馬正芳 何章鳴

◆摘? 要：相似三角形是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，而這些問(wèn)題的解決總是以一些基本模型為基礎(chǔ)的.如果能掌握這些基本模型，并把它們從復(fù)雜的圖形中挖掘出來(lái)，往往可將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，問(wèn)題的解決也就水到渠成.本文主要介紹相似三角形的四種基本模型。

◆關(guān)鍵詞：相似三角形;數(shù)學(xué)模型;模型應(yīng)用

相似三角形是數(shù)學(xué)的重要組成部分，是幾何知識(shí)中的核心，容易出現(xiàn)在壓軸題，并且經(jīng)常與函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，圖形相對(duì)復(fù)雜.但不管多么復(fù)雜的幾何圖形，都是由基本模型組成的.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確要求，學(xué)生能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，利用直觀圖形來(lái)進(jìn)行思考.因此掌握相似三角形的基本模型，并能把它們從復(fù)雜的圖形中挖掘出來(lái)，問(wèn)題的解決也就水到渠成.本文由2020年長(zhǎng)沙市中考第23題引出，主要介紹4種常見(jiàn)的基本模型，供同學(xué)們參考.

一、問(wèn)題引入

（2020 長(zhǎng)沙）如圖，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F.（1）求證：△ABF[?]△FCE;（2）若AB=2[3]，AD=4，求EC的長(zhǎng);（3）若AE-DE=2EC，記∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值.

此題是對(duì)相似三角形中的三垂直模型的證明及應(yīng)用，尤其是第（3）問(wèn)，模型提供了解題的思路，有利于問(wèn)題的解決.下面我們就相似三角形中的基本模型做一個(gè)歸納和總結(jié).

二、模型歸納

模型一：“A”字型在圖2-1-1中，已知DE∥BC，則△ADE∽△ABC，這就是最常見(jiàn)的“A”字型.變形1：如圖2-1-2，已知∠1=∠B，則△AED∽△ABC，稱為反A共角型.變形2：如圖2-1-3，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，則△ACD∽△ABC，稱為反A共角共邊型，也稱為子母型.變形3：如圖2-1-4，當(dāng)AC⊥BC，CD⊥AB時(shí)，則△ACD∽△CBD∽△ABC，稱為雙垂直模型.

模型二：“X”字型在圖2-2-1中，已知DE∥BC，則△ADE∽△ABC，這就是最常見(jiàn)的“X”字型.變形1：如圖2-2-2，已知∠E=∠B，則△AED∽△ABC，稱為反X型或斜X型.變形2：如圖2-2-3，當(dāng)ED和BC相交時(shí)，若∠E=∠B，則△AEC∽△ABC，△DOE∽△COB，有時(shí)也被稱為燕尾型.

模型三：旋轉(zhuǎn)型當(dāng)“A”字型（圖2-1-1）和“X”字型（圖2-2-1）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，就得到了下面的圖2-3-1、圖2-3-2和圖2-3-3，稱為旋轉(zhuǎn)型.以圖2-3-1為例，已知∠D=∠B，∠E=∠C，連接BD和CE（圖2-3-4），則△ABD∽△ACE.圖2-3-2和2-3-3中也有同樣的結(jié)論.

模型四：一線三等角常見(jiàn)的模型還有一線三等角模型，經(jīng)常與等腰三角形、函數(shù)圖象等內(nèi)容相結(jié)合，綜合性較強(qiáng).如圖2-4-1所示，若∠B=∠C=∠EDF，則△BDE∽△CFD.特別地，當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，△BDE∽△DFE∽△CFD，并且ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.有時(shí)也稱為“K”字型.在特殊情形下，即相等的這三個(gè)角都是直角時(shí)，如圖2-4-2所示，上述結(jié)論也成立，常常被稱為三垂直模型或者“M”字型.

三、結(jié)論

在題目中快速找到模型，有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的突破口，從而提高解題效率.這對(duì)絕大多數(shù)的幾何問(wèn)題也是適用的，基本模型是分析幾何問(wèn)題時(shí)觀察的起點(diǎn)和目的，只有從復(fù)雜的圖形中數(shù)量識(shí)別基本模型，才能正確得出與之對(duì)應(yīng)的結(jié)論.值得注意的是當(dāng)所給圖形中不存在基本模型時(shí)，往往還需要添加輔助線進(jìn)行構(gòu)造.類似的基本模型，教材中還有很多，應(yīng)予以重視，以更好地提高學(xué)生的綜合分析和解題能力。

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作者簡(jiǎn)介

馬正芳（1986.02—），女，山東泰安人，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)教育，湖南省長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)南雅湘江中學(xué)。

何章鳴（1985.10—），男，廣東樂(lè)昌人，博士，研究方向：數(shù)學(xué)教育、數(shù)據(jù)處理。

資助基金：湖南省學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革研究課題（JG2017B008）;湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目之“五位一體”本科全程導(dǎo)師制培養(yǎng)模式研究與實(shí)踐（U2019003）;國(guó)防科大教育教學(xué)研究課題（U2017008;yjsy2017019）.