水下定位聲線擾動分析與分段指數(shù)權(quán)函數(shù)設(shè)計

王薪普，薛樹強，曲國慶，劉以旭，楊文龍

1.山東理工大學(xué)，山東 淄博 255049；2.中國測繪科學(xué)研究院，北京 100830；3.山東科技大學(xué)，山東 青島 266590

水下高精度時空服務(wù)是海洋開發(fā)活動的重要支撐[1]。我國陸地大地基準(zhǔn)網(wǎng)建設(shè)相對完善,并且長期復(fù)測維持,具備厘米級精度[2-4]。隨著我國北斗系統(tǒng)的建成，構(gòu)建從深空到深海全域無縫的綜合PNT體系將成為未來大地測量與導(dǎo)航的重要技術(shù)方向[5-6]。文獻[7—8]較全面地描述海底大地基準(zhǔn)網(wǎng)建設(shè)的主要技術(shù)問題和海洋導(dǎo)航技術(shù)的研究現(xiàn)狀，水下高精度聲吶定位模型和算法是海底空間基準(zhǔn)構(gòu)建及其聲吶導(dǎo)航定位應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。

由于衛(wèi)星定位采用的無線電磁波在海水中衰減嚴(yán)重，而聲波在水中具有良好的傳播性，因此水下高精度導(dǎo)航定位多采用聲學(xué)定位系統(tǒng)[9-10]。然而，海洋環(huán)境復(fù)雜，水中介質(zhì)不均勻，聲速會隨溫度、深度、鹽度的變化而變化，聲波在海水中傳播時存在聲線彎曲和延遲誤差，是制約水下高精度定位的瓶頸問題[11-12]。一方面，水下定位通常需要通過聲速剖面觀測獲取定位所需的聲速信息。然而，而聲速剖面存在測量誤差以及時空代表性誤差等[13-15]，進而影響水下高精度定位。另一方面，由于入射角越大聲線彎曲越明顯，從而影響測距精度進而影響定位精度[16-20]。

為解決聲線彎曲誤差對高精度定位的影響，文獻[21—24]對聲線彎曲誤差問題提出了不同的解決方法。在衛(wèi)星定位方面，多位學(xué)者對隨機模型進行了大量研究，提出高度角隨機模型、信噪比隨機模型、最小范數(shù)二次無偏估計模型及其簡化形式、實時鐘差融合權(quán)函數(shù)設(shè)計等隨機模型[25-27]。文獻[28]給出彈性定位導(dǎo)航授時(positioning,navigation and timing，PNT)的基本定義，提出需要研究海洋環(huán)境自適應(yīng)彈性定位模型。構(gòu)建合理的隨機模型是水下高精度定位的關(guān)鍵技術(shù)之一，然而，目前多采用觀測量等權(quán)模型，已有高度角相關(guān)模型也多仿照GNSS提出。為提高水下定位精度，文獻[27]在分析隨機模型不完善基礎(chǔ)上，提出4種基于入射角的水下定位隨機模型，改善等權(quán)隨機模型的定位精度，其影響機理和模型的合理性還有待深入研究。

本文考慮海洋聲速場變化對聲線的擾動，基于常梯度聲線跟蹤模型推導(dǎo)入射角、梯度以及深度擾動對聲線傳播水平位移的影響函數(shù)關(guān)系，通過試驗分析入射角出現(xiàn)擾動時對水平位移的影響，依此建立入射角相關(guān)的水下定位隨機模型，采用淺水湖水下實測數(shù)據(jù)進行試驗分析驗證，與已有的權(quán)函數(shù)模型進行對比分析。

1 入射角、梯度及深度擾動對聲線傳播的影響

受海水溫度、壓力、鹽度等因素影響，聲速在垂向方向存在明顯的分層變化現(xiàn)象，導(dǎo)致聲線傳播發(fā)生折射彎曲，影響定位精度。通常，在同一分層中，假設(shè)聲速梯度是一個常數(shù)，其聲線折射如圖1所示。

圖1 聲線折射Fig.1 Illustration on the sound ray refraction

依據(jù)常梯度聲線跟蹤模型，聲線掠過某一水層時的水平位移y可表示為[13]

y=R(cosβ-cosα)

(1)

式中,α為入射角；β為層內(nèi)的出射角度；R=-C0/(gsinα)，為聲線傳播的曲率半徑；C0表示入射聲速。α與β滿足Snell方程，即

sinβ=sinα(C0+gh)/C0

(2)

式中，g=ΔC/h為聲速梯度。顯然，若將β、R視為過程變量，可將水平位移表示為α、g、h的函數(shù)，即

y=f(α,g,h)=

(3)

在聲線跟蹤定位算法中，入射角是需要迭代計算的量，即可表示為聲速剖面觀測值的函數(shù)，因此也是一個隨機量。由式(3)可知聲線傳播的水平位移由入射角α、梯度g和深度h共同決定。為研究上述變量對水平位移的影響，對式(3)中的α、g、h求偏導(dǎo)

(4)

(5)

(6)

經(jīng)過化簡可得式(3)全微分為

dy=(Rsinα-(Rtanβsinβ+y)cotα)dα+

(7)

類似于聲速剖面簡化思想，為了節(jié)省計算效率，建議將聲速剖面簡化為3～4個分層，其中每一層的聲速梯度利用最小二乘方法進行線性擬合，可得如下常梯度聲速剖面模型

Ci=Ci,0+gih

(8)

式中，Ci,0為在第i個分層內(nèi)的初始聲速；gi為層內(nèi)的梯度(采用層內(nèi)聲速剖面數(shù)據(jù)的最小二乘估計)；h∈[0,li]為層內(nèi)深度變量；li為第i層的厚度。此時，水平位移總擾動則可由多層擾動累加得到，即

dy=dy1+dy2+…

(9)

需要指出，上述分層簡化策略只是為了計算方便。

為了直觀給出水平位移與入射角的響應(yīng)關(guān)系，采用60 m實測聲速剖面進行試驗。聲速剖面和擬合剖面如圖2所示，聲速剖面大致可以分為兩部分，以分段方式進行聲速剖面擬合，計算入射角擾動對水平位移的影響。測試深度分別為30 m和60 m，入射角范圍為20°～80°，分別加入中誤差為0.005 rad～0.02 rad(0.286 5°～1.145 9°)的隨機誤差，模擬次數(shù)為1000次，統(tǒng)計1000次的水平位移擾動信息，計算水平位移擾動的樣本方差，結(jié)果如圖3所示。

圖2 分段線性擬合聲速剖面Fig.2 Piecewise linear fitting sound velocity profile

圖3 不同深度時入射角擾動對水平位移擾動的方差Fig.3 Variance of incidence angle disturbance to horizontal displacement disturbance at different depths

給梯度加入-0.05～-0.15誤差，計算梯度擾動對水平位移的擾動，結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同深度下聲速梯度擾動對水平位移擾動Fig.4 The horizontal displacement is disturbed by gradient disturbance at different depths

從圖4可以得出以下結(jié)論：

(1)在入射角較小時，聲速場梯度變化對水平位移的擾動較小。

(2)在相同水深和入射角下，水平位移的擾動隨著梯度變化增大而增大。

(3)在相同深度和梯度下，水平位移擾動總是隨著入射角的增大而增大。

在實際測量中，聲速場存在或多或少的測量誤差，并且聲速場是隨時間變化的，在聲線跟蹤計算時只能利用某一時刻的聲速場觀測信息代表聲吶觀測時刻的聲速場信息，因此總是存在聲速梯度誤差及其時變影響。據(jù)此，可基于上述響應(yīng)關(guān)系構(gòu)建水下定位隨機模型。

2 顧及入射角的權(quán)函數(shù)設(shè)計

假設(shè)Ti(i=1,2,…,n)時刻由GNSS和姿態(tài)測量給出船載聲吶換能器的位置Xi=(xi,yi,zi)，海底應(yīng)答器待定坐標(biāo)為X=(x,y,z)，聲吶信號傳播時間為ti,海底應(yīng)答器定位觀測模型為

Li=cti=f(Xi,X)+Δi+εi(i=1,2,…,n)

(10)

(11)

隨機模型的不完善通常歸結(jié)于定權(quán)不準(zhǔn)確[27]，觀測權(quán)函數(shù)設(shè)計是構(gòu)建隨機模型的關(guān)鍵。對于相同的聲速場誤差和深度，大入射角對聲線的水平位移影響越大，進而影響水下定位精度。因此，構(gòu)建以下入射角相關(guān)觀測權(quán)函數(shù)

(12)

觀測方差大致可分為兩部分，即入射角相關(guān)部分和入射角不相關(guān)部分，后者主要來源于聲吶儀器測量誤差。當(dāng)入射角大時，則入射角相關(guān)誤差占主要成分，由圖3可知，此時儀器測量誤差可以忽略。從圖3中可以看出，無論30 m深度還是60 m深度時，當(dāng)入射角大于50°時，入射角擾動對水平位移的影響開始有上升趨勢，在深度60 m，入射角80°時，即使入射角加入0.005 rad的隨機誤差，水平位移的擾動方差達到了84.206 3 m2?？梢姡?dāng)入射角較大時，入射角發(fā)生微小變化對水平的影響是指數(shù)增長的，即方差隨入射角的變化呈指數(shù)形式變化。為此，本文使用指數(shù)函數(shù)模型擬合觀測方差

(13)

式中，a、b為待估計量，可根據(jù)圖3相關(guān)數(shù)據(jù)進行擬合得到。以60 m水深0.005 rad誤差為例，擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5 方差擬合Fig.5 Variance fitting

入射角擾動或聲速場擾動變化的具體量級未知或很難精確獲取。試驗表明，加入不同量級的擾動誤差，對聲線的擾動絕對量級影響很大，但對式(12)建立的權(quán)函數(shù)的擾動卻很小，其原因在于觀測權(quán)是觀測值間精度的相對量。如圖6所示，給出不同量級的入射角隨機擾動誤差，擬合入射角相關(guān)方差函數(shù)式(13)，并采用式(12)構(gòu)建觀測權(quán)函數(shù)，最終得到的權(quán)函數(shù)設(shè)計幾乎完全相同。說明本文所建立的權(quán)函數(shù)具有很好的適應(yīng)性，而入射角的擾動量級設(shè)置較為靈活。試驗表明，依據(jù)聲速梯度擾動對聲線傳播擾動影響進行權(quán)函數(shù)設(shè)計時，與依據(jù)入射角擾動得到的權(quán)幾乎完全相同。

從上述權(quán)函數(shù)曲線可以發(fā)現(xiàn)，分段指數(shù)權(quán)函數(shù)曲線和IGG3抗差方案具有類似的權(quán)函數(shù)圖形，因此其在抑制大觀測誤差方面的功效可較好體現(xiàn)[31-32]。

圖7顯示在入射角0°～89°時的不同權(quán)函數(shù)的對比情況,直觀體現(xiàn)出分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型和已有的入射角指數(shù)函數(shù)模型、分段余弦函數(shù)模型。

從圖7可以看出，指數(shù)模型在抑制大入射角時效果不夠明顯，分段余弦函數(shù)模型在分段節(jié)點處出現(xiàn)權(quán)值不連續(xù)現(xiàn)象。

3 實測數(shù)據(jù)分析

為驗證本文的權(quán)函數(shù)模型的有效性，采用淺水湖實測數(shù)據(jù)進行驗證分析。以圓標(biāo)校聲線跟蹤定位結(jié)果為未知點真值，測量船軌跡和定位點位置如圖8(a)所示，圓標(biāo)校引起對稱性可很好地消除聲線系統(tǒng)誤差影響，可獲取高精度平面定位[33]。

采用如圖8(b)所示的導(dǎo)航軌跡數(shù)據(jù)比較分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型與等權(quán)模型、指數(shù)函數(shù)模型、分段余弦函數(shù)模型的定位效果，其C2、C6、C8各個控制點對應(yīng)的入射角如圖9所示。

為分析本算例入射角相關(guān)誤差的大小及其與本文權(quán)函數(shù)設(shè)計的關(guān)系，采用圓測線標(biāo)校水下控制點結(jié)果作為參考值，計算觀測距離誤差，入射角和觀測誤差絕對值的對應(yīng)關(guān)系，如圖10所示(以C2為例)。結(jié)果表明，大入射角觀測的誤差相對更大，說明當(dāng)入射角大時，對測距的影響較大，從而影響定位精度，所以對大入射角觀測值進行降權(quán)處理是有必要的。

基于前文試驗結(jié)果，使用入射角閾值為50°，以聲線跟蹤算法計算3個定位點C2、C6、C8的圓標(biāo)校結(jié)果，比較等權(quán)模型、入射角指數(shù)模型、分段余弦模型、分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型與圓標(biāo)校定位結(jié)果差異，結(jié)果見表1。

從表1可以看出，分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型和分段余弦權(quán)函數(shù)模型的定位結(jié)果更接近圓標(biāo)校定位結(jié)果，兩者定位結(jié)果沒有顯著差異。以C2為例，相較于圓標(biāo)校結(jié)果，分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型比分段余弦權(quán)函數(shù)模型在X方向提高了0.019 m，Y方向降低0.013 m，Z方向提高了0.005 m；分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型的定位結(jié)果相較于等權(quán)模型的定位結(jié)果在X方向提升了4.134 m，Y方向提升了0.237 m，Z方向提升了3.098 m；指數(shù)模型和等權(quán)模型結(jié)果相近。C6分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型的定位結(jié)果相較于等權(quán)模型的定位結(jié)果在X方向上提升8.002 m；在Z方向上提升了5.965 m。而C8的定位精度改善不論是分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型還是分段余弦函數(shù)模型都主要在X方向。

表1 不同方法定位結(jié)果對比Tab.1 Comparison of positioning results by different methods

為了更加詳細(xì)地對比本文分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型、指數(shù)模型和分段余弦權(quán)函數(shù)模型，表2從協(xié)因數(shù)陣對角線之和、單位權(quán)中誤差和點位誤差3個方面進行對比。

表2 3種模型對比Tab.2 Comparison of three models

圖6 加入不同誤差時入射角與權(quán)值關(guān)系Fig.6 Relation ship of incident angle and weight

圖7 不同權(quán)函數(shù)模型對比Fig.7 Comparison of different weight function models

圖8 C2、C6、C8測量船航行軌跡及應(yīng)答器平面位置Fig.8 C2,C6,C8 tracking ship and transponder plane location

圖9 C2、C6、C8控制點對應(yīng)的入射角Fig.9 C2,C6,C8 incident angle corresponding to the control point

圖10 入射角與觀測誤差(取絕對值)的關(guān)系 Fig.10 Relation ship between incident angle and observation error (take the absolute value)

結(jié)合圖7和表2可以看出權(quán)值P越小單位權(quán)中誤差越小，但是單位權(quán)中誤差應(yīng)表征實際的測量精度。本文提出的分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型更接近聲吶距離測量標(biāo)稱精度，即約為0.15 m。此外，協(xié)因數(shù)陣的對角元素之和代表觀測信息的利用率和觀測幾何精度。在單位權(quán)方差相同時，觀測幾何精度越小越好。指數(shù)模型的幾何精度最高，本文提出的模型幾何精度次之，但是指數(shù)函數(shù)模型權(quán)分配不合理，對大入射角的抑制作用不明顯。

4 結(jié) 論

類似于GNSS定位觀測，水下聲吶定位觀測中存在明顯的高度角相關(guān)誤差，且高度角越小誤差越大。研究表明，入射角相關(guān)誤差的產(chǎn)生主要來源于大入射角觀測對相同聲速場擾動、聲速測量誤差具有放大效應(yīng)，入射角越大，這種放大效應(yīng)越明顯。在實測數(shù)據(jù)分析中，也發(fā)現(xiàn)了這種入射角相關(guān)誤差，且其變化趨勢與理論結(jié)果具有較好的一致性，均隨入射角變大呈現(xiàn)指數(shù)增長趨勢?；谏鲜鲈?，本文構(gòu)建的水下聲吶定位隨機模型，可有效抑制大入射角觀測條件下大誤差的影響，從而提高定位的精度和可靠性。

聲速變化及其觀測的不確定以及入射角擾動大小很難精確給出。本文研究發(fā)現(xiàn)，由于觀測權(quán)反映觀測間的相對精度，上述各類不確定性的絕對量級對觀測權(quán)值分配的影響很小，因此在實際應(yīng)用中可靈活設(shè)置。試驗表明，本文提出的分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型相對現(xiàn)有模型具有較為明顯的優(yōu)勢，其觀測不確定性意義明確，既可控制大入射角觀測影響，也可保留足夠的幾何觀測信息。

需要指出的是，本文將入射角相關(guān)誤差歸結(jié)到隨機模型中，即設(shè)計了入射角相關(guān)的分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型。同時，該誤差也可歸入函數(shù)模型加以參數(shù)化估計，有望改善定位精度。實踐中，也可直接采用高度角變量(即觀測點與定位點之間連線與水平方向的夾角)構(gòu)造權(quán)函數(shù)的方法改善定位精度。本文的分段指數(shù)權(quán)函數(shù)模型目前只采用淺水湖水深60 m實測數(shù)據(jù)進行試驗驗證，在深海定位方面還有待繼續(xù)研究。