牛煒麗

在初中數(shù)學(xué)的幾何題目里面，經(jīng)常涉及到三點(diǎn)共線的問題。學(xué)生在閱讀題目的過程中總會漏掉或忽視題目中的細(xì)節(jié)，缺乏邏輯的思考，在解題過程中，學(xué)生往往感覺“差不多”就行，常常把一些“想當(dāng)然”的結(jié)論拿來就用，導(dǎo)致解題過程不完善，甚至是錯(cuò)誤的，導(dǎo)致失分率較高。一旦失分，就是整體的分?jǐn)?shù)，而不是細(xì)節(jié)的小分。由于閱讀題目出現(xiàn)偏差，導(dǎo)致失分在初中階段經(jīng)?？梢?。下面就涉及“三點(diǎn)共線”的題目作為引入，研究如何精準(zhǔn)審題，從而引發(fā)更加深入的思考。

案例1.如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：△DEF≌△EDA.

【初讀題意】“將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”只是將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，沒有提及旋轉(zhuǎn)多少度，得到矩形AEFG，再連接線段DF，此時(shí)C、D、F三點(diǎn)的位置關(guān)系是不確定的，雖然圖形中給讀者的印象是這三點(diǎn)看起來是在一條直線上的，但是題目中沒有提及，不能當(dāng)作已知條件。

【錯(cuò)因1】如圖1 ∵∠1=∠2，且∠2=∠3，∴∠1=∠3再利用“等角的補(bǔ)角”相等，得出∠AED=∠EDF;又∵∠AEF=∠ADF=90°，∴∠4=∠5?！唷鱀EF≌△EDA（ASA）得證。

在這個(gè)解題過程中，默用了兩次C、D、F三點(diǎn)共線，第一次是等角的補(bǔ)角相等，就以已經(jīng)暗示了C、D、F三點(diǎn)在同一條直線上;第二次用大角減去兩個(gè)90度的角，再一次利用了C、D、F三點(diǎn)共線。

【錯(cuò)因2】如圖2∵∠1=∠2，且∠2=∠3，∴∠1=∠3再利用“等角的補(bǔ)角”相等，得出∠AED=∠EDF;又∵∠AEF=∠ADF=90°，利用“八字模型”得出∠4=∠5，∴△DEF≌△EDA（AA）得證。同過程1，也是默用了兩次C、D、F三點(diǎn)共線。

【應(yīng)對策略】如圖1，∵∠3和∠4互余，∵∠1和∠5互余，又∵∠1=∠3，∴∠4=∠5，∴△DEF≌△EDA（SAS）.這樣解答就避開了誤區(qū)，∠AEF=∠ADC=90°，這兩個(gè)角分別是兩個(gè)矩形的一個(gè)角，利用它們是90的角是毫無問題的，以及旋轉(zhuǎn)前后矩形對應(yīng)邊相等，借助SAS達(dá)到證明兩個(gè)三角形全等的目的。

【題后反思】雖然C、D、F三點(diǎn)的位置關(guān)系不確定，那么C、D、F三點(diǎn)到底會不會共線呢？可否先直觀驗(yàn)證一下呢？為什么用幾何畫板量角工具進(jìn)行測量時(shí)∠CDF=180度呢？

【再度挖掘題意】將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，當(dāng)“點(diǎn)E在BD上時(shí)”，由于矩形邊長是確定的，那么點(diǎn)E的位置就固定下來，即以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓弧和對角線BD的交點(diǎn)，隨之點(diǎn)F的位置也是確定的，正因此，在幾何畫板作圖下，無論如何拖動(dòng)點(diǎn)E，整個(gè)圖形都是一個(gè)整體。也就意味著，雖然題目中沒有明確旋轉(zhuǎn)角度，但是由于點(diǎn)E落在BD上，所以這個(gè)旋轉(zhuǎn)角是確定的。在E、F兩點(diǎn)位置確定的前提下，C、D、F三點(diǎn)很有可能滿足共線。下面的重點(diǎn)就是考慮利用已知條件，如何證明C、D、F三點(diǎn)共線了。

由前面的分析已經(jīng)證到∠4=∠5，∴OD=OE。又∵AD=EF，∴OA=OF 且∠EOA=∠DOF，∴△DOF≌△EOA（SAS），∴∠ODF=∠OEA=90°，∴C、D、F三點(diǎn)共線。

通過深度閱讀，一方面學(xué)生能夠領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)在的思維邏輯，感受數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生解題過程中的推理能力，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有很大的幫助。另一方面，也說明數(shù)學(xué)教學(xué)中需要老師“娓娓道來說清楚，想明白”。平常的教學(xué)中要加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的指導(dǎo)，對題意咬文嚼字地解讀，對于不同形態(tài)的數(shù)學(xué)語言，包括圖形、符號的深度閱讀，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)在思維邏輯。

責(zé)任編輯 ? ?徐國堅(jiān)