楊良畏 陳曉明

【摘 要】 數(shù)軸表示不等式（組）解集，部分師生對數(shù)軸概念辨識不清.本文通過再現(xiàn)數(shù)軸概念建構教學探究，實現(xiàn)概念深化理解，在學習過程中有效滲透數(shù)形結合思想、幾何直觀、邏輯能力、數(shù)學抽象、應用意識，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng).

【關鍵詞】 數(shù)軸;概念;建構;數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)軸是初中數(shù)學的核心概念，它是數(shù)形結合思想的產物，學習數(shù)軸是把數(shù)和形統(tǒng)一起來的第一次嘗試.數(shù)軸建立了直線上的點與實數(shù)的對應，是一維的坐標系.它是理解數(shù)與數(shù)的大小關系、數(shù)的加法運算的直觀工具，是數(shù)與形的橋梁.數(shù)軸使數(shù)的概念和運算可以與位置、方向、距離等統(tǒng)一起來，使數(shù)的語言得到了幾何解釋，數(shù)有了直觀意義.這不僅有助于對數(shù)的理解，而且還可以從中得到啟發(fā)而提出新的問題或結論.數(shù)軸概念是大家熟知的一個基本概念，部分師生用數(shù)軸表示不等式（組）時，卻對數(shù)軸辨識不清，出現(xiàn)一些爭論.本文從數(shù)軸概念建構去分析“三要素”，加深對數(shù)軸概念的理解.

1 數(shù)軸表示不等式（組）解集的誤解

不等式與不等式組解集的表示方法主要有兩種：一種是用代數(shù)式子即用最簡形式的不等式（x>a或a75，如圖1.

第三節(jié)“一元一次不等式組”，在數(shù)軸上表示40

教學生用數(shù)軸表示不等式（組）解集時，部分學生認為教材數(shù)軸畫錯了，沒有標注數(shù)字“1”，所以不滿足數(shù)軸三要素的“單位長度”.科組工作群里也有教師也提出數(shù)軸概念辨識不清問題.甚至有些教師也有此疑問，教材是不是畫錯了.數(shù)軸是可以表示任意一個實數(shù)，同時任意一個點只能表示一個實數(shù).在這樣的要求下，明確規(guī)定原點、正方向和單位長度“三要素”是必須的.科組里其他老師沒有注意這個問題，也不知道如何解釋，幾個經(jīng)驗豐富的老教師給出了一個理由：用數(shù)軸表示不等式時，可以不嚴格的規(guī)定數(shù)軸“三要素”，借助數(shù)軸的目的主要是為了方便看出解集.有些老師認為這種解釋很合理，而且還展示教材都沒有標示出單位長度“1”.有些教師還打開“數(shù)軸”概念那一節(jié)說明只有強調概念時才嚴格“三要素”，后面凡是應用數(shù)軸時，不需要強調“三要素”，還引例部分輔導書或試卷在數(shù)軸上設計的動點問題，如圖3，這種不僅沒有“單位長度”，而且“原點”都沒有.

筆者對此解釋不是很贊同，僅贊同一點，那就是數(shù)軸是解決代數(shù)的工具，方便解決代數(shù)問題.數(shù)軸本是幾何與代數(shù)的橋梁，是體現(xiàn)數(shù)學數(shù)形結合思想的重要工具.數(shù)軸的核心是“三要素”，即使是借助數(shù)軸來解決代數(shù)問題，也不可忽視“三要素”.筆者特意上網(wǎng)查詢相關資料，發(fā)現(xiàn)很多師生對數(shù)軸概念理解存在一些困擾，尤其是用數(shù)軸工具解決其他代數(shù)問題時，產生對數(shù)軸“三要素”模糊不清情形，其本質是對數(shù)軸概念的理解不深.

2 數(shù)軸“三要素”概念建構分析

為了重新去理解數(shù)軸概念，筆者下面從兩個方面去闡述.一是從數(shù)軸概念教學過程去厘清數(shù)軸概念的本質及產生誤區(qū)的原因;二是數(shù)軸“三要素”疑惑探究.在三要素探究過程中，主要是針對大家關注點高的“單位長度”、“原點”兩個要素進行說明.

2.1 人教版教材過程設計分析

問題：在一條東西向的馬路上，有一個汽車站牌，汽車站牌往東3m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站牌往西3m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境.

設計意圖 可以根據(jù)學生畫圖反饋提問“馬路可以用什么幾何圖形代表？（直線）”、“站牌起什么作用？（基準點）”、“怎么確定問題中各物體位置？（方向，與站牌的距離）”.“三要素”為定向，用直線、點、方向、距離等幾何符號表示實際問題.這是實際問題的第一次抽象.

緊接著，教材拋出思考：如何用數(shù)表示這些樹、電線桿與汽車牌的相對位置呢？

上面的問題中，“東”與“西”、“左”與“右”都具有相反意義.我們知道，正數(shù)和負數(shù)可以表示兩種具有相反意義的量，在一條直線上取一個點O為基準點，用0表示它，再用負數(shù)表示點O左邊的點，用正數(shù)表示點O右邊的點，這樣，用負數(shù)、0、正數(shù)表示出這條直線上的點.如圖4.

教材也刻意給出了“1”的位置，并且在后面歸納“三要素”中“單位長度”表述為“選取適當?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，…;從原點向左，用類似方法依次表示-1，-2，-3，…（如圖5）”[2]這里又出現(xiàn)數(shù)字“1”，并且教師教學配套用書里面也特意強調“單位長度1”.這是很多師生對“單位長度”辨識不清的原因之一.

2.2 數(shù)軸“三要素”疑惑分析

教材通過實際情境，設問方式，引入數(shù)軸概念，體會數(shù)形結合思想.數(shù)軸三要素在教材中闡述非常清晰，為什么學生甚至有教師仍然對數(shù)軸辨識有困難，其原因主要有兩個方面.

（1）對概念的理解不夠深入.大多數(shù)學生只是記住了“三要素”，這種識記只是停留在膚淺的概念上，而未真正從數(shù)軸概念來源去理解“三要素”.教材從生活情境入手引入數(shù)軸概念，并作解析“三要素”缺一不可.另一個是教材誤導性較大，教材畫出了數(shù)軸，刻意強調了單位1，并在數(shù)軸上標注“1”的位置.這在潛意識里讓學生在畫數(shù)軸時，一定要將數(shù)字“1”標注清楚，否則“三要素”中的“單位長度”不存在.所以部分師生認為教材在不等式（組）用數(shù)軸表示解集時存在錯誤.

其實，如果我們回過頭重新去看數(shù)軸概念教學情境建構過程，不難發(fā)現(xiàn)“三要素”中“單位長度”是表示與相應參考物的距離，可以通過兩參考物的等刻度劃分確定其他位置.筆者曾在探究數(shù)軸概念時，學生利用比例長度來刻畫距離，其實數(shù)軸中單位長度就是小學已經(jīng)學過的比例尺[3].在日常教學中，教師總是強調數(shù)軸單位長度選取要根據(jù)實際問題來選取，這與小學數(shù)學中選取恰當?shù)谋壤呤且粋€道理.

“單位長度”與小學學習的“單位1”不是一個概念，“單位1”是人們設定的一個參考標準，單位長度就是可供參考的標準，它沒有固定值，依設定而變動，不是實際的長度計量單位，往往其是根據(jù)實際情況而設定，并未有固定長度.

很多學生把“單位長度”看作“單位1”，從而錯誤的認為數(shù)軸上一定需要標注“1”才算是有“單位長度”.所以數(shù)軸可以是圖2情形，不需要有“1”才規(guī)定它是“單位長度”，只要能找到一個參考的值去表述就可以，這個值當然包括0在內，如圖1（只有0參考）.為了讓大家更明白等刻度劃分，特舉一反例：如圖6這種就不能說它是數(shù)軸，因為它沒有等刻度劃分，不難發(fā)現(xiàn)0到40的距離和40到50的距離差不多，這就明顯不是等刻度劃分，用數(shù)軸概念區(qū)分就是缺少“單位長度”.

（2）對數(shù)軸概念的理解還存在一個誤區(qū)就是在表示解集時候，是否需要標注原點0.有部分教師認為看情形而定：如果是出現(xiàn)一正一負兩個數(shù)，需要標注原點，用來區(qū)分正負;如果只是出現(xiàn)兩個正（負）數(shù)，不需要標注原點.

上面這種說法在日常教學中經(jīng)常見到，主要是為了方便，另外也只是將數(shù)軸作為一種工具，認為能輔助解題即可，不需要嚴格的“三要素”.甚至很多輔導資料也是沒有標注原點，常見這樣的情形，如圖3（數(shù)軸沒有原點，只有-a，a）.

筆者對此觀點表示異議.教師不能為了省事就隨意去掉原點來畫數(shù)軸，數(shù)軸“三要素”是數(shù)軸必須存在的，沒有原點的數(shù)軸肯定是不能稱之為數(shù)軸.“原點”在數(shù)軸是“基準”，表示0，是表示正負數(shù)的分界點.雖然我們可以根據(jù)數(shù)軸上任意兩個數(shù)等刻度劃分確定原點位置，但是“原點”是屬于數(shù)軸內涵性質，是先有了原點才確定了數(shù)軸，不能本末倒置，更不能為了所謂的方便去省略原點.尤其是在初中教學中，教師更是不能為了方便去省略原點.數(shù)軸可以直觀的闡述數(shù)學概念和運算，有機統(tǒng)一了距離、位置和方向等要素，培養(yǎng)學生幾何直觀素養(yǎng)。

3 數(shù)軸概念教學導向分析

數(shù)學概念的學習是數(shù)學學習的基礎.正如李邦河院士說：“數(shù)學根本上就是玩概念，不是玩技巧.數(shù)學概念是人類智慧的產物.”數(shù)學概念范圍廣泛，而且抽象，隨著概念內涵的豐富，其外延就越廣.數(shù)學概念教學的基本目標就是讓學生理解概念，并能運用概念表達思想和解決問題.概念教學在數(shù)學教學中有著關鍵的地位，是數(shù)學的邏輯起點，是學生認知的基礎，是學生進行思維的核心.具體到教學中，我們教師應做到以下三點：

（1）注重引導學生發(fā)現(xiàn)和提出問題.在數(shù)軸“三要素”概念辨識過程中去理解概念的本質.巧設問題梯度，逐步深化理解“單位長度”.教學中，對簡單概念，不能以看代講.很多概念，看似簡單，但內涵較深，部分教師教授數(shù)學概念采用識記方式，一帶而過，學生在學習概念過程中，不清楚數(shù)學概念的內涵和外延.數(shù)軸中“單位長度”就是小學已經(jīng)學過的比例尺另類形式，它們的作用都是選取恰當?shù)拈L度來刻畫物體所在的位置.教學中，應注重引導概念產生的背景，數(shù)學概念很多是從生活實際問題中抽象出來的，在原有的數(shù)學基礎上抽象至一般，與原有數(shù)學知識存在關聯(lián)性和邏輯性.

（2）遵循認知規(guī)律，建構數(shù)學概念.讓學生作為認知主體積極主動建構數(shù)學概念.建構主義認為學習是學習者基于原有的知識經(jīng)驗生成意義、建構理解的過程，而這一過程常常是在社會文化互動中完成的.教科書上的數(shù)學概念往往是直接呈現(xiàn)，缺少一定的認知規(guī)律，這種下定義方式的概念教學，很難讓學生理解數(shù)學概念的系統(tǒng)性和數(shù)學思維的生成.所以數(shù)學概念教學應當遵循認知規(guī)律，引導學生基于原有的知識經(jīng)驗領悟意義、建構概念，暴露思維活動，領悟概念形成過程中的數(shù)學思想.

（3）重視數(shù)學抽象，提升核心素養(yǎng).數(shù)學中很多概念是從生活實際問題中抽象出來，學生初次接觸，會非常困難.數(shù)軸“三要素”是用幾何符號表示實際問題.這是數(shù)學對實際問題的抽象處理.后面還有很多這種抽象概念，例如單項式、函數(shù)等數(shù)學概念.師生在探究這些抽象概念時，教師需要引導學生抓住概念的本質，從形象到抽象，各個擊破，深刻解讀概念.對于數(shù)學教育的最終目標，史寧中教授提出：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.作為數(shù)學核心素養(yǎng)，數(shù)學核心素養(yǎng)中的“抽象”“推理”“建?！本褪菍W生在觀察的基礎上，通過思考數(shù)學內在聯(lián)系與邏輯，建立數(shù)學模型.數(shù)軸概念的生成應從生活情境中表述位置，經(jīng)歷數(shù)形結合思想的探索與學習過程，慢慢抽象出數(shù)學問題，形成數(shù)軸概念.有了數(shù)軸概念的形成，可以用數(shù)軸上的點直觀地表示有理數(shù)，從而為后續(xù)的理解相反數(shù)、絕對值和不等式（組）解集提供幾何直觀工具，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).通過數(shù)軸概念學習，實現(xiàn)數(shù)學抽象，在新概念的學習過程中有效滲透數(shù)形結合思想、幾何直觀素養(yǎng)、邏輯推理能力、應用意識.只要我們重視數(shù)學概念生成，有意識滲透數(shù)學基本思想，那么提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)就會水到渠成[4].

參考文獻

[1]林群.義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學七年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2012：114-128.

[2]林群.義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學七年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2012：7-8.

[3]楊良畏.小組合作探究教學模式對數(shù)學能力培養(yǎng)的研究[J].數(shù)學教學通訊，2018，（05）：55-56.

[4]徐艷.基于核心素養(yǎng)的概念教學——以“一元二次方程”為例[J].中學數(shù)學教學參考，727（29）：14-17.