學(xué)科德育視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)與思考*
——以“古典概型”為例

吳 婷 (江蘇省無錫市第一女子中學(xué) 214002)

1 學(xué)情分析

教學(xué)對象是三星級高中高一直升班學(xué)生(初中直升高中)，基礎(chǔ)良好，有較強(qiáng)的自主探究能力、抽象概括能力和運(yùn)算素養(yǎng)．

2 教材分析

本課時選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(必修第二冊)》第十章.古典概型是概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域最基本的研究對象，也是高中階段重點(diǎn)研究的概率模型．通過古典概型的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步理解隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系、事件和樣本空間的關(guān)系、概率的意義，掌握研究概率模型的一般思路．

教學(xué)目標(biāo) (1)通過具體實(shí)例感受古典概型樣本點(diǎn)、樣本空間的特征；(2)經(jīng)歷古典概型的概念形成，理解古典概型的特征及其概率計(jì)算公式，能夠計(jì)算古典概型的概率，滲透數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；(3)通過對歷史問題的驗(yàn)證，經(jīng)歷合作交流的環(huán)節(jié)，初步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，感受與他人合作的重要性．

教學(xué)重點(diǎn) 理解古典概型的特征、事件包含樣本點(diǎn)個數(shù)．

教學(xué)難點(diǎn) 判斷一個試驗(yàn)是否為古典概型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為古典概型問題．

3 過程實(shí)錄

3.1 再現(xiàn)歷史，了解概率

文藝復(fù)興時期，意大利醫(yī)生兼數(shù)學(xué)家卡當(dāng)(1501—1576)曾熱衷于骰子游戲，試圖研究不輸?shù)姆椒ǎ瑪S兩枚骰子，以兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和打賭，卡當(dāng)認(rèn)為押7點(diǎn)最有利，你認(rèn)為呢？

師：在這個問題中“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為7”是隨機(jī)事件，“卡當(dāng)認(rèn)為押7點(diǎn)最有利”則表示該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性最大．那么如何計(jì)算這個可能性的大小呢？在數(shù)學(xué)上，我們把對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)歷史素材背景下的數(shù)學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的研究熱情，引出概率的定義．

3.2 思考交流，建立模型

問題1讓我們穿越時空，推測卡當(dāng)當(dāng)時是如何得出結(jié)論“擲兩枚骰子，向上點(diǎn)數(shù)之和為7的概率最大”的．

生：可能他通過大量的試驗(yàn)和觀察得出了結(jié)果．

師：是的，通過試驗(yàn)和觀察的方法可以得到隨機(jī)事件的概率估計(jì)．但這種方法費(fèi)時費(fèi)力，僅能得到概率的近似值．或許他可以通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，直接計(jì)算出這一隨機(jī)事件的概率．

問題2寫出以下試驗(yàn)的樣本空間：

(1)試驗(yàn)1：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，其落地時朝上的點(diǎn)數(shù)；

(2)試驗(yàn)2：一個班級中有18名男生、22名女生，采用簡單隨機(jī)抽樣的方式，從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生；

(3)試驗(yàn)3：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，其3次落地時正面朝上的情況．

樣本空間每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性試驗(yàn)1Ω1={1,2,3,4,5,6}相等試驗(yàn)2Ω2={B1,B2,…,B18,G1,G2,…,G22}相等試驗(yàn)3Ω3={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}相等

師：我們試著從樣本空間及樣本點(diǎn)的角度分析歸納三個試驗(yàn)的共同特征．

生：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．

師：很好！我們將具有以上兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概型．

設(shè)計(jì)意圖通過問題設(shè)計(jì)和歸納活動，幫助學(xué)生融入歷史角色，理清古典概型的兩個基本特征，體驗(yàn)概念生成和數(shù)學(xué)建模的過程．

3.3 觀察歸納，推導(dǎo)公式

問題3嘗試求出以下隨機(jī)事件的概率：

(1)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A=“向上點(diǎn)數(shù)為3”；

(2)一個班級中有18名男生，22名女生，采用簡單隨機(jī)抽樣的方式，從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生，事件B=“抽到女生”；

(3)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件C=“恰好一次正面朝上”．

師生互動，完成表格(略).

結(jié)婚后，VCD影碟機(jī)入駐了我家，一張張光盤雖然能輕而易舉地看到時下的電影，卻沒有了電影院里的感覺。成家立業(yè)的繁雜與瑣碎，更是讓我在不知不覺的20多年中再沒有去過影院看電影了。

3.4 例題分析，推廣應(yīng)用

例1拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(分別標(biāo)記為I號和II號)，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果．

(1)寫出這個試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個試驗(yàn)是否為古典概型；

(2)求下列事件的概率A=“兩個點(diǎn)數(shù)之和是7”，B=“兩個點(diǎn)數(shù)相等”；C=“I號骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號骰子的點(diǎn)數(shù)”．

學(xué)生嘗試用枚舉、樹狀圖、列表等形式探究樣本空間，得出該試驗(yàn)的樣本空間中共有36個樣本點(diǎn).教師投影展示學(xué)生成果：

生：由于樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)量有限，骰子的質(zhì)地均勻，所以各個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，所以這個試驗(yàn)是古典概型．

師：我們也可以用字母m表示I號骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，字母n表示II號骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么數(shù)對(m,n)表示這個試驗(yàn)的一個樣本空間點(diǎn)．因此該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}．

問題4你覺得卡當(dāng)?shù)耐茰y正確嗎？為什么？(學(xué)生交流討論)

生：從表格可以看出右上角至左下角對角線上樣本點(diǎn)分布最多，所以卡當(dāng)?shù)耐茰y是正確的．

師：很好，那我們能否量化這個結(jié)果呢？

生：我們小組計(jì)算了點(diǎn)數(shù)之和分別是2,3,…,9,12時對應(yīng)的概率，從中可以看出卡當(dāng)?shù)耐茰y正確．

點(diǎn)數(shù)和23456789101112概率136236336436536636536436336236136

問題5為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號？如果不標(biāo)記會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？

(師生互動，合作探討)若不給兩枚骰子標(biāo)記，則無法區(qū)分樣本點(diǎn)(1,2)和(2,1)，如下表：

師：用古典概型計(jì)算概率時，一定要驗(yàn)證所構(gòu)造樣本空間中的樣本點(diǎn)是否滿足古典概型的第二個特征(等可能性)，否則計(jì)算出來的概率是錯誤的．

設(shè)計(jì)意圖指導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷建模運(yùn)算之后，自主探究情境創(chuàng)設(shè)中提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過量化對比得出問題結(jié)果，初步感知概率分布的表達(dá)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下伏筆．學(xué)生解決古典概型問題時，常見的錯誤是等可能性偏見，通過問題5的分析，引導(dǎo)學(xué)生歸納求解古典概型概率的步驟：(1)仔細(xì)讀題，收集整理題目中的各種信息；(2)判斷試驗(yàn)是不是古典概型；(3)列出試驗(yàn)的樣本空間和所求事件中所包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)；(4)計(jì)算出古典概型的概率．

3.5 探究思考，鞏固深化

練習(xí)1 單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A,B,C,D四個選項(xiàng)中選擇一個正確答案，假設(shè)某考生完全不會做，他隨機(jī)選擇一個答案，答對的概率是多少？

變式 若考試中多項(xiàng)選擇題(四個選項(xiàng)中至少有兩個選項(xiàng)是正確的)有四個選項(xiàng)A,B,C,D，隨機(jī)寫一個答案，恰好正確的概率是多少？試比較一下，在隨機(jī)選答案的情況下，是單選題容易猜對還是多項(xiàng)選擇題容易猜對?

練習(xí)2 齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹分組進(jìn)行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝．若雙方均不知對方馬的出場順序，試求田忌獲勝的概率．

設(shè)計(jì)意圖通過古典概型的實(shí)際應(yīng)用，在學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)變式引申，鞏固新知．

4 教學(xué)思考

4.1 從“確定性”到“隨機(jī)性”

就數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程來看，從算術(shù)到代數(shù)、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)、從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)等是數(shù)學(xué)思想方法的幾次重要突破．概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量．古典概型是最簡單的概率模型，可以直接計(jì)算相關(guān)事件的概率．需要注意的是，只有在試驗(yàn)結(jié)果是有限的、每個結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的特征下，才能定義出古典概型中隨機(jī)事件發(fā)生的概率．因此，本節(jié)課通過拋擲兩枚骰子、連續(xù)拋擲硬幣三次等試驗(yàn)，讓學(xué)生借助樹狀圖、列表格等方式，列出樣本空間，找到所有的樣本點(diǎn)，并找到符合題中事件的樣本點(diǎn)，從而進(jìn)行古典概型概率的計(jì)算．

現(xiàn)實(shí)中還有大量隨機(jī)事件不能像古典概型一樣直接計(jì)算概率，要利用頻率來估計(jì)．因此，從單元的角度來看，本節(jié)課亦上承“確定性”，即通過確定隨機(jī)事件中樣本點(diǎn)數(shù)量和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù)來計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率，下啟“隨機(jī)性”，即通過增加試驗(yàn)的次數(shù)，得到隨機(jī)事件發(fā)生的頻率是概率的近似值．

4.2 借鑒數(shù)學(xué)史，找尋必要性

古典概型涉及的歷史素材主要是博弈問題，于是筆者結(jié)合數(shù)學(xué)史提出：卡當(dāng)認(rèn)為，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，押7點(diǎn)最有利.這一數(shù)學(xué)史問題一下就吸引住了學(xué)生，為什么數(shù)學(xué)家覺得押7點(diǎn)最有利？是否有科學(xué)依據(jù)？如何驗(yàn)證？這一系列的問題就涌現(xiàn)出來了．在講解了古典概型的概念與計(jì)算公式后，再次讓學(xué)生探討這一問題，學(xué)生便能夠很清楚地講解其中的原理．

數(shù)學(xué)家史密斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供重要借鑒．”數(shù)學(xué)史提供了探究的機(jī)會，并通過古今數(shù)學(xué)方法的對比，拓寬學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的興趣．[1]數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育是一項(xiàng)有趣的工作，可以從歷史上數(shù)學(xué)知識演進(jìn)的關(guān)鍵進(jìn)程中尋找數(shù)學(xué)家突破的方法，從而以適切的方式引入課堂教學(xué)，找尋新知引入的必要性．

4.3 古典概型是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的重要載體

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人、發(fā)展素質(zhì)教育的功能”，并將“學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”作為課程基本理念．古典概型是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的重要載體，它不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)文化意識的優(yōu)質(zhì)題材．例如，2019年全國卷理科數(shù)學(xué)選擇題第6題，就是以《周易》中的卦象為背景考查古典概型的[2]．

本節(jié)課利用書本中的思考內(nèi)容，結(jié)合當(dāng)下新高考中的多選題這一新題型的特點(diǎn)，用古典概型解決了單選題和多選題哪種更難猜對的問題，再指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)腳踏實(shí)地，夯實(shí)基礎(chǔ)，這里便滲透了數(shù)學(xué)學(xué)科德育，既培養(yǎng)了理性思維，又加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念．