王一敏，孫興華

(東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長春 130024)

人們認為位值表示法是人類最富創(chuàng)新的發(fā)明之一(1)Ross S H.The Development of Children’s Place-value Numeration Concepts in Grades Two through Five.Concept Formation.1986,p.51.。位值是計數(shù)系統(tǒng)一個非常重要的概念，也是小學(xué)階段數(shù)的認識與運算的基本原理。數(shù)字有兩個值，即數(shù)字值與位置值，數(shù)字值是數(shù)字本身所表示的值，位置值是數(shù)字本身與其位置結(jié)合起來所表示的值，一個數(shù)字表示什么數(shù)值，要看它在什么位置上，這就是位值的含義。研究發(fā)現(xiàn)，理解位值概念對于學(xué)生獲得良好的數(shù)感、估計和使用數(shù)學(xué)技能以及理解多位運算非常重要(2)Ross, S.R.Research, Reflection, Practice: Place Value: Problem Solving and Written Assessment.Teaching Children Mathematics.2002, 8(7),pp.419-423.；早期位值概念理解缺失會對未來更復(fù)雜的運算過程產(chǎn)生不利影響(3)K.Moellera,S.Pixnerc，J.Zuberb,et al.Early Place-value Understanding as A Precursor for Later Arithmetic Performance—A Longitudinal Study on Numerical Development.Research in Developmental Disabilities.2011，pp.1837-1851.；位值概念還是區(qū)分數(shù)學(xué)困難兒童和非數(shù)學(xué)困難兒童的重要因素(4)Becky Mee-yin Chan，Connie Suk-han Hob.The Cognitive Profile of Chinese Children with Mathematics Difficulties.Journal of Experimental Child Psychology.2010,pp.260-279.。因此，探析小學(xué)生對位值概念的理解與影響因素，有助于發(fā)展其四則運算能力，能為教師進行位值相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)提供指引。

一、位值的產(chǎn)生、內(nèi)涵及理解

(一)位值的產(chǎn)生

數(shù)，是對事物存在方式的表達。當要表達的存在方式變得有限時，人們就給它們每個取一個單獨的名稱，例如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。然而，存在方式無窮無盡，不可能用無窮無盡的單獨符號名稱去表達它們，于是產(chǎn)生了位值制記數(shù)法。位值制記數(shù)法能用有限的符號名稱與無限的有序空間位置的組合來表達無窮多的存在方式。用空間位置的無限性，對應(yīng)存在方式的無窮盡，從而避免對無窮多存在方式給出無窮多單獨命名的麻煩。位值制中，使用的有限符號名稱在一個位置上不夠用時，就把沒有命名的部分記錄在更高一級的位置上。相鄰的兩個數(shù)位間，級別較高的數(shù)位上每增加1，就相當于級別較低的數(shù)位上能容納的最大數(shù)(9)加上這個級別較低的數(shù)位上的“1”。例如，十進制記數(shù)法中，由于對超出“9”的部分沒有單獨的符號名稱來表達，所以將“6+7”超出“9”的部分寫在十位上，最終描述為“13”。

現(xiàn)在采用十進制是通用的印度—阿拉伯數(shù)字體系，即“逢十進一”，因為人有十根手指，人們習(xí)慣于十個一組，最終十進制就形成了。隨著十進制的形成，位值逐漸被發(fā)明。一個數(shù)字表示的數(shù)要根據(jù)它的位置而定，即使較高的單位也不需要去創(chuàng)造新的符號，僅通過將符號放在不同的位置上就可以表示不同的含義。完整的位值制要包括0，0不僅是數(shù)字符號，還表示占位符號，0的出現(xiàn)使得自然數(shù)體系完備建立，位值記數(shù)法得到廣泛流傳。十進位制自然數(shù)的關(guān)鍵是十個數(shù)字符號和數(shù)位，其中的度量單位為“1”，因此，自然數(shù)是一個一個累計起來的。其度量單位還可以為“10”，遵循十進制中“滿十進一，退一當十”的性質(zhì)。省略計數(shù)單位是阿拉伯記數(shù)法的本質(zhì)特征，如：365(省略計數(shù)單位)和三百六十五(未省略計數(shù)單位)，365是阿拉伯記數(shù)法，其特點就是省略計數(shù)單位。

(二)位值制的內(nèi)涵

位值制是確定數(shù)字值的一種原則，指計數(shù)系統(tǒng)中出現(xiàn)多位數(shù)時，每個數(shù)字因其所在位置的不同而產(chǎn)生不同的數(shù)值，數(shù)值是由數(shù)字的面值(Face value)和位置所代表的值而定的。位值制即每個數(shù)字所表示的數(shù)值，不僅取決于這個數(shù)字本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。比如在十進位值制中，同樣是一個數(shù)字“5”，放在個位上表示5，放在十位上就表示50(5×10)，放在百位上就表示500(5×102)，放在千位上就表示5000(5×103)。從上面的例子可以看出，記數(shù)極為重要的概念即是位值，位值包含了表記和數(shù)值兩個原則，表記原則是指在數(shù)字符號中每個阿拉伯數(shù)字所在的位置各有其指定的數(shù)值；數(shù)值原則是指在數(shù)字中，相鄰的兩個數(shù)字的冪次關(guān)系決定數(shù)字中各個數(shù)字的位值，所以位值記數(shù)法主要指十進位制計數(shù)法。就小學(xué)學(xué)習(xí)的整數(shù)而言，十進位制自然數(shù)的關(guān)鍵是十個數(shù)字符號和數(shù)位，把一個正整數(shù)從右到左分成個位、十位、百位、千位等，每個數(shù)位的計數(shù)單位分別為一、十、百、千，十進位記數(shù)法就是以10為基底位值制記數(shù)法，遵循十進制中“滿十進一，退一當十”的性質(zhì)(5)胡重光:《十進位制計數(shù)法的本質(zhì)特征》,《第一師范學(xué)報》2000年第2期,第40頁。。

(三)位值概念理解

很多學(xué)者對位值概念理解進行了研究，位值概念理解主要指明確位值制中的數(shù)字構(gòu)成實質(zhì)。約翰·范德瓦爾(John A.Van De Walle)(6)John A.Van De Walle，張英杰，周菊美譯：《中小學(xué)數(shù)學(xué)科教材教法》,五南出版社2005年版，第308頁。提出對位值概念理解主要包括三個方面：知道位值是由以“十”為單位的分群組構(gòu)成；能以口述和書寫相結(jié)合的形式表達“十”為單位的群組概念；能用“一個一個數(shù)”、“十和一”、“群組和個別的單一數(shù)”三種方式來計數(shù)。羅杰(Roger H)(7)Roger Howe.Learning and Using our Base Ten Place Value Number System: Theoretical Perspectives and Twenty-first Century Uses.FIZ Karlsruhe.2018，51,pp.57-68.提出位值制中包括加法和乘法。十進制隱含著每個數(shù)都表示為特殊數(shù)之和：如352=300+50+2，各數(shù)字是位置值部分的總和；位值制還具有乘法結(jié)構(gòu)：如300=3×100，50=5×10，2=2×1。羅斯(Ross)(8)Ross, S.R..Place Value: Problem Solving and Written Assessment.Research，Reflection，Practice.2002,pp.419-420.提出阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)理解位值概念可以從四個方面入手，即：位置性、十進制、加法性以及乘法性。巴圖羅(Baturo)(9)Baturo，A.R..Construction of A Numeration Model:A Theoretical Analysis.In J.Bana & A.Chapman, Mathematics Education beyond 2000(Proceeding of the 23rd Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia.Fremantle,WA:MERGA.2000,pp.95-103.也提出位值概念理解主要指從理解位置知識、基底知識、次序知識，逐漸發(fā)展成理解位值的特性，即加法性、乘法性以及單位轉(zhuǎn)換知識。綜合上述學(xué)者的研究發(fā)現(xiàn)，位值概念理解主要涉及位置知識、群組知識、分割知識、數(shù)字對應(yīng)知識。如果進一步細化，包括位名認識、位置理解、數(shù)字大小、數(shù)位轉(zhuǎn)化、倍數(shù)關(guān)系、典型分割、非典型分割、具體數(shù)字辨識、抽象數(shù)字辨識。

二、低年級小學(xué)生對位值概念理解的表現(xiàn)及錯誤類型

為更好了解低年級小學(xué)生位值概念的認知發(fā)展情況，以及學(xué)生對位值概念容易產(chǎn)生哪些錯誤？本研究以問卷形式對小學(xué)一、二年級440名學(xué)生進行了調(diào)查，有效問卷427份。根據(jù)羅斯(10)Ross, Sharon Hill.The Development of Children’s Place-Value Numeration Concepts in Grades Two through Five.Mathematics Education Research.Mathematics Education Research.1986，p.128.提出的位值概念發(fā)展特征的五個階段，及凱倫·弗森(Fuson)(11)Karen C.Fuson.Conceptual Structures for Multiunit Numbers: Implications for Learning and Teaching Multidigit Addition, Subtraction, and Place Value.Cognition and Instruction.1990，7(4)，pp.343-403.的位值制理解的發(fā)展模型等設(shè)計調(diào)查工具。問卷結(jié)構(gòu)設(shè)計從“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”兩個方面入手。在“數(shù)的認識”中主要劃分為四個維度，包括位置知識、群組知識、分割知識、數(shù)字對應(yīng)知識，再進一步細化為九個子維度，包括位名知識、位置理解、數(shù)字大小、數(shù)位轉(zhuǎn)換、倍數(shù)關(guān)系、典型分割、非典型分割、具體數(shù)字辨識、抽象數(shù)字辨識。數(shù)的運算測試分為加減法兩大類型，包括常規(guī)題和非常規(guī)題兩部分內(nèi)容，其中常規(guī)題和非常規(guī)題又包括有無進位和借位情況。統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)低年級小學(xué)生對位值概念的理解呈現(xiàn)不均衡樣態(tài)，存在不同類型的錯誤。

(一)低年級小學(xué)生對位值概念理解的表現(xiàn)情況

1.一年級學(xué)生對位值概念理解的表現(xiàn)情況

以“數(shù)的認識”為考察內(nèi)容，利用平均值或中位數(shù)來描述學(xué)生對位值概念理解得分的情況，描述統(tǒng)計分析見表1所示，四個維度平均值由大到小排列情況為：位置知識、群組知識、分割知識、數(shù)字對應(yīng)知識，整體平均分有3.66分之差。位置知識平均值為22.68，正確率為75.6%，正確率較高，大部分學(xué)生位置知識能夠達到滿分，學(xué)生對于個位、十位、百位的位名認識清晰，并且能夠?qū)?shù)字與數(shù)位進行準確對應(yīng)，對于數(shù)的大小關(guān)系以及數(shù)的組合關(guān)系掌握較好。群組知識均值為20.24，正確率為67.5%，明顯偏低一些，學(xué)生主要是對不同計數(shù)單位之間轉(zhuǎn)換的掌握不佳。分割知識均值為20.05，正確率為66.8%，學(xué)生典型分割是將“25分割為20和5”，而非典型分割是“將25分割為10和15”。數(shù)字對應(yīng)知識平均值為19.02，均值最低，正確率為63.4%，說明學(xué)生對于數(shù)的乘法性質(zhì)掌握困難，例如“243=100×2+10×4+1×3”，學(xué)生在具體和抽象數(shù)字對應(yīng)表現(xiàn)不佳，說明其對數(shù)字對應(yīng)知識掌握較弱。

表1 一年級學(xué)生對位值概念理解描述統(tǒng)計分析表

從上述研究結(jié)果看，與巴圖羅(Baturo)所提出的位值概念理解的三個層次以及羅斯(Ross)提出的位值概念理解的五個階段的研究結(jié)果具有一致性。同時基于訪談也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于位值連結(jié)數(shù)字和位置所代表的值，以及有關(guān)位名順序的知識掌握較好，很少出現(xiàn)錯誤；而對辨識多位數(shù)個別數(shù)字所代表數(shù)值的知識理解困難，存在不同的迷思。另外，如圖1所示，九個子維度由高到低排序為數(shù)字大小(13.29)、位名認識(10.85)、倍數(shù)關(guān)系(10.19)、非典型分割(10.15)、抽象數(shù)值辨識(10.13)、數(shù)位轉(zhuǎn)換(10.05)、典型分割(9.90)、位置理解(9.89)、具體數(shù)值辨識(8.89)。

圖1 一年級學(xué)生位值理解子維度得分折線圖

由上可知，一年級學(xué)生對于數(shù)的大小比較、位置名稱認識維度掌握情況較好，能夠較好地對具體實物數(shù)量和抽象數(shù)的大小進行比較，通過數(shù)的方式來識別個、十、百位，能根據(jù)數(shù)位上的數(shù)字提示進行組合。對于常規(guī)分割單位以及具體的數(shù)值辨識理解存在困難，非典型分割好于典型分割，這是研究未預(yù)期到的結(jié)果，根據(jù)對學(xué)生進行訪談發(fā)現(xiàn)，對于常規(guī)分割一部分學(xué)生是由于學(xué)習(xí)習(xí)慣不佳，馬虎急于求成作答導(dǎo)致錯誤，另外一部分學(xué)生是因為對于分割知識理解不清晰，對于知識的掌握僅停留在死記硬背層面，具體應(yīng)用時很容易出現(xiàn)錯誤。具體數(shù)值辨識維度，對于數(shù)與數(shù)量的對應(yīng)和轉(zhuǎn)換方面，很多學(xué)生分不清“22”顆糖果中的兩個“2”各代表多少糖果，訪談過程中，給學(xué)生單獨呈現(xiàn)22，學(xué)生可以說出22是由2個十和2個一組成，說明學(xué)生對于位值內(nèi)容實際的靈活運用表現(xiàn)不佳。

2.二年級學(xué)生對位值概念理解的表現(xiàn)情況

二年級學(xué)生以“數(shù)的運算”為主要考察內(nèi)容，包括加法運算和減法運算兩個維度，描述分析情況如表2所示：

表2 二年級學(xué)生對位值理解描述統(tǒng)計表

從表中可以看出二年級學(xué)生對加法運算掌握較好，均值為39.67，正確率較高為79.34%，并且大部分學(xué)生得到滿分，且波動較小。說明學(xué)生對于加法運算方面的列式解題以及運算方法掌握較好。對學(xué)生進行訪談發(fā)現(xiàn)，其解題思路比較順暢，對于常規(guī)習(xí)題的錯誤能夠主動修改。而在減法運算中學(xué)生掌握情況相對存在困難，均值為33.23，正確率為66.46%，大多學(xué)生處于40分左右，在問卷調(diào)查過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生減法運算的做題速度明顯偏慢，并且對于設(shè)未知數(shù)填數(shù)的問題做答困難，基礎(chǔ)不扎實的學(xué)生解題思路不清晰，整體逆向思維較弱，存在問題也較多。加減運算兩個維度之間平均分存在6.44分的差距，說明學(xué)生對于加減運算掌握差距較大。

從圖2可知，無論是加法還是減法運算，學(xué)生對常規(guī)問題的掌握優(yōu)于非常規(guī)問題，并且差距較大，很多教師平時重視對學(xué)生常見題目的訓(xùn)練，而很少練習(xí)逆向思維的題目，所以學(xué)生對于這類題目幾乎沒有思路，也同時說明學(xué)生對于知識本身的掌握不熟練。加減法運算兩個維度之間分數(shù)差為11.84分，說明其加減運算理解存在的困難并不一致。通過學(xué)生對數(shù)的運算作答情況可以發(fā)現(xiàn)，他們擅長常規(guī)題目的運算，而對變式題目存在較大困難，其逆向思維和位值知識理解能力有待提高。

圖2 二年級學(xué)生對位值理解維度得分柱狀圖

從上述描述統(tǒng)計分析綜合來看，基于“數(shù)的認識”內(nèi)容，一年級學(xué)生對于位值概念各維度掌握最好的是位置知識，對其理解一直保持著較高的水平，說明學(xué)生對于位名認識、位置理解和數(shù)字大小比較等方面理解相對深刻，為學(xué)習(xí)其他位值方面內(nèi)容提供了較為扎實的基礎(chǔ)；其次是群組知識，大部分學(xué)生能夠熟練掌握“滿十進一”的算法，并且知道十進制有著“習(xí)慣、便捷、繼承古代計數(shù)”的優(yōu)點，但大多數(shù)學(xué)生只停留在口中，不明白十進制的真正意義，很多學(xué)生都以“2、3、5、9”等進行分組；接著是分割知識，學(xué)生善于抽象數(shù)字的典型與非典型分割，但與實際問題相結(jié)合容易出現(xiàn)錯誤，說明學(xué)生還不理解這部分內(nèi)容的現(xiàn)實意義，大多是靠算法來支撐；最后是數(shù)字對應(yīng)知識，學(xué)生對于知識掌握表面化，僅改變問題的形式，就導(dǎo)致考察同樣知識點的題目有了不同的結(jié)果?；跀?shù)的運算內(nèi)容，二年級學(xué)生對于位值概念理解各維度均值由高到低排序為：加法常規(guī)問題、減法常規(guī)問題、加法非常規(guī)問題、減法非常規(guī)問題，說明學(xué)生對于加法運算掌握較好，而對于逆運算減法掌握存在較多困難，并且更習(xí)慣于常規(guī)問題的呈現(xiàn)方式，對于非常規(guī)問題并未建立起數(shù)學(xué)思維。

(二)低年級小學(xué)生對位值概念理解錯誤的類型

通過對問卷調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，根據(jù)位值內(nèi)容的劃分依據(jù)，低年級小學(xué)生對位值概念理解主要出現(xiàn)以下五種類型的錯誤：

1.位置知識錯誤

這種類型錯誤率相對較小，主要表現(xiàn)為有很少一部分學(xué)生不能準確無誤地知道個位數(shù)、十位數(shù)、百位數(shù)所代表的數(shù)字，對于哪個數(shù)字在個、十、百數(shù)哪個數(shù)位上還存在問題，給出位名所代表的數(shù)字，學(xué)生不能準確寫出組合數(shù)字，對于數(shù)的大小和排序的比較上還存在問題。學(xué)生對于數(shù)位、數(shù)字、數(shù)量的對應(yīng)過程掌握不佳，對于題目的理解僅停留在表面，并未意識到位置不同，決定的數(shù)值也不一樣，因而作答錯誤較多以及學(xué)生對組合數(shù)字數(shù)位意義的掌握還不夠扎實。此外，學(xué)生對于“0”的意義理解不清，“0”不僅可以表示為數(shù)字，意為“沒有”；“0”還可以做占位符號。雖然十位上為“0”，但并不意味著十位上沒有數(shù)字，很多學(xué)生卻忽視了“0”可以作占位符號。

2.群組知識錯誤

主要指學(xué)生對于不同數(shù)位之間的單位轉(zhuǎn)換存在問題，尤其是不相鄰單位換算，如1個百=100個一。學(xué)生不能明確相鄰單位呈現(xiàn)10的次方關(guān)系，比如對于10個一=1個十，10個十=1個百?！?個十”換成“10個一”為高階向低階轉(zhuǎn)換，“10個一”換成“1個十”為低階向高階轉(zhuǎn)換，學(xué)生不能理解其中數(shù)值不變，單位發(fā)生了改變。學(xué)生對群組知識的掌握水平偏低，說明其對高低單位關(guān)系的轉(zhuǎn)換，以及轉(zhuǎn)換后數(shù)值變化的掌握不佳，群組知識的學(xué)習(xí)有待加強。訪談過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于知識的掌握僅停留在表面，極容易受題目提問方式和迷惑選項的影響，說明其對知識本身并沒真正理解。

3.分割知識錯誤

根據(jù)數(shù)字所在位置，進行不同單位之間轉(zhuǎn)換以及數(shù)的分解與組成(非普遍分割模式、最普遍分割模式)出現(xiàn)錯誤，說明學(xué)生對數(shù)位轉(zhuǎn)換并沒有準確掌握。其中學(xué)生對非典型分割下的數(shù)字轉(zhuǎn)換為常規(guī)數(shù)字出現(xiàn)錯誤率較高，并且與計數(shù)器相聯(lián)系時出現(xiàn)困難。

4.數(shù)字對應(yīng)知識錯誤

此類錯誤率最高，學(xué)生無法辨別多位數(shù)中個別數(shù)字所代表的數(shù)值的知識(圖像)，辨別多位數(shù)中個別數(shù)字所代表的數(shù)值的知識(文字)能力弱，說明學(xué)生對于數(shù)字所在位值進行單位間的轉(zhuǎn)換，以及進行“數(shù)”的分解與組成知識的整體表現(xiàn)較差。

5.運算性錯誤

是指在答題過程中，已經(jīng)找出問題與已知條件的邏輯關(guān)系，在列式和進行計算時出現(xiàn)錯誤，一方面是因為學(xué)生對于此類題目不熟悉，另一方面是計算掌握不佳。學(xué)生運算性錯誤占較大比例，達到30.57%，運算性錯誤主要包括列式錯誤、計算方式出現(xiàn)錯誤等方面，說明學(xué)生出現(xiàn)列式困難、無法將題意與問題連結(jié)以及濫用已知條件。計算方式出現(xiàn)錯誤較多，首先口算出現(xiàn)錯誤最多，其次是脫式計算，比較而言，豎式計算出現(xiàn)錯誤較少，說明學(xué)生對于基礎(chǔ)運算仍然存在一定的問題。

三、影響低年級小學(xué)生位值概念理解的主要因素

通過調(diào)查顯示，影響低年級小學(xué)生對位值概念理解的主要因素包括三個方面：位值概念結(jié)構(gòu)、教科書內(nèi)容和教師教學(xué)。

(一)位值概念結(jié)構(gòu)

位值是計數(shù)系統(tǒng)中的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)數(shù)感的重要途徑，它簡化并規(guī)范了數(shù)字符號系統(tǒng)和運算方式，但其內(nèi)容最初理解相對抽象，尤其是面對處于具體形象思維階段的小學(xué)生，這就意味著早期位值內(nèi)容的教學(xué)充滿挑戰(zhàn)，大多數(shù)學(xué)生對于知識的掌握不具備系統(tǒng)性，因此對于位值概念的理解也較為模糊?？梢詮挠嫈?shù)知識、數(shù)概念和數(shù)字對應(yīng)知識來看位值概念的對學(xué)生理解的挑戰(zhàn)性。

1.計數(shù)知識。對于大小、顏色等認識可以通過各種感官進行直接感知，但是對于數(shù)的認識需要進行由具體到抽象、再由抽象返回具體的過程，因為數(shù)并不是某個東西的名稱，而是對于事物之間的邏輯關(guān)系。在此過程中，學(xué)生在理解對應(yīng)、系列、包含等邏輯關(guān)系后才能夠進行正確的計數(shù)。通過計數(shù)的學(xué)習(xí)，逐漸學(xué)會數(shù)的表示，再通過數(shù)的表示去理解數(shù)的意義，所以理解數(shù)的意義的整個過程對于學(xué)生來說較為復(fù)雜。

2.數(shù)概念。皮亞杰認為數(shù)作為一種邏輯數(shù)學(xué)知識，是指利用心智將事物之間的關(guān)系建構(gòu)起來，來源于構(gòu)建式和沉思式的抽象。(12)Jean Piaget.Cognitive Development in Children.Journal of Research in Science Teaching, Research Gate. net.1964,p.428.國內(nèi)有學(xué)者研究認為數(shù)概念主要包括數(shù)的前置概念、數(shù)的起始概念、內(nèi)嵌數(shù)概念、合成巢狀數(shù)和測量單位數(shù)五個方面的內(nèi)容，因此，首先要處理學(xué)生的合成、分解、比較等問題；其次，注重數(shù)列和分類的特征；再次，更加重視連續(xù)性，明白整體和部分的關(guān)系；最后是強調(diào)學(xué)生由部分向整體的轉(zhuǎn)化，更加清晰“十”與“一”的結(jié)構(gòu)關(guān)系。各個層面都較為抽象，并且要在前面理解消化后進入后一個層面才能夠有效進行，環(huán)環(huán)相扣。

3.數(shù)字對應(yīng)知識。位值概念主要從數(shù)的認識、數(shù)的運算兩方面來展開，數(shù)與運算可以幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)感，從而運用靈活的方法去做出數(shù)學(xué)判斷，解決復(fù)雜問題，因此需要間接促進學(xué)生對位值的理解，能夠判定不同的算術(shù)運算，有能力進行計算，并具有選擇恰當?shù)姆椒?如心算、筆算、使用計算器)實施計算的經(jīng)驗，這個過程比較艱難。

因此根據(jù)對計數(shù)知識、數(shù)概念和數(shù)字對應(yīng)知識三方面的分析，可知位值內(nèi)容本身的難度與抽象程度，是導(dǎo)致學(xué)生解題困難的一大原因，位值內(nèi)容不利于低年級心智水平較弱的學(xué)生掌握。根據(jù)學(xué)生在解題方面的表現(xiàn)可以看出，學(xué)生對于計數(shù)知識、數(shù)概念和位值概念等概念性理解不佳，大多是通過記憶算法和形式，對于位值概念和算理的理解有限，并未對知識有根本性理解，大多停留在表面記憶的層面。

(二)教科書內(nèi)容

位值內(nèi)容并不是精確地歸結(jié)為某一部分，而是滲透于數(shù)學(xué)的方方面面，教科書編排數(shù)認識這部分知識時，主要通過數(shù)的意義、多元表征、大小與排列組合、數(shù)字對應(yīng)組合來滲透學(xué)生對于位值內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對應(yīng)了問卷調(diào)查的四個維度：位置知識、群組知識、分割知識和數(shù)字對應(yīng)知識。很顯然教科書暗線滲透的培養(yǎng)目標要求學(xué)生掌握數(shù)的不同意義、數(shù)的多元表征方式以及數(shù)與數(shù)位、數(shù)級的對應(yīng)關(guān)系等。教科書作為教師教學(xué)的主要內(nèi)容，其中介作用顯得尤為重要，教科書的目標要求過于遵循課程標準，而對于教師教學(xué)并非具有可操作性，導(dǎo)致教學(xué)實施效果不佳；其次不同版本教科書的編排結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)方式不同，因此對于學(xué)生教學(xué)的側(cè)重也有所不同。例如，人教版“11—20各數(shù)的認識”在讀數(shù)與寫數(shù)的過程中滲透著數(shù)位“十”和“一”的學(xué)習(xí)，開始引入計數(shù)器，將小棒、計數(shù)器與數(shù)字相對應(yīng)。在學(xué)習(xí)數(shù)的認識過程中涉及數(shù)的組成，兩位數(shù)中數(shù)的組成就是由幾個十和幾個一組成，更進一步鞏固了數(shù)位的學(xué)習(xí)。在數(shù)的順序和比較大小中，學(xué)生能夠根據(jù)計數(shù)器中不同數(shù)位中的個數(shù)，來判斷大小。在數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容學(xué)習(xí)中，通過數(shù)字在不同數(shù)位上進行搭配，可以組成不同的數(shù)，也進一步加深了學(xué)生對于位值的理解。北師版教材滲透較多位值內(nèi)容，從一年級就以古人計數(shù)的方式去滲透1顆大石頭代表十，一顆小石頭代表一，1根豎條代表十，1根橫條代表一，以找規(guī)律的方式向?qū)W生滲透十進制的思想，為以后的正式位值概念學(xué)習(xí)做鋪墊。北師版重視多元表征的展現(xiàn)，除了古人計數(shù)以外，還呈現(xiàn)珠子、積木、木棒和計數(shù)器，都在說明共同的特點，即十個為一組的特征。

不同的編排結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)方式對于學(xué)生存在影響。比如，教科書結(jié)構(gòu)偏向于縱向型內(nèi)容，每一單元內(nèi)容都是通過單純的知識點陳列出來，各節(jié)內(nèi)容之間會呈現(xiàn)孤立狀態(tài)，某種程度上割裂了知識的整體性；對于內(nèi)容編排過于緊湊，導(dǎo)致學(xué)生沒有消化的時間，但也可能存在著很多學(xué)生過渡困難，影響學(xué)生以往認知，導(dǎo)致數(shù)的運算掌握不佳。在教科書編排內(nèi)容方面，劃分較粗略，一年級安排較少內(nèi)容，導(dǎo)致二年級運算內(nèi)容過多，教科書內(nèi)容分配使學(xué)生難以達到最近發(fā)展區(qū)，不利于其對于運算內(nèi)容的掌握等。

(三)教師教學(xué)

凱米(Kamii,C.)(13)Kamii, C..Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget’s Theory.Books.google.com.1999，p.323.認為數(shù)概念的理解取決于學(xué)生是否了解數(shù)字位值，即不同數(shù)位的意義，并能夠再構(gòu)建出相似系統(tǒng)。通過數(shù)數(shù)、記數(shù)多少可以抽象出數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,如大小、順序、分解與組合等，概括出數(shù)的運算規(guī)律，對數(shù)運算的意義及運算律的理解也需要與實際背景相聯(lián)系。這些條件的滿足很大程度上取決于教師的知識水平與教學(xué)策略。

第一，教師的位值認知水平具有顯著差異，很多教師知其然不知其所以然。雖然教師在課堂中都能進行位值內(nèi)容的教學(xué)，但是對于位值的理解程度有限，僅限于認識到理解位值能為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，但沒能準確和清晰地解釋位值含義。

第二，教師在實際教學(xué)中都普遍重視位值概念的教學(xué)，也認識到位值概念的地位和重要作用，但不同教師的教學(xué)理念和教學(xué)方法也是不同的，大多數(shù)教師按照自己對于位值知識的理解和網(wǎng)上教學(xué)資源，以及教師參考用書的輔助，去進行教學(xué)設(shè)計，缺乏對位值概念本身的求知與探索，以及自身對于學(xué)科知識的理解，認知水平呈現(xiàn)窄而淺的特點，導(dǎo)致位值內(nèi)容的教學(xué)策略與方法也比較單一。