縮小參數(shù)范圍 優(yōu)化解題過程

黃治元

(浙江省寧波市鄞州中學(xué) 315104)

含參數(shù)的最值問題、恒成立問題是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問題，解題方法一般是通過對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，但分類情況比較多時(shí)就會(huì)顯得繁瑣復(fù)雜.若先縮小參數(shù)范圍再加以討論，則往往會(huì)優(yōu)化解題過程.

一、利用特值檢驗(yàn)，縮小參數(shù)范圍

對(duì)于某個(gè)一般性的數(shù)學(xué)問題，如果一時(shí)難以解決，那么可以先解決它的特殊情況，即從研究對(duì)象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繉儆谶@個(gè)全體中的一個(gè)對(duì)象或部分對(duì)象.

解析這是2017年天津市高考理科試題選擇題第8題，標(biāo)準(zhǔn)解答如下：

當(dāng)x>1時(shí)，(*)式為

故選A.

評(píng)注此法思路過程雖嚴(yán)謹(jǐn)清晰，但有點(diǎn)“小題大做”，不符合選擇題的解題特點(diǎn).快速找出正確答案才是上策，解法如下：

例2 已知a>0，函數(shù)f(x)=|x2+|x-a|-3|在區(qū)間[-1,1]上的最大值是2，則a=____.

解析函數(shù)f(x)帶有雙重絕對(duì)值，絕對(duì)值函數(shù)問題一般是先去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，但本題去掉內(nèi)層絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)后不易確定相應(yīng)的自變量x的范圍，這給后續(xù)分類討論帶來不便.若先縮小參數(shù)a的范圍，問題得到解決.

解法如下：f(0)=||a|-3|=|a-3|≤2(a>0)?1≤a≤5，

∴當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=|x2-x+a-3|.

∴f(-1)=|a-1|≤2?-1≤a≤3，從而1≤a≤3.

∴f(x)=|x2-x+a-3|，x∈[-1,1],1≤a≤3

評(píng)注在得知1≤a≤3的情況下，求解①，②也更快捷.

例3設(shè)函數(shù)f(x)=3|ax|-(x+a)2，其中a∈R.若對(duì)任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析先縮小參數(shù)a的取值范圍找其使命題成立的必要條件，有時(shí)該必要條件也恰好是使命題成立的充分條件，接下來證明其充分性即可.

下面證明，當(dāng)a∈[-1,0]時(shí)，對(duì)任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1.

(1)當(dāng)a≤x≤0時(shí)，f(x)=-x2+ax-a2，f(a)=f(0)=-a2≥-1，故f(x)≥min{f(a),f(0)}≥-1成立；

(2)當(dāng)0≤x≤a+1時(shí)，f(x)=-x2-5ax-a2，f(a+1)≥-1，f(0)≥-1，

故f(x)≥min{f(a+1),f(0)}≥-1成立；

由此，對(duì)任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,0].

例4已知函數(shù)f(x)=x2-ax，|f(f(x))|≤2在[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為____.

解析利用從一般到特殊的解題思想，特值檢驗(yàn)縮小參數(shù)a的范圍，猜測(cè)實(shí)數(shù)a的最大值，先猜后證.

由f(f(x))=f(x2-ax)=(x2-ax)(x2-ax-a)知|f(f(x))|≤2,即|(x2-ax)(x2-ax-a)|≤2對(duì)x∈[1,2]上恒成立，特別地，當(dāng)x=1,2時(shí)，有

∴當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(1)≤f(x)≤f(2)，

所以f(x)=x2-ax在[f(1),f(2)]上遞減，

由f(1)≤f(x)≤f(2)

得f(f(2))≤f(f(x))≤f(f(1))

所以-2≤f(f(x))≤2，

即|f(f(x))|≤2.

二、利用極限思想，縮小參數(shù)范圍

極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思想解題，往往可以避免復(fù)雜的討論，優(yōu)化解題過程.

例5設(shè)a∈R，若x>0時(shí)，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=____.

解析此題是2012年浙江理科卷最后一個(gè)填空題.經(jīng)初步分析知，需要對(duì)不等式中的兩個(gè)因式的正負(fù)進(jìn)行討論，也需對(duì)因式(a-1)x-1中一次項(xiàng)系數(shù)a-1的正負(fù)進(jìn)行討論.討論情況有些復(fù)雜，先考慮縮小參數(shù)a的取值范圍.

注意到，當(dāng)x→+∞時(shí)，x2-ax-1→+∞，

∴a-1>0?a>1

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0對(duì)x>0恒成立，

例6若不等式(ax+3)(x2-b)≤0對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立，則( ).

A.ab2=9 B.a2b=9，a<0

C.b=9a2，a<0 D.b2=9a

解析含有兩個(gè)參數(shù)的不等式恒成立問題，分類討論情形復(fù)雜，優(yōu)先考慮縮小參數(shù)范圍.

注意到，當(dāng)x→0+時(shí)，ax+3>0，從而x2-b≤0?b>0.

當(dāng)x→+∞時(shí)，x2-b>0，從而ax+3≤0，?a<0.

∴(ax+3)(x2-b)≤0對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立，

含參數(shù)的最值問題、恒成立問題，優(yōu)先考慮縮小參數(shù)的范圍以達(dá)到簡(jiǎn)化分類討論或是避免分類討論的目的.至于選擇怎樣的特殊值來檢驗(yàn)縮小參數(shù)范圍，這需要一個(gè)嘗試的過程，一般會(huì)選擇區(qū)間的端點(diǎn)值(或取其極限)，或是選擇給定區(qū)間內(nèi)的某個(gè)便于計(jì)算的值，這因題而異.