改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)Schr?dinger方程的散射態(tài)解

陳文利，馮晶晶，胡 艷

(西安培華學(xué)院 智能科學(xué)與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710125)

引言

在非相對(duì)論、相對(duì)論量子力學(xué)的框架下，對(duì)于不同量子系統(tǒng)的精確解研究一直備受關(guān)注，但除氫原子、諧振子和Morse勢(shì)等少數(shù)勢(shì)場(chǎng)，大部分重要的勢(shì)模型沒有精確解，只能采用近似方法來處理并驗(yàn)證其有效性。此外，量子系統(tǒng)的精確解研究幾乎都是針對(duì)束縛態(tài)而不是散射態(tài)的，不同于束縛態(tài)主要研究系統(tǒng)的離散能量本征值和本征態(tài)，散射態(tài)問題更多關(guān)注的是散射粒子的角分布以及散射過程中粒子性質(zhì)的變化。近些年來，許多學(xué)者采用Pekeris類型的近似辦法研究不同勢(shì)場(chǎng)的薛定諤方程散射態(tài)問題，例如，P?schl-Teller[1]、改良Rosen-Morse[2]和變形的Woods-Saxon[3]勢(shì)等。Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)是雙原子分子振動(dòng)能的最佳解析模型之一，在描述中、高轉(zhuǎn)動(dòng)量子數(shù)和振動(dòng)量子數(shù)下的分子動(dòng)力學(xué)時(shí)比Morse勢(shì)場(chǎng)更有效[4-6]。在Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)表達(dá)形式的基礎(chǔ)上加上De(Ch-1/1-Che-bh(r-re))be-bh(r-re)項(xiàng),就構(gòu)建了一個(gè)改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)[7,8]，其表達(dá)式為

(1)

其中，De是離解能，re是平衡鍵長，Ch為優(yōu)化參數(shù)，a,b為勢(shì)常數(shù)(調(diào)整參數(shù))，bh=β(1-Ch),β為Morse常數(shù)。改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)添加了調(diào)整參數(shù)，應(yīng)用范圍更加廣泛。 當(dāng)參數(shù)a=1，b=0時(shí)，改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)退化為標(biāo)準(zhǔn)Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng),對(duì)于b=0,a=1,Ch=e-bhre,bh=α，改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)退化為Morse勢(shì)場(chǎng)。在文獻(xiàn)(7)、(8)中，ONATE研究了該勢(shì)場(chǎng)的束縛態(tài)解析解，驗(yàn)證了不同分子態(tài)的能級(jí)數(shù)值較好的吻合了實(shí)驗(yàn)觀察數(shù)據(jù)，但據(jù)了解，該勢(shì)場(chǎng)的散射態(tài)問題還沒有被討論。本文采用Pekeris類型近似辦法，求解該勢(shì)場(chǎng)的薛定諤方程的散射態(tài)問題，研究其散射振幅的解析性質(zhì)，并將計(jì)算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行了比較。

1 散射態(tài)的近似解析解

帶有改進(jìn)Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)的薛定諤方程表達(dá)式為

(2)

其中，E為系統(tǒng)本征值，設(shè)波函數(shù)為ψnlm(r,θ,φ)=r-1Rnl(r)Ylm(θ,φ)，并代入(1)式化簡(jiǎn)得徑向方程

(3)

由于非線性離心項(xiàng)l(l+1)/r2的存在，僅當(dāng)l=0時(shí)方程可解析求解，Pekeris類型的近似方法被驗(yàn)證是處理離心項(xiàng)的有效近似方法[9,10]。定義x=(r-re)/r，α=bhre,離心項(xiàng)可表達(dá)為

(4)

同時(shí)，離心項(xiàng)也可近似表達(dá)為[11]

(5)

在勢(shì)函數(shù)最小值點(diǎn)r=re處對(duì)(5)式右側(cè)級(jí)數(shù)展開，對(duì)比(4)和(5)近似表達(dá)式級(jí)數(shù)展開形式，可得到Pekeris類型近似表達(dá)式待定系數(shù)：

(6)

將近似表達(dá)式(5)式代入徑向方程(3)式化簡(jiǎn)得

(7)

引入無剛量變量z=eax/(eax-Ch)并代入方程(7)，化簡(jiǎn)得

(1-z)2z2α2R″(z)+z(1-3z+2z2)α2R′(z)+

R(z)=0。

(8)

根據(jù)波函數(shù)的邊界條件z→1(r→∞)，設(shè)徑向波函數(shù)的形式為

R(z)=(1-z)-ik/αzηF(z),

(9)

其中參數(shù)

(10)

將所設(shè)波函數(shù)形式(9)式代入(8)式，可得如下超幾何方程

(11)

F(z)的解可用超幾何函數(shù)表示為

(12)

(13)

式中N為歸一化常數(shù)。

(14)

利用超幾何函數(shù)的變換公式[12]

(15)

(16)

同時(shí)

(17)

將(17)式代入(16)式得

(18)

結(jié)合公式(13)，徑向波函數(shù)可表示為

(19)

比較(19)式和波函數(shù)的漸進(jìn)行為R(x)→2sin (kx-lπ/2+δl)(r→∞)[13]，相移可表示為

(20)

眾所周知，束縛態(tài)的分立能級(jí)相應(yīng)于散射幅的單極點(diǎn)。進(jìn)一步，散射振幅可表示為

(21)

散射振幅作為能量的函數(shù)，其解析延拓到整個(gè)復(fù)平面上[14]，考慮伽馬函數(shù)在整個(gè)復(fù)z平面上不為零，利用伽馬函數(shù)變換公式

(22)

其中，z=0,-1,-2,-3…是Γ(z)的極點(diǎn)，因此，表示為超幾何函數(shù)的波函數(shù)漸近行為也取到極點(diǎn)0,-1,-2,-3，…，即

(23)

結(jié)合方程(6)、(10)，解析求解方程(23)，得到改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)的薛定諤方程本征值滿足的方程：

(24)

2 討論

首先，優(yōu)化勢(shì)參數(shù)a,b取不同的值，改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)函數(shù)可以變形為不同的勢(shì)函數(shù)，以勢(shì)參數(shù)a,b分別為變量，討論其對(duì)本征值的影響。取De=10,a=0.9,b=0.01,bh=0.3,Ch=0.6,?=1,μ=1,圖1為參數(shù)a對(duì)于本征值E的影響變化曲線，從曲線變化趨勢(shì)分析，在不同態(tài)中，本征值E隨著參數(shù)a的增大而增大。圖2為參數(shù)b對(duì)于本征值E的影響變化曲線，在2P態(tài)情況下，當(dāng)-3.61874

圖1 優(yōu)化參數(shù)a對(duì)特征值影響的變化曲線Fig.1 The change curve of the influence of optimization parameter a on the eigenvalue

圖2 優(yōu)化參數(shù)b對(duì)特征值影響的變化曲線

(25)

表1 改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)與改良的Morse勢(shì)場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的本征值數(shù)值對(duì)比情況(De=15,re=0.4,a=1,b=0,Ch=e-bhre)Table 1 Comparison of eigenvalue values between the modified Tietz-Hua potential and the modified Morse potential(De=15,re=0.4,a=1,b=0,Ch=e-bhre)

表2 改進(jìn)的Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)與其退化后的勢(shì)場(chǎng)本征值對(duì)比情況(De=10,re=1.6,Ch=0.6,bh=0.3)Table 2 Comparison of eigenvalue values between the modified Tietz-Hua potential and its degenerated potential(De=10,re=1.6,Ch=0.6,bh=0.3)

在表2中，文獻(xiàn)(7)和文獻(xiàn)(19)中的能級(jí)方程表達(dá)式中含有量子數(shù)的倒數(shù)，量子數(shù)等于零時(shí)，不能得到相應(yīng)的本征值數(shù)據(jù)，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文解析解推導(dǎo)的正確性和有效性。

最后，取勢(shì)參數(shù)De=10,a=0.9,b=0.01,bh=0.3,Ch=0.6,?=1,μ=1，數(shù)值求解了任意l態(tài)的本征值，并和MATHEMATICA程序包所得數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，本文所得數(shù)據(jù)較好的逼近真實(shí)值，見表3。

表3 特征值數(shù)值解Table 3 Numerical results of eigenvalues

3 結(jié)論

散射態(tài)在量子物理還是核物理中都是非常重要的問題，本文采用Pekeris類型的近似辦法處理非線性離心項(xiàng)，解析求解含優(yōu)化參數(shù)的改進(jìn)Tietz-Hua勢(shì)場(chǎng)的薛定諤方程散射態(tài)問題，研究了該勢(shì)場(chǎng)的散射振幅的解析性質(zhì)，利用散射態(tài)的能級(jí)與散射振幅極點(diǎn)的束縛態(tài)的能級(jí)之間的關(guān)系，推導(dǎo)出束縛態(tài)能級(jí)方程。同時(shí)，為了研究優(yōu)化參數(shù)對(duì)于能級(jí)的影響，繪制了優(yōu)化參數(shù)與能級(jí)的變化曲線，給出不同值的優(yōu)化參數(shù)情況下獲得的能級(jí)數(shù)據(jù)與退化后的已求解的模型數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步給出了任意l態(tài)本征值的數(shù)值解，并和MATHEMAICA程序包計(jì)算的真實(shí)值對(duì)比，自洽的驗(yàn)證本文推導(dǎo)的正確性。