基于高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧分析

李光星

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

鑒于高中數(shù)學(xué)的實(shí)踐性特征十分強(qiáng)，并且很多數(shù)學(xué)知識均存在著明顯的規(guī)律性特點(diǎn)，邏輯性非常高.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，需不斷改進(jìn)不等式解題教學(xué)方式.具體實(shí)施不等式教學(xué)時，假如學(xué)生們無法深入理解，熟練掌握不等式的解題方法和技巧，必然會影響到解題的速度和準(zhǔn)確性.為了改變此種不良的情況，教師需要加強(qiáng)對學(xué)生傳授不等式的解題技巧，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到更多的知識.鑒于此，系統(tǒng)思考和分析高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧顯得尤為必要.

一、基本不等式概念的闡釋

一般來說，可以應(yīng)用基本不等式求解函數(shù)的最值，亦或者完成證明，并利用具體的文字加以體現(xiàn)，主要針對的是兩個正實(shí)數(shù)的算數(shù)平均數(shù)大于或者等于它們的幾何平均數(shù).顯而易見，不等式知識的學(xué)習(xí)屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中的難點(diǎn)部分，常見于高考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中，所以要求學(xué)生們靈活掌握基本不等式的解題方法和技巧.

二、高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧的說明

1.科學(xué)利用基本不等式相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行習(xí)題的求解

一般來說，高中數(shù)學(xué)教師為學(xué)生們講解與分析基本不等式習(xí)題求解方法的時候，需要科學(xué)利用基本不等式相關(guān)性質(zhì)，完成求解的任務(wù).作為一種常用的基本不等式解題方法，對于很多不同類別的不等式習(xí)題而言，均可以采用此種解題方式.比如，可以利用不等式的傳遞性質(zhì)，假如a>b,b>c，說明a>c.與此同時，由不等式的可加性得出a+c>b+c.例如：教師講解新教材人教A版高中數(shù)學(xué)《基本不等式》為學(xué)生們設(shè)計(jì)了如下問題：

例1已知平面上有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點(diǎn)，每三個圓不相交于同一個點(diǎn).證明：n個圓把平面分成f(n)=n2-n+2個部分.

分析證明f(n)=n2-n+2公式成立時，主要運(yùn)用了歸納方法.在n=1的情況下，f(1)=2，即n2-n+2=2成立，所以，該命題成立.與此同時，假設(shè)n=k，并且第k+1個圓的圓心用O代表，聯(lián)系題目相關(guān)條件，以便完成證明的任務(wù).借助上述各種方法，都能夠證明f(n)=n2-n+2是成立的.在此過程當(dāng)中，通過利用基本不等式的相關(guān)性質(zhì)，能夠減小基本不等式習(xí)題的求解難度.所以說，得出最終的準(zhǔn)確證明結(jié)果是非常關(guān)鍵的，擁有一定的實(shí)踐意義和價值.

2.指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握不等式的相關(guān)基礎(chǔ)知識，提升不等式解題的準(zhǔn)確率

一直以來，基本不等式對于高中學(xué)生而言，屬于難點(diǎn)內(nèi)容之一，很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)弱的學(xué)生，在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中覺得十分吃力，非常容易產(chǎn)生不同方面的問題和缺陷.為了改變此種不良的情況，要求高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視夯實(shí)學(xué)生的不等式基礎(chǔ)知識，有助于學(xué)生們做到溫故知新，提高學(xué)生基本不等式習(xí)題的解題準(zhǔn)確率.教師進(jìn)行高中數(shù)學(xué)基本不等式的教學(xué)時，需要為學(xué)生們講授基本不等式和幾何性質(zhì)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生們深入掌握基本不等式成立需要的相關(guān)條件，達(dá)到拓展知識的效果.當(dāng)學(xué)生進(jìn)行基本不等式解題時，可以使用湊項(xiàng)、消元等方式，這也是學(xué)生必需掌握的解題方法，要求學(xué)生靈活使用，以便完成求解不等式的學(xué)習(xí)任務(wù).例如：教師講解新教材人教A版高中數(shù)學(xué)《基本不等式》，為學(xué)生們設(shè)計(jì)了如下問題：

例2(1)如果正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是____；

(2)如果x>0，y>0，x+3y+xy=9，則x+3y的最小值是____.

分析求解問題(1)的時候，學(xué)生們可以合理運(yùn)用基本不等式相關(guān)知識，便能夠?qū)崿F(xiàn).針對問題(2)的求解來說，存在著一定的難度.在此過程當(dāng)中，數(shù)學(xué)教師可以指導(dǎo)學(xué)生們使用消元的方式加以求解.

3.加大基本不等式換元解題技巧的應(yīng)用力度

教師指導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行不等式習(xí)題分析和探究時，能夠把式子視為一個整體，并運(yùn)用變量予以替換，以便使不等式解題十分便捷,這種解不等式的方法也叫做換元法，達(dá)到了有效轉(zhuǎn)化不等式的目的.在此環(huán)節(jié)當(dāng)中，應(yīng)該加大對置換元、構(gòu)建元等相關(guān)要素的關(guān)注力度.實(shí)際上，對于換元法而言，可以采用等量代換的方式，實(shí)現(xiàn)不斷地延伸，并且在此過程當(dāng)中，能夠不斷變換具體的研究目標(biāo)，進(jìn)而完成轉(zhuǎn)移問題的任務(wù).與此同時，還能夠運(yùn)用換元法，將新的變量融入到不等式中，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)科學(xué)處理相關(guān)分散條件的目的，把那些隱藏的相應(yīng)條件有效體現(xiàn)出來.亦或在進(jìn)行不等式解題分析的過程中，可以把結(jié)論和相關(guān)條件有效融合到一起，以便形成學(xué)生們更加熟悉的結(jié)構(gòu)，讓后續(xù)的不等式解題變得更加簡便、高效.例如：教師講解新教材人教A版高中數(shù)學(xué)《基本不等式》時，為學(xué)生們設(shè)計(jì)了如下問題：

4.確保不等式反證解題技巧運(yùn)用的合理性

學(xué)生求解不等式習(xí)題時，教師可以教會學(xué)生運(yùn)用反證解題技巧完成求解的任務(wù).一般地，這種解題技巧的利用以正難則反作為重要的前提條件，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)不等式的求解與證明當(dāng)中，能夠得到一定的成效.通過運(yùn)用這種不等式解題技巧，可以完成解決有關(guān)不等式方面的問題，并且，能夠提升不等式解題的準(zhǔn)確率.例如：教師講解新教材人教A版高中數(shù)學(xué)《基本不等式》相關(guān)課程內(nèi)容的過程當(dāng)中，為學(xué)生們設(shè)計(jì)了如下問題：

例4已知a+b+c>0，abc>0,ad+bc+ac>0，求證：a>0，b>0，c>0.

分析進(jìn)行求解以前，應(yīng)該細(xì)致分析題目中的已知條件.因?yàn)閍bc>0，所以a，b，c都不等于0.假如a<0，bc<0，符合相關(guān)條件的a+b+c>0，并且b+c>-a，得到a(b+c)<0.因?yàn)閍b+bc+ac=a(b+c)+bc<0，所以該結(jié)果和題目中的條件形成矛盾，所以以上假設(shè)是不成立的.即a>0，b>0，c>0.由此達(dá)到證明的目的.

從以上分析中不難看出，系統(tǒng)分析與思考高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧顯得尤為必要，具有一定的研究意義和實(shí)施價值.希望此次研究能夠得到有關(guān)高中數(shù)學(xué)教師的關(guān)注與重視，并且從中獲取到相應(yīng)的借鑒和幫助，以便增強(qiáng)高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧應(yīng)用的實(shí)際成效，進(jìn)而促進(jìn)我國高中數(shù)學(xué)教育事業(yè)的可持續(xù)發(fā)展與進(jìn)步.