圓錐曲線參數(shù)范圍類題型求解策略

韋 能

(廣西欽州市第二中學(xué) 535099)

圍繞圓錐曲線參數(shù)范圍求解目標(biāo)，結(jié)合常見參數(shù)范圍求解題型，本文從不等關(guān)系建立角度出發(fā)，將此類題型細(xì)分為四大類：題設(shè)條件類不等關(guān)系、圓錐曲線位置不等關(guān)系、圓錐曲線范圍類不等關(guān)系、基本判別式類不等關(guān)系.通過對上述四類圓錐曲線參數(shù)類題型求解的典型案例分析，從解題技巧上幫助學(xué)生掌握求解方法，從而實現(xiàn)靈活應(yīng)用.

一、利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系

利用題設(shè)條件求解圓錐曲線參數(shù)范圍類題型屬于較為直接和基礎(chǔ)類的題型，通過對題設(shè)條件中已有的不等關(guān)系進(jìn)行直接應(yīng)用，正向構(gòu)建含參不等關(guān)系.在此類題型的求解過程中，需要緊密關(guān)注對應(yīng)圓錐曲線的類型及取值范圍，并結(jié)合圓錐曲線的定義判定范圍.

點評利用題設(shè)條件建立不等式，求解圓錐曲線不等關(guān)系類題型屬于直接正向求解思維的應(yīng)用.在實際求解過程中，切忌疏忽大意，必須緊密留意圓錐曲線自身的范圍，避免多解問題的出現(xiàn).

二、利用位置關(guān)系建立不等關(guān)系

在圓錐曲線中利用位置關(guān)系建立不等式，需要深入挖掘潛在信息，建立圓錐曲線相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)與參數(shù)之間的不等關(guān)系，才能實現(xiàn)此類題型的求解.

解析設(shè)兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)為橢圓C上關(guān)于直線l對稱的兩點，點M(x,y)為弦AB的中點.由于點A、B均在橢圓C上，故可知3x1+4y1=12、3x2+4y2=12，

聯(lián)立兩式得到關(guān)系式

3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

簡化后得到

結(jié)合點M與點A、B之間的位置關(guān)系可知，

x1+x2=2x、y1+y2=2y，

即是3x-y=0,再與y=4x+m

聯(lián)立方程組得到交點M(-m,-3m).由于點M在橢圓內(nèi)，得到

點評圓錐曲線位置關(guān)系類不等關(guān)系題型的求解，可以概括為先將已知條件中涉及的基本量轉(zhuǎn)化為圓錐曲線位置關(guān)系，本題再利用點與圓錐曲線的位置關(guān)系：點在圓錐曲線內(nèi)、圓錐曲線上及圓錐曲線外，得到不等關(guān)系，進(jìn)而判定參數(shù)范圍，順利實現(xiàn)求解.

三、利用曲線范圍建立不等關(guān)系

圓錐曲線自身范圍具備多種特征，針對橢圓、雙曲線等圓錐曲線，其定義域、值域、焦點、準(zhǔn)線等等，都是此類題型常用的位置關(guān)系，求解此類題型的關(guān)鍵在于建立參數(shù)與曲線位置之間的不等關(guān)系.

解析設(shè)點P(x,y)，由于點P位橢圓上的動點，故有-4≤x≤4.

化簡后得到

結(jié)合-4≤x≤4,最終可知m≥1.

點評利用圓錐曲線范圍建立不等關(guān)系求解參數(shù)范圍時，關(guān)鍵在于對圓錐曲線幾何特征的應(yīng)用，這就要求學(xué)生必須熟練掌握圓錐曲線的基本特性，尤其是位置關(guān)系與函數(shù)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)化，只有建立相關(guān)聯(lián)系后才能準(zhǔn)確判定參數(shù)范圍.

四、利用判別式建立不等關(guān)系

利用判別式確定不等關(guān)系類題型常出現(xiàn)于直線與圓錐曲線相交的題型中，通過直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而得到一元二次方程，最后結(jié)合判別式中所含有的參數(shù)不等式進(jìn)行求解.

再將直線l的表達(dá)式帶入橢圓C的表達(dá)式，得到

此時利用判別式定理得到

點評當(dāng)題中已知條件為直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系時，此時容易聯(lián)想到聯(lián)立直線與圓錐曲線之間的方程組，最終得到一個一元二次方程形式的含參表達(dá)式，結(jié)合判別式或基本不等式即可實現(xiàn)求解.

總之，求解圓錐曲線參數(shù)范圍類題型，最關(guān)鍵之處在于不等式關(guān)系的建立，再結(jié)合已知條件，利用圓錐曲線性質(zhì)、幾何特征、判別式或基本不等式等方式，從而構(gòu)建含參不等關(guān)系，最終實現(xiàn)參數(shù)范圍的判定.