jì)算格式：

(1)

由此式，得工作應(yīng)變ε工作、γ工作分別為：

(2)

(3)

式中：T——層壓板厚度；

εax，εay，γaxy——層壓板中面的應(yīng)變分量；

φx，φy，φxy——層壓板中面的曲率分量。

對于復(fù)合材料而言，許用應(yīng)變按是否考慮穩(wěn)定性分開計(jì)：如果不考慮穩(wěn)定性，需要由用戶指定材料的拉、壓、剪切許用應(yīng)變；如果考慮復(fù)合材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，則采用工程準(zhǔn)則法計(jì)算不同結(jié)構(gòu)部位的臨界失穩(wěn)載荷，而不使用應(yīng)變的概念。

滿應(yīng)力/滿應(yīng)變準(zhǔn)則法的基本表達(dá)式為：

(4)

式中：t——設(shè)計(jì)變量，可以是板殼厚度、桿件截面積等；

i——下標(biāo)，表示變量標(biāo)識，即變量相關(guān)的屬性或響應(yīng)；

σi，[σi]——板殼或桿件等的工作及許用應(yīng)力(或應(yīng)變)，兩者的正負(fù)號應(yīng)對應(yīng)一致；

β——松弛因子，為實(shí)數(shù)，取值為(0<β≤1)；

old和new——變量更新前后的標(biāo)識。

需要指出，若涉及多種載荷工況，則應(yīng)力(應(yīng)變)比σi/[σi]應(yīng)取所有工況中的最大者。一般情況下取β=1，如果設(shè)計(jì)變來那個為板殼厚度，而且計(jì)及穩(wěn)定性時，則取經(jīng)驗(yàn)值β=0.33。

上述迭代計(jì)算式的收斂準(zhǔn)則按假設(shè)準(zhǔn)則，理論上各個元件應(yīng)該做到等強(qiáng)度設(shè)計(jì)，即各元件應(yīng)力比達(dá)到1，即工作應(yīng)力等于許用應(yīng)力。實(shí)際上，由于工程實(shí)際中大多包含最小尺寸限制等一些額外約束，元件的應(yīng)力比并不能達(dá)到理論收斂準(zhǔn)則，有時即便達(dá)到理論值，需要花費(fèi)的時間也是很長的。因此，采用重量的相對變化作為收斂判據(jù)，即：

(5)

式中：W——目標(biāo)重量；

ΔW——兩次相鄰迭代中重量的變化；

ε——一個非負(fù)較小值。

當(dāng)準(zhǔn)則法優(yōu)化達(dá)到最大迭代次數(shù)或滿足上述收斂判斷準(zhǔn)則時，結(jié)束迭代。對于金屬結(jié)構(gòu)而言，采用滿應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則時，需同時考慮結(jié)構(gòu)材料許用值及因考慮穩(wěn)定性而采用工程方法計(jì)算的結(jié)構(gòu)許用值，取其中的較小者作為應(yīng)力比計(jì)算的許用值。HAJIF系統(tǒng)中集成了金屬機(jī)翼、機(jī)身、腹板等考慮穩(wěn)定性的許用值計(jì)算方法，其來源于文獻(xiàn)[7]及工程經(jīng)驗(yàn)，具體不再贅述。

2 優(yōu)化模型定義

基于上述工程準(zhǔn)則優(yōu)化算法，采用“按元設(shè)計(jì)”基本思路，即：“設(shè)計(jì)區(qū)→關(guān)鍵元→設(shè)計(jì)變量→有限元素”的設(shè)計(jì)思路。具體可以描述為：將結(jié)構(gòu)劃分為若干個設(shè)計(jì)區(qū)域，允許結(jié)構(gòu)包含非設(shè)計(jì)區(qū)域，同一個設(shè)計(jì)區(qū)域包含的各個元件具有相同的材料、尺寸、鋪層等屬性，可以受一個或幾個變量控制。

圖1 設(shè)計(jì)區(qū)及關(guān)鍵元示意圖

進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時，考慮到工藝、制造等需求，結(jié)構(gòu)通常被劃分成若干個設(shè)計(jì)區(qū)。每個設(shè)計(jì)區(qū)由一組材料和尺寸相同的元件構(gòu)成，以飛機(jī)結(jié)構(gòu)為例，通常將具有相同材料及厚度的蒙皮、腹板等劃分為相同的設(shè)計(jì)區(qū)。設(shè)計(jì)區(qū)劃分應(yīng)遵循以下原則：同一設(shè)計(jì)區(qū)的各單元必須同材料、同尺寸，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)需具備相同的鋪層形式，受同一個或幾個變量控制；每個設(shè)計(jì)區(qū)都要確定設(shè)計(jì)變量，對于金屬結(jié)構(gòu)，某一設(shè)計(jì)區(qū)包含的那一類有限單元的板殼厚度或桿件截面積都是一類設(shè)計(jì)變量。復(fù)合材料滿應(yīng)變優(yōu)化設(shè)計(jì)迭代格式中，將復(fù)合材料鋪層總厚度作為設(shè)計(jì)變量，通過下式進(jìn)行迭代

(6)

式中：Ti——設(shè)計(jì)變量(復(fù)合材料板的總厚度)；

ξi——應(yīng)變比，計(jì)算方法前文已經(jīng)給出；

β——松弛系數(shù)，取值按本章開篇所述。

在完成復(fù)合材料鋪層總后度優(yōu)化設(shè)計(jì)后，為了考慮不同角度鋪層比例約束的限制，本工作采用考慮拉彎耦合的復(fù)合材料板殼二級優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法的原理是：考慮不同角度鋪層比例的限制，按應(yīng)變能原理調(diào)整各分層的厚度比例。即儲藏應(yīng)變能越大的分層，參加承載的作用越強(qiáng)，設(shè)計(jì)時就應(yīng)使該分層尺寸增大，反之亦然。迭代公式為：

(7)

式中：Tij——第i個板元第j個分層厚度；

eij——第i個板元第j個分層的應(yīng)變能；

n——分層數(shù)；

ui——第i個板元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。

(8)

式中：Tijs——第i個板元第j個分層的第s個單層。

其中復(fù)合材料應(yīng)變能可以由其單層應(yīng)變及應(yīng)力積分求得，這里不再贅述。

3 數(shù)值算例

本節(jié)以典型復(fù)合材料翼段為對象，應(yīng)用前文提到的方法，對其復(fù)合材料翼面、金屬翼肋進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，整個翼段展長2 500 mm，翼根弦長1 000 mm，翼尖弦長750 mm。根部施加固定約束，翼面施加氣動載荷，翼尖施加彎矩。結(jié)構(gòu)有限元模型如圖2～圖4所示。其中不同顏色的區(qū)域分別代表一個設(shè)計(jì)區(qū)，每個設(shè)計(jì)區(qū)中的單元被選做關(guān)鍵元。

圖2 上翼面有限元網(wǎng)格

圖3 下翼面有限元網(wǎng)格

圖4 翼肋及下蒙皮有限元網(wǎng)格

初始設(shè)計(jì)中，所有復(fù)合材料翼面結(jié)構(gòu)為全復(fù)合材料，翼肋為金屬材料，翼面均采用相同的鋪層方式，其鋪層材料分別為碳纖維及蜂窩芯材，碳纖維、蜂窩芯材及翼肋金屬材料屬性見表1～表2。

表1 碳纖維材料屬性

表2 蜂窩芯材材料屬性

表3 金屬材料屬性

翼面結(jié)構(gòu)初始采用相同的鋪設(shè)方式[0/45/45/90/45/45/0]s，其中中間層為芯材，其余為碳纖維。碳纖維按材料表1中單層0.25 mm賦予，芯材按0.5 mm賦予初值。翼面復(fù)合材料含芯材共設(shè)置13層，初始厚度均為3.5 mm。金屬翼肋按金屬材料賦予，厚度初值為2.5 mm。初始結(jié)構(gòu)重量為22.98 kg。首先給出初始參數(shù)下結(jié)構(gòu)性能分析情況。圖5給出了初始參數(shù)下結(jié)構(gòu)位移分布。從初始性能分析可見，雖然結(jié)構(gòu)總體最大位移不大，但應(yīng)變較為嚴(yán)重，X向最大應(yīng)變數(shù)值為9 574 με、Y向最大應(yīng)變數(shù)值為8 629 με、最大剪應(yīng)變?yōu)?3 220 με，翼肋最大應(yīng)力為363 MPa。因?yàn)槌跏冀o定全部翼面結(jié)構(gòu)鋪層相同，故應(yīng)變云圖較為光順，但實(shí)際上翼面鋪層不可能完全相同，需要尋求更為合適的初始布局方案。為此，采用前文提到的方法開展優(yōu)化設(shè)計(jì)，以期得到較為合理的初始參數(shù)分布。

圖5 初始參數(shù)下結(jié)構(gòu)總體位移分布情況(單位：mm)

優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中，各個翼段及翼肋設(shè)計(jì)區(qū)內(nèi)選擇受載均衡的數(shù)十個單元為的關(guān)鍵元，其中翼面鋪層總厚度下限、上限分別為初值的0.5及4倍，翼肋設(shè)計(jì)區(qū)板殼厚度下限、上限分別為1 mm、5 mm。以上述結(jié)構(gòu)板殼參數(shù)為初始值，以結(jié)構(gòu)重量最小為目標(biāo)。其中，對于復(fù)合材料翼面結(jié)構(gòu)，分別約束其材料拉伸、壓縮、剪切應(yīng)變上限為為4 500 με、4 000 με、5 000 με；對于機(jī)翼翼肋，給定其材料馮-梅塞斯應(yīng)力許用值上限為235 MPa?？紤]結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)約束，優(yōu)化過程中控制0/45/90鋪層比例按初始設(shè)計(jì)比例不變。優(yōu)化設(shè)計(jì)經(jīng)過13次迭代收斂，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)總重為35 kg。下面直接給出優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)分布情況?？梢姡M管翼面各個設(shè)計(jì)區(qū)初值相同，但是因其承載不同，優(yōu)化后尺寸分布發(fā)生了很大的變化。其中靠近翼根部位明顯出現(xiàn)了加強(qiáng)，而翼尖附近則因其承載較小而發(fā)生了一定程度的減弱。

圖6 上翼面蒙皮厚度優(yōu)化結(jié)果(單位：mm)

圖7 下翼面蒙皮厚度優(yōu)化結(jié)果(單位：mm)

圖8 翼肋厚度優(yōu)化結(jié)果(單位：mm)

優(yōu)化后結(jié)構(gòu)總體位移分布如圖9所示。優(yōu)化后X向最大應(yīng)變數(shù)值為3 978 με、Y向最大應(yīng)變數(shù)值為3 657 με、最大剪應(yīng)變?yōu)? 785 με，翼肋最大應(yīng)力為184 MPa。

圖9 優(yōu)化后總體位移分布(單位：mm)

從上述優(yōu)化結(jié)果分析看，采用本文提出的方法對該翼面結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，雖然結(jié)構(gòu)重量有所增加，但是結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)分布更趨于合理，并且全部設(shè)計(jì)約束得到滿足。這一方法可以以較少的計(jì)算代價快速獲得結(jié)構(gòu)初始參數(shù)的合理分布，為后續(xù)的精細(xì)化設(shè)計(jì)提供較好的初值基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

本文針對考慮強(qiáng)度約束的復(fù)合材料機(jī)翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，提出了基于工程準(zhǔn)則法的鋪層厚度-鋪層比例二級優(yōu)化方法，以典型復(fù)合材料機(jī)翼結(jié)構(gòu)為對象，利用HAJIF系統(tǒng)完成了考慮結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度及穩(wěn)定性約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)分布合理，優(yōu)化設(shè)計(jì)約束滿足，驗(yàn)證了該方法及系統(tǒng)在求解復(fù)合材料機(jī)翼結(jié)構(gòu)初始尺寸參數(shù)優(yōu)化中的適用性。