融合數(shù)學(xué)思想 促進(jìn)解題教學(xué)
——“用對(duì)稱性解決反比例函數(shù)問(wèn)題”專題教學(xué)

朱 琛 (江蘇省無(wú)錫市第一女子中學(xué) 214002)

1 學(xué)情分析

無(wú)錫市第一女子中學(xué)是無(wú)錫唯一一所只招收女生的特色學(xué)校．本課教學(xué)對(duì)象正是初中部的女生．進(jìn)入初中后，女生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有畏懼心理，她們的數(shù)學(xué)思維能力比較弱，解決問(wèn)題時(shí)的反應(yīng)較慢，因膽小怕出錯(cuò)，數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)參與熱情也不高．目前，學(xué)生的問(wèn)題不僅存在于思維方面，運(yùn)算方面也較薄弱．

2 教學(xué)內(nèi)容解讀

函數(shù)是數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)基本對(duì)象，也是數(shù)學(xué)課程中最為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容．初中階段函數(shù)學(xué)習(xí)的好壞程度，直接影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和信心，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響非常大．

初中階段一共學(xué)習(xí)三種函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)．蘇科版將前兩個(gè)函數(shù)分別安排在八年級(jí)上、下兩冊(cè)．蘇科版八年級(jí)下冊(cè)的反比例函數(shù)不同于八年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)的整式形式的一次函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式是分式形式的，分式的計(jì)算相對(duì)于之前所學(xué)的整式的計(jì)算稍復(fù)雜些，而且反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，相對(duì)于一次函數(shù)圖象是直線又變復(fù)雜了，知識(shí)呈現(xiàn)螺旋上升的狀態(tài)．

可能受知識(shí)系統(tǒng)的局限(涉及一元二次方程的求解是蘇科版九年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容)，蘇科版《反比例函數(shù)》這章只介紹了雙曲線的中心對(duì)稱性，沒(méi)有將雙曲線的軸對(duì)稱性納入其中．就目前所學(xué)能說(shuō)明其對(duì)稱性存在原理，能完整呈現(xiàn)反比例函數(shù)及其圖象的對(duì)稱性，并且還能充分挖掘出蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生對(duì)此進(jìn)行探究，還是值得的．

3 教學(xué)前診斷分析

3.1 學(xué)生認(rèn)知

前期學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念，也進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了反比例函數(shù)解析式中|k|的幾何意義，學(xué)習(xí)了因式分解和分式的計(jì)算，對(duì)數(shù)形結(jié)合和對(duì)稱性(局限于幾何對(duì)稱)有一定的理解，這些為本課的研究奠定了良好的基礎(chǔ)．但因反比例函數(shù)圖象是雙曲線，從直線到曲線的螺旋上升易讓學(xué)生出現(xiàn)求解困惑：圖象變得復(fù)雜，學(xué)生不知如何入手考慮；學(xué)生不會(huì)求解曲線和直線的交點(diǎn)．

3.2 與本課目標(biāo)的差距

對(duì)數(shù)形結(jié)合思想和對(duì)稱思想的感悟，需要學(xué)生具備敏銳的觀察力、準(zhǔn)確的語(yǔ)言表達(dá)、靈活的思維能力和綜合應(yīng)用能力．敢于大膽猜想，進(jìn)而實(shí)施推理論證，這些都是女生所缺乏的，需要重點(diǎn)培養(yǎng)和改進(jìn)．

3.3 應(yīng)對(duì)策略

在進(jìn)行“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”第1課時(shí)教學(xué)時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖和操作，學(xué)生都能觀察出這兩種對(duì)稱性，教師及時(shí)對(duì)她們的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行肯定和表?yè)P(yáng)．將對(duì)稱性問(wèn)題作為專題研究，既實(shí)現(xiàn)乘勝追擊，完整呈現(xiàn)雙曲線的對(duì)稱性，又能在學(xué)生具備一定解決反比例函數(shù)問(wèn)題的能力后，挑戰(zhàn)較難的問(wèn)題，給予她們更多的解題策略和成就感．

教學(xué)目標(biāo) (1)觀看數(shù)學(xué)史中利用對(duì)稱發(fā)現(xiàn)或解決問(wèn)題的事例，感受用對(duì)稱性解決問(wèn)題的簡(jiǎn)捷性和有效性；(2)學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決有關(guān)反比例函數(shù)問(wèn)題；(3)逐步形成良好的數(shù)學(xué)觀察能力，猜想、探究以及歸納問(wèn)題的能力．

教學(xué)重點(diǎn) 進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的代數(shù)特征和幾何特征．

教學(xué)難點(diǎn) 反比例函數(shù)對(duì)稱性的證明及運(yùn)用對(duì)稱性解決有關(guān)反比例函數(shù)問(wèn)題．

4 過(guò)程實(shí)錄

4.1 情境創(chuàng)設(shè)

觀看一段小視頻(形如y=kx+b的直線能畫(huà)出玫瑰線、雅各布線、笛卡爾線、阿基米德線、心臟線等這些美圖)，再展示初二上學(xué)期勾股定理論證中劉徽的“出入相補(bǔ)”原理的證法圖和楊輝三角．

設(shè)計(jì)意圖用靈動(dòng)而美妙的音樂(lè)，配合直線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生各種對(duì)稱圖形的視頻，消除學(xué)生上公開(kāi)課的緊張情緒，使她們的思維活躍起來(lái)，同時(shí)將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引入到本課的課題上來(lái)．展示兩位數(shù)學(xué)家用數(shù)形結(jié)合思想和對(duì)稱思想發(fā)現(xiàn)規(guī)律并解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)“數(shù)學(xué)美”的欣賞，轉(zhuǎn)化到用“數(shù)學(xué)對(duì)稱”來(lái)考慮解決問(wèn)題．

4.2 回顧與思考

師：反比例函數(shù)的關(guān)系式是什么？

板書(shū)：代數(shù)特征：xy=k(k≠0)．

師：反比例函數(shù)的圖象有什么對(duì)稱性？

生(齊)：中心對(duì)稱和軸對(duì)稱．

板書(shū)：幾何特征：中心對(duì)稱和軸對(duì)稱．

4.3 師生共同探究

4.3.1反比例函數(shù)圖象中心對(duì)稱性的探究

師：上面兩種對(duì)稱是通過(guò)畫(huà)圖、操作發(fā)現(xiàn)的，并未進(jìn)行理論論證，所以請(qǐng)大家思考第一個(gè)問(wèn)題：如何論證反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱的？

(學(xué)生沉默思考……)

師：是否存在困難？

生：有困難．

師：如圖1，對(duì)于圖象上任意一點(diǎn)A．

圖1

生1：先考慮點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再考慮此點(diǎn)是否在這條雙曲線的另一支上．

設(shè)計(jì)意圖解決曲線中的全等是學(xué)生暫時(shí)沒(méi)有接觸的一塊領(lǐng)域，所以出現(xiàn)困難是正常的.教師適度提醒，學(xué)生尋思對(duì)策，讓學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)考慮，使學(xué)生獲得了一種解決問(wèn)題的策略．

4.3.2反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性應(yīng)用

生2：(板演)如圖2，構(gòu)造了兩個(gè)矩形，得到矩形的面積都等于6，原式=(x1-x2)(y1-y2)=DF·CE=2OC·2OD=4OC·OD=4×6=24．

圖2 圖3

點(diǎn)評(píng)學(xué)生運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，畫(huà)出圖象后，將點(diǎn)坐標(biāo)的差轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，同時(shí)還運(yùn)用中心對(duì)稱性，結(jié)合圖形的面積來(lái)求解．這充分展現(xiàn)出學(xué)生對(duì)以上思想和方法有了良好的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用能力．

生3：如圖3，利用中心對(duì)稱，得點(diǎn)B(-x1, -y1)，原式=2x1·2y1=4x1y1=4×6=24．

點(diǎn)評(píng)用數(shù)形結(jié)合畫(huà)出圖象，根據(jù)中心對(duì)稱可得點(diǎn)坐標(biāo)的特殊關(guān)系，進(jìn)而再利用代數(shù)特征求值．這同樣展現(xiàn)出學(xué)生將數(shù)形結(jié)合和對(duì)稱性兩種方法融合起來(lái)解決問(wèn)題．將圖3歸納為模型1，方便學(xué)生直觀理解和記憶．

設(shè)計(jì)意圖類(lèi)型1讓學(xué)生感受“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，所以要畫(huà)圖，特別今后遇到更為復(fù)雜的問(wèn)題，圖象能直觀呈現(xiàn)內(nèi)在關(guān)聯(lián)．通過(guò)這種方式操練，使學(xué)生自覺(jué)形成數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的常規(guī)方式：先畫(huà)圖，再觀察研究，有利于學(xué)生后續(xù)獨(dú)立學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成．對(duì)稱性在這里起到關(guān)鍵性的作用，將問(wèn)題解決變得更為簡(jiǎn)單．

4.3.3反比例函數(shù)圖象軸對(duì)稱性的探究

圖4 圖5

師：看到以上問(wèn)題，能否猜想出結(jié)果？

生4：(4,1)．

師：你是如何發(fā)現(xiàn)這個(gè)答案的呢？

生4：根據(jù)軸對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線y=x．

師：能否具體說(shuō)說(shuō)？

生4：如圖5，根據(jù)圖形，可以發(fā)現(xiàn)△OAC≌△BOD，由此可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

師：那么這兩個(gè)三角形又該如何證明全等呢？

此時(shí)學(xué)生答不上來(lái)了．

點(diǎn)評(píng)雖然這位學(xué)生沒(méi)有完美解答出來(lái)，但是她能夠感受到圖形的對(duì)稱帶來(lái)的“相等”，同時(shí)也找到了求點(diǎn)坐標(biāo)的方法，即通過(guò)三角形全等．

筆者將學(xué)生4給出的圖形稍作修改(過(guò)點(diǎn)A，B分別向y軸、x軸作垂線，垂足為C，D，如圖6所示)讓學(xué)生再來(lái)感受軸對(duì)稱性以及全等，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)論證方法了(證略)．

圖6 圖7

利用以上規(guī)律，設(shè)點(diǎn)A為任意一點(diǎn)，即可總結(jié)出雙曲線的軸對(duì)性這一特征．我們將如圖7的軸對(duì)稱模型稱作模型2．(讓學(xué)生觀察模型2，并闡述模型所包含的3個(gè)特征：①兩點(diǎn)A,B都在雙曲線的一支上；②AB所在直線與直線y=x垂直；③點(diǎn)A,B的橫、縱坐標(biāo)輪換.)

設(shè)計(jì)意圖探究雙曲線的軸對(duì)稱性與中心對(duì)稱性的探究類(lèi)似，由于涉及的細(xì)節(jié)多一些，所以將問(wèn)題設(shè)計(jì)成由特殊到一般的方式來(lái)解決，降低了學(xué)生理解和計(jì)算上的困難．在講解中，教師將一次函數(shù)x+y=m和反比例函數(shù)xy=k的兩個(gè)代數(shù)特征結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)代數(shù)式中也存在對(duì)稱．借助反比例函數(shù)圖象，將數(shù)的對(duì)稱(代數(shù)對(duì)稱式)和形的對(duì)稱(幾何對(duì)稱)融合在一起，再次展現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合和對(duì)稱性融合的魅力，這就是本課研究的精華所在．

4.3.4反比例函數(shù)圖象軸對(duì)稱性的應(yīng)用

圖8

A．-1 B．1

生5：通過(guò)觀察，符合軸對(duì)稱模型，所以考慮作對(duì)稱軸直線y=x，即點(diǎn)F,E關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

師：除發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F,E軸對(duì)稱外，聯(lián)系條件AB，你又能發(fā)現(xiàn)什么？

生5：△AOB是等腰直角三角形，所以直線y=x也是它的對(duì)稱軸．

師：如果直線y=x與直線AB的交點(diǎn)為M，你能得到哪些點(diǎn)的坐標(biāo)？

根據(jù)以上提示，學(xué)生依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，依次求出點(diǎn)M,E的坐標(biāo)，最后得出結(jié)果．

設(shè)計(jì)意圖此題考查學(xué)生對(duì)模型的理解記憶能力．學(xué)會(huì)從圖形整體觀察對(duì)稱，從而找出中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式快速得出結(jié)果．解決軸對(duì)稱問(wèn)題，其核心就是找到對(duì)稱軸，學(xué)生在運(yùn)用時(shí)，需注意對(duì)模型3個(gè)特征的整體把握．

圖9

設(shè)計(jì)意圖萬(wàn)變不離其宗．將兩條反比例函數(shù)圖象與菱形結(jié)合起來(lái)考查，提升學(xué)生識(shí)別對(duì)稱性的能力，除學(xué)會(huì)直觀感受(猜想)外，還要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)(符合模型2的部分特點(diǎn))，進(jìn)而促使學(xué)生深入探究(驗(yàn)證)，用所學(xué)知識(shí)(解含字母的方程)來(lái)求A,B坐標(biāo)，并總結(jié)歸納出模型3(圖10)．

圖10

4.4 課堂小結(jié)

對(duì)于反比例函數(shù)及其圖象，我們應(yīng)該關(guān)注其代數(shù)特性和幾何特性，它們都具有對(duì)稱性，學(xué)會(huì)了利用對(duì)稱性解決問(wèn)題，求解也就變得相當(dāng)簡(jiǎn)便．

5 教學(xué)感悟

(1)以課本為主，但不依附于課本編寫(xiě)教案

教科書(shū)是學(xué)生獲取系統(tǒng)知識(shí)的重要工具，也是教師進(jìn)行教學(xué)的主要依據(jù)．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練，使學(xué)生對(duì)客觀世界的各個(gè)方面、對(duì)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的各種形式有一個(gè)基本又相對(duì)完整的認(rèn)識(shí)．教師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，創(chuàng)造性地使用教材，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)資源．在課本“反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)”中提出中心對(duì)稱的基礎(chǔ)上，增加反比例函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性，符合科學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和學(xué)生的可接受性，將兩者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，以學(xué)生可以接受的形式反映出來(lái)，才能使學(xué)生從客觀事物的發(fā)生、發(fā)展中去認(rèn)識(shí)其本質(zhì)．

(2)以學(xué)生認(rèn)知為主，深度學(xué)習(xí)，探究數(shù)學(xué)思想方法

通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)出反比例函數(shù)圖象后，學(xué)生普遍能發(fā)現(xiàn)雙曲線的中心對(duì)稱和軸對(duì)稱這兩種對(duì)稱，而驗(yàn)證方式卻只能停留在折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)的操作方式上．因反比例函數(shù)在歷屆無(wú)錫市數(shù)學(xué)中考中出現(xiàn)機(jī)會(huì)不多，有些教師就覺(jué)得這部分內(nèi)容沒(méi)那么重要，就會(huì)以灌輸式、填鴨式的方式要求學(xué)生記住這兩個(gè)性質(zhì)便可，不再進(jìn)行理論論證(確實(shí)耗時(shí)，需要增加課時(shí)及配套練習(xí)，而且沒(méi)有現(xiàn)成資料)．這種淺層學(xué)習(xí)，太急功近利，不利于學(xué)生的思維發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)及規(guī)律的產(chǎn)生，都是需要靠操作和理論相結(jié)合才能獲得的．只要讓學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過(guò)教師的適當(dāng)引導(dǎo)，獲取解題的經(jīng)驗(yàn)，無(wú)關(guān)成敗，這才是經(jīng)驗(yàn)中“經(jīng)”的意義所在．通過(guò)論證，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性是由個(gè)體(曲線上的任意點(diǎn))的特征獲得整體(雙曲線)的特征；與一次函數(shù)y=-x+m圖象結(jié)合，將代數(shù)對(duì)稱和幾何對(duì)稱之間“數(shù)”與“形”的完美轉(zhuǎn)化體現(xiàn)得淋漓盡致．通過(guò)深度學(xué)習(xí)，學(xué)生才能將已有的概念和經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，上升到數(shù)學(xué)思想的層面，用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題．

(3)以解題為主，學(xué)習(xí)解題，增強(qiáng)解題信心

函數(shù)類(lèi)解題通常由線與線的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)突破．因?yàn)閷W(xué)生認(rèn)知的局限(一元二次方程的求解暫時(shí)沒(méi)有學(xué)習(xí))，所以沒(méi)有進(jìn)行代數(shù)與幾何的對(duì)比解題，這是本課的一個(gè)遺憾．正因?yàn)槭艽鷶?shù)解法的局限，單從幾何直觀發(fā)現(xiàn)對(duì)稱性來(lái)解決，結(jié)果使問(wèn)題解決簡(jiǎn)潔明了．教師設(shè)置同類(lèi)型問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究后作出歸納，用幾何模型形式呈現(xiàn)，使學(xué)生能從較為復(fù)雜的圖形中快速辨別符合條件的特性，以此讓學(xué)生感受對(duì)稱性所帶來(lái)的解題快感．幾何模型運(yùn)用在解題教學(xué)中，將各種信息融合在簡(jiǎn)易圖形中，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，直觀性強(qiáng)，便于學(xué)生記憶理解，是幾何解題中常用的一種解題策略，深受學(xué)生的喜歡．對(duì)于數(shù)學(xué)解題，女生通常畏懼，無(wú)論是作業(yè)練習(xí)，還是考試測(cè)驗(yàn)，通常留空很多．學(xué)習(xí)解題，教師要有良好的示范，要向?qū)W生呈現(xiàn)正確的數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)思想，特別是圖形問(wèn)題，要帶動(dòng)學(xué)生在圖上邊標(biāo)記、邊思考，分清哪些是已知，哪些是未知，思考有什么方法能將這些條件或結(jié)論聯(lián)系起來(lái)……學(xué)習(xí)了對(duì)稱性后，觀察(或構(gòu)造)全等，描出對(duì)稱中心或畫(huà)出對(duì)稱軸都是首先要考慮的，嘗試著畫(huà)一畫(huà)、看一看、量一量，大膽猜想，驗(yàn)證猜想，潛移默化地將這些做法變成數(shù)學(xué)解題的習(xí)慣．理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)解題的過(guò)程就是“直覺(jué)—試探—出錯(cuò)—反思—猜想—證明—反思”的過(guò)程，將少量正確轉(zhuǎn)變成大量正確，甚至完全正確，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題由最初的無(wú)信心轉(zhuǎn)變成有信心．