白靈

【摘? ?要】對學生使用中美教材自學乘法分配律的結(jié)果分析可知，自學加州版教材（美）后會解釋規(guī)律的學生人數(shù)更多，而自學北師大版教材（中）后會正向應(yīng)用規(guī)律進行簡便計算的效果更好。通過比較，對教材的編寫提出建議：用面積模型作為引入，適當調(diào)整例題題型。

【關(guān)鍵詞】乘法分配律;教材;自學效果

數(shù)學教材作為數(shù)學課程最為重要的資源，直接影響教師的教與學生的學。[1]不同版本的教材都有自己的特點，本研究試圖從實證的角度，分析學生在自學中美教材有關(guān)“乘法分配律”的內(nèi)容后對這一知識的掌握情況，并得到教材編寫的啟示。

一、研究對象與方法

（一）研究對象

考慮到比較對象的典型性和代表性，本文選用的是2013年教育部審定的北京師范大學出版社出版的小學數(shù)學教材（以下簡稱“北師大版教材”）以及由McGraw-Hill公司于2008年出版的California Mathematics（以下簡稱“加州版教材”）。兩個版本教材中“乘法分配律”的教學內(nèi)容如下。

【北師大版教材】

（1）呈現(xiàn)廚房貼瓷磚情境圖（如圖1）。

（2）呈現(xiàn)問題及計算方法。

問題：“貼了多少塊瓷磚？說說你是怎么算的?！?/p>

第一組方法：3×10+5×10? （3+5）×10

第二組方法：4×8+6×8? ? ? （4+6）×8

（3）引導：“觀察上面兩組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？”

（4）引導：“用a、b、c代表三個數(shù)，你能寫出上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？想一想，認一認?！苯o出字母表示“（a+b）×c=a×c+b×c”，并用泡泡圖的方式，請“智慧老人”說“這是乘法分配律”。

（5）引導說明運算律成立（如圖2）。

（6）練習。

【加州版教材】

（注：加州版教材中的文字部分已經(jīng)做了翻譯）

（1）教材左側(cè)用標簽的形式呈現(xiàn)“學習目標：學會在方程和等式里使用分配律”，并提示“5年級標準：在有變量的方程和等式中了解并使用分配律”。

（2）正文第一部分為“小型實驗室”。

先給出問題“任選下面的一種方法，求出兩個矩形面積之和”，然后給出不同的計算方法（如圖3）。

提示語：“你發(fā)現(xiàn)4×（6+3）=36，你也發(fā)現(xiàn)（4×6）+（4×3）=36，所以4×（6+3）=（4×6）+（4×3）。”

操作提醒：“①畫一個模型圖表示2×（4+6）=（2×4）+（2×6）。②寫出一個與2×（5+7）相等的式子，解釋你這樣寫的原因。”

（3）正文第二部分給出關(guān)鍵概念。

先介紹“分配律包含加法和乘法”，然后分別用文字和符號（包括數(shù)字和字母）給出乘法分配律的形式。文字表示大致為：“一個數(shù)乘以和，就是每個加數(shù)分別和括號外的數(shù)相乘?！睌?shù)字與字母的表示為。

（4）正文第三部分是使用分配律的例子，包含計算中的例子和生活中的例子。

計算中的例子是“4×58=4×（50+8）”，并在計算過程中提醒每一步計算的依據(jù)。大致如圖4所示。

生活中的例子是“有超過一千萬人在舊金山的漁人碼頭參觀過蠟像。蠟像博物館的門票是每個學生5美元，公共汽車票是每個學生3美元，30個學生一共應(yīng)付多少美元？”教材同樣呈現(xiàn)了兩種方法，同時在使用分配律計算的時候給出每一步的計算依據(jù)（如圖5）。

（二）研究方法

選取由同一位教師任教的兩個平行班進行等組對比實驗，A班學生使用北師大版教材自學“乘法分配律”內(nèi)容，B班學生使用加州版教材自學“乘法分配律”內(nèi)容，時間為30分鐘，無引導和討論，在自學前后進行檢測。兩次檢測收回有效問卷為A班（51/50）、B班（49/47）。對學生的回答按統(tǒng)一標準分類、統(tǒng)計數(shù)據(jù)后進行分析比較。

二、研究結(jié)果與分析

乘法分配律是客觀存在的運算規(guī)律，兩個版本教材的呈現(xiàn)均重點著力于規(guī)律的表示、解釋和應(yīng)用三個方面。因此，本研究聚焦以下四個主要問題。

（一）兩個班級會表示規(guī)律的人數(shù)是否有差異

會表示規(guī)律指學生能用自己喜歡的方式正確表示乘法分配律，可以是文字描述、符號表達等方式。A班在自學前、后能正確表示規(guī)律的人數(shù)分別為6人、28人，B班分別為4人、31人。

對比兩組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩個班級在自學前會表示規(guī)律的人數(shù)差異不顯著[c2（1，N=100）=0.360，p>0.05]，表示兩個班具有可比性，在自學后差異也不顯著[c2（1，N=97）=1.008，p>0.05]。

以上分析說明，這兩個版本的教材對學生自學后是否會表示乘法分配律無顯著影響，可能是因為學生在學習交換律和結(jié)合律時，積累了大量表示規(guī)律的經(jīng)驗，所以對這一內(nèi)容較易遷移掌握;雖然在“表示規(guī)律”的呈現(xiàn)上，加州版教材多了文字描述這一內(nèi)容，但分析學生的回答后發(fā)現(xiàn)，即使是用加州版教材自學的學生，也只有個別愿意選擇用文字描述規(guī)律，且很難描述清楚。由此看來，用文字描述規(guī)律對小學生來說的確太過困難，所以北師大版教材對這一內(nèi)容并沒有要求[4]。

（二）兩個班級會解釋規(guī)律的人數(shù)是否有差異

會解釋規(guī)律指學生對乘法分配律的等式能做出正確的意義解釋。A班在自學前、后能做出正確解釋的人數(shù)分別為3人、20人，B班分別為3人、30人。

對比兩組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩個班級在自學前會表示規(guī)律的人數(shù)差異不顯著[c2（1，N=100）=0.003，p>0.05]，表示兩個班具有可比性，在自學后B班會解釋規(guī)律的人數(shù)顯著高于A班[c2（1，N=97）=5.508，p<0.05]。

也就是說，自學加州版教材后，能正確解釋規(guī)律的人數(shù)更多。

（三）兩個班級的學生解釋規(guī)律的方法是否有差異

在解釋規(guī)律方面，兩個班級有顯著差異，那么在方法上是否也有差異呢？由于兩個版本教材在“規(guī)律解釋的方法”呈現(xiàn)上有不同側(cè)重，學生共出現(xiàn)了以下五種解釋方法：計算結(jié)果、點子圖、乘法意義、面積模型、生活實例（如圖6），其中后四種為正確的意義解釋方法。

通過以上對比分析可以發(fā)現(xiàn)，在解釋規(guī)律時，使用加州版教材自學的學生正確人數(shù)多但方法單一，使用北師大版教材自學的學生正確人數(shù)少但方法多元，這和教材的呈現(xiàn)內(nèi)容不無關(guān)系。加州版教材先由面積模型引入，緊接著設(shè)置兩個小問題啟發(fā)學生模仿使用面積模型解釋規(guī)律，集中的練習使學生對這一方法掌握牢固。而北師大版教材對規(guī)律的引入和解釋相互獨立，學生可能對內(nèi)容之間的聯(lián)系似懂非懂，所以雖然有用點子圖和乘法意義解釋規(guī)律的學生，但數(shù)量卻不多。從乘法意義的角度理解規(guī)律，北師大版教材在二、三年級已有鋪墊，但學生自學后掌握的情況依舊不樂觀，可能是鋪墊時并沒有出現(xiàn)“乘法分配律”這個名稱，讓學生在自學時難以對舊知實現(xiàn)自動鏈接。

（四）兩個班級的學生會應(yīng)用規(guī)律的人數(shù)是否有差異

在規(guī)律的應(yīng)用方面，本研究主要考查兩個方面：第一，應(yīng)用乘法分配律進行簡便計算，包括規(guī)律的正向和逆向應(yīng)用。對于a×（b+c）=a×b+a×c，將等式左邊轉(zhuǎn)化為右邊的形式進行計算稱為正向應(yīng)用，逆向應(yīng)用則剛好相反;第二，結(jié)合規(guī)律解決實際問題。對給出的諸如服裝購買的問題，學生能否給出兩種解法并做出正確的意義解釋。

1.應(yīng)用規(guī)律簡算的人數(shù)是否有差異

兩個班級在自學前、后會應(yīng)用規(guī)律進行簡便計算的人數(shù)如表2所示。

兩個版本教材均有一道正向應(yīng)用規(guī)律的計算例題，而學生運用北師大版教材自學時正向應(yīng)用規(guī)律簡算方面的效果更好，這或許與數(shù)據(jù)選擇有關(guān)。北師大版教材的例題在使用乘法分配律時明顯降低了計算的難度，使得學生在自學時對規(guī)律的簡算用途更加明確，當題中出現(xiàn)特殊的“配對數(shù)字”時，學生馬上就能提取規(guī)律加以應(yīng)用。而加州版教材的例題，即使不用乘法分配律也能口算得出答案，所以學生反而忽略了規(guī)律的應(yīng)用。在逆向應(yīng)用方面，加州版教材雖然沒有相關(guān)例題，但兩個班級差異不顯著，可能學生用不完全歸納法表示規(guī)律時，已有了觀察算式“形”的經(jīng)驗，對算式中出現(xiàn)相同乘數(shù)時已能自主逆向應(yīng)用規(guī)律進行簡算。

2.應(yīng)用規(guī)律解決實際問題的人數(shù)是否有差異

A班在自學前、后能正確解決實際問題的人數(shù)分別為5人、8人，B班為6人、11人。

對比兩組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩個班級在自學前會應(yīng)用規(guī)律解決實際問題的人數(shù)差異不顯著[c2（1，N=100）=0.152，p>0.05]，表示兩個班具有可比性，在自學后差異也不顯著[c2（1，N=97）=0.843，p>0.05]。

以上分析說明，不同版本的教材對學生自學后是否會正確解決實際問題并無顯著影響。分析學生的回答發(fā)現(xiàn)，大部分學生只會使用一種方法且難以與乘法分配律相聯(lián)系，可能教材呈現(xiàn)的大多是規(guī)律的符號性應(yīng)用，而從實際意義的角度理解規(guī)律并加以應(yīng)用的內(nèi)容，對學生來講自學難度比較大，需要教師在教學時加以點撥啟發(fā)后學生才能掌握。

三、啟示

通過上述分析，得到對我國“乘法分配律”教材編寫的兩點啟示。

（一）可用面積模型作為引入

通過對比發(fā)現(xiàn)，相較于北師大版教材鋪瓷磚的生活情境，加州版教材以面積模型引入，直觀簡潔，學生自學效果更好，且在解釋規(guī)律時，B班學生對面積模型的運用也更靈活。因此，我國教材可以生活情境為背景，配合出示面積模型作為引入，既能降低自學難度，也對規(guī)律解釋的方法做了補充。如先呈現(xiàn)面積模型，在學生充分理解的基礎(chǔ)上，再向乘法意義、生活原型等方法發(fā)散，促進方法間的融會貫通，加深對規(guī)律的多元理解。

（二）適當調(diào)整例題題型

在應(yīng)用規(guī)律解決實際問題方面，兩個版本的教材，學生自學效果均不理想，即使加州版教材還有一道類似的例題，也并沒有表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢，說明學生在這類問題的自學上存在較大困難，并且對于逆向應(yīng)用規(guī)律進行簡便計算，學生似乎能“無師自通”。而北師大版教材僅出示兩道計算例題，將解決生活實際問題全部放在習題中，無疑增加了這類問題的理解難度。因此，建議前移實際問題，以此作為例題，將逆向應(yīng)用規(guī)律放在習題中，提高例題的“效率”，讓教學重點更加突出。

參考文獻：

[1] 胡典順，薛亞喬，王明巧.中國和美國小學數(shù)學教材中問題提出的比較研究[J].數(shù)學教育學報，2016，25（4）：37-41.

[2]劉堅，孔企平，張丹.義務(wù)教育教科書數(shù)學（四年級上冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[3]Macmillan McGraw–Hill Education. California Mathematics（Grade 5）[M]. NewYork：MacmillanMcGraw–Hill Education，2008.

[4] 劉堅，孔企平，張丹.義務(wù)教育教科書教師教學用書數(shù)學四年級上冊[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

（廣東省深圳市寶安區(qū)安樂小學? ?518101）