從“乘1法”到待定系數(shù)法

謝賢祖

(廣東省汕尾市華南師大附中汕尾學(xué)校 516600)

一、問題起源

題4(造1法)已知a,b∈R+,a+3b=5ab，求3a+4b的最小值.

評注這道題考查得更加隱蔽，沒有直接給出條件“1”，所以需要我們主動利用sin2x+cos2x=1來幫忙解題，最終使基本不等式得以使用，值得注意的是要驗(yàn)證取等條件，確保使用兩次基本不等式后等號可以同時(shí)成立.下面再看一個(gè)“加1法”的升級版.

二、擴(kuò)展延伸

由前面的例題展示，可以發(fā)現(xiàn)“用1”法的具體使用方向可以是：加、減、乘、除、代、造，尤其是“加n法”，其實(shí)就是待定系數(shù)版的基本不等式，更是解決競賽不等式的利器.在遇到用基本不等式求最值的陌生題目，條件有出現(xiàn)“1”時(shí)，我們都可以嘗試一下這些解題方向，不應(yīng)該只局限于“乘1法”，遇到困難再切換方法.其實(shí)“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置，只要對我們的解題有簡化作用，都可以嘗試一下，下面繼續(xù)舉例說明.

評注正如前文總結(jié)，“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置，只要對我們的解題有簡化作用，如果一種方法遇到困難，我們需要繼續(xù)調(diào)整策略，直至解題成功.下面再看一個(gè)用“代1法”來分析不等式的例子.

=0.

評注“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置，把“1”代入不等式中的一次項(xiàng)是為了實(shí)現(xiàn)“齊次化”，使得不等式的各項(xiàng)次數(shù)統(tǒng)一，容易化簡.

受到前面題6的啟發(fā)，可以考慮使用“加n法”.

原式

三、方法升級

前面的例題，筆者更多的是展示“加n法”，而且都是往縮小的方向使用平均值不等式，其實(shí)待定系數(shù)法的思想(也叫“平衡系數(shù)法”)在不等式中的應(yīng)用很廣泛，不應(yīng)該只局限于前文所展示的這些方法.下面舉例說明，繼續(xù)發(fā)散思維，希望對讀者有所幫助.

待定系數(shù)法還可以用到柯西不等式中.設(shè)x,y>0且x2+y2=1，

由柯西不等式得

≥a+ax+by=(1+x)a+yb

為了能夠使用條件2a+b=2，使得(1+x)a+yb為定值，令(1+x):y=2:1，結(jié)合x2+y2=1，

四、總結(jié)反思

通過前面這一系列從易到難的例題展示，我們可以總結(jié)“用1法”的具體使用方向是：加、減、乘、除、代、造等等，還有待定系數(shù)法的作用更是強(qiáng)大，可以為我們解決最值問題指明方向，但一定要小心確認(rèn)一下取等條件是否合理，以上的每道例題筆者都親自計(jì)算確認(rèn)無誤，限于篇幅，驗(yàn)證取等條件的過程被筆者舍去，讀者可以自行驗(yàn)證.