導數(shù)中的恒成立問題探索

賀香惠

【摘要】導數(shù)是數(shù)學當中非常重要的內容，它為研究函數(shù)的性質提供了強有力的工具，在高中階段是一項重點教學內容.導數(shù)題目在歷年高考中頻繁出現(xiàn)并且占據(jù)較大分值，在大學高等數(shù)學中，導數(shù)雖然不再作為教學內容，但是在解答其他題目中會經(jīng)常用到.本次研究中對導數(shù)恒成立問題進行分析.

【關鍵詞】高中數(shù)學;導數(shù);隱零點;恒成立

一、引 言

高考數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)導數(shù)恒成立題目，并且占據(jù)較大分值.導數(shù)恒成立題目可以系統(tǒng)地檢驗學生對導數(shù)知識的掌握情況，同時考查了學生的邏輯推理能力、運算能力、歸納整合能力，包括一系列數(shù)學思想，也滲透數(shù)學的核心素養(yǎng).導數(shù)恒成立在數(shù)學中屬于難度系數(shù)較大的題目，教師在日常教學中通常會使用通性通法解答導數(shù)恒成立題目，通性通法的實質性原則就是將導數(shù)恒成立問題轉化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結合對函數(shù)的單調性與極值進行研究分析，值得注意的是，在解答導數(shù)恒成立題目時需要區(qū)分好能成立、恰成立之間的區(qū)別.

二、函數(shù)性質

通過將導數(shù)恒成立問題轉化為函數(shù)問題，分析函數(shù)性質進而解決問題可以進一步促進學生對題目的理解與掌握[1].運用函數(shù)性質解答題目需要重點分析函數(shù)的單調性、極值、最值，以求解導數(shù)恒成立問題.

題目1：求證：ln x+1x≤1恒成立.

證明不等式恒成立問題，可以轉化為對應函數(shù)的最大值問題，可以令f（x）=ln x+1x，求導函數(shù)f ′（x），得到f ′（x）=-ln xx2，由導數(shù)性質得知，在（0，1）區(qū)間內導數(shù)為正，（1，+∞）區(qū)間內導數(shù)為負.故當x=1時，函數(shù)求得極大值[2].在定義域內，如果有唯一的極大值，那么函數(shù)的極大值與最大值是相等的，因此，進一步得知函數(shù)最大值f（1）=1，得證.

三、構造函數(shù)

構造函數(shù)在解答許多函數(shù)題目的過程中都會被運用，實質上就是對不等式兩端進行整合處理，經(jīng)整合后一個新的函數(shù)由此誕生，整合得出的函數(shù)可以用于解決題目問題[3].

可以使用構造函數(shù)的方法解答兩個函數(shù)與導數(shù)恒成立問題.常見的函數(shù)恒成立問題主要有以下類型：f（x）≥g（x）與f（x）-g（x）≥0性質一致，f（x）≤g（x）與f（x）-g（x）≤0性質一致.

題目2：在定義域內恒成立問題可轉化為ln x≤x-1恒成立，即ln x-x+1≤0恒成立，在此基礎上使用構造函數(shù)進行解答.在構造函數(shù)思想下，不等式恒成立問題被轉化為函數(shù)單調性問題，分析函數(shù)的相關性質，使導數(shù)恒成立題目難度適當下降，答題失誤率也有所下降.

恒成立問題除了證明以外，還有很多在恒成立的條件下，求參數(shù)范圍的問題，也可以采用構造函數(shù)的思路進行討論，討論新構造的函數(shù)的性質問題.

題目3：設函數(shù)f（x）=ex-e-x.若對所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍.

解：令g（x）=f（x）-ax，則g′（x）=f ′（x）-a=ex+e-x-a.

（1）若a≤2，當x>0時，g′（x）=ex+e-x-a>2-a≥0，故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

∴x≥0時，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax.

（2）若a>2，方程g′（x）=0的正根為x1=lna+a2-42.

此時，若x∈（0，x1），則g′（x）<0，故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù).

∴x∈（0，x1）時，g（x）

綜上，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，2].

構造新函數(shù)解決問題也是數(shù)學中轉化思想的重要應用，在這個過程中提高了學生的邏輯思維能力，提升了數(shù)學素養(yǎng).

四、參變分離

有些恒等式中含有參數(shù)，通常會使用離散變量的方法，其本質是通過同解變形的方式分離題目參數(shù)中的主元、方程、不等式，目的是使函數(shù)關系更加明顯，進一步使用函數(shù)關系解答題目可降低答題難度[4].

對于解答函數(shù)恒等式的題目來說，分離變量是一種常用的重要方法.使用分離變量解答題目的好處在于，可以有效地將函數(shù)中的參數(shù)消除，進一步轉化為具體參數(shù)，以簡化題目.

題目4：若不等式1+1nn+a≤e對任意的n∈N都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求a的最大值.我們可以嘗試將題目轉化為（n+a）ln1+1n≤1，由1+1n>1，知a≤1ln1+1n-n，求確定函數(shù)G（x）=1ln（1+x）-1x的最大值問題.

但是，有的時候參變分離后函數(shù)的最值問題不容易求出，這個時候需要用到求二階導數(shù)，隱零點求最值.比如，參變分析之后得到a≤ex-ln xx-1x.

令h（x）=ex-ln xx-1x，h′（x）=x2ex+ln xx2，但是一階導數(shù)的根不容易找到，再令g（x）=x2ex+ln x，容易判斷g（x）為增函數(shù)，且有一個零點，不妨設為x0，則使得x20ex0+ln x0=0，即x0=ln1x0，h（x）min=h（x0）=ex0-ln x0x0-1x0=1.為了加強對隱零點的熟練應用，還可以做一些變式練習.

五、洛必達法則

還有很多是題目參變分離之后無法用常規(guī)的方法求解的最值問題，尤其是端點值無意義的時候，我們需要用到洛必達法則.由洛必達法則可知，函數(shù)f（x），g（x）滿足：

（1）lim f（x）x→a=lim g（x）=0x→a.

（2）a點的某去心鄰域中，均有f ′（x），g′（x），同時g′（x）≠0.

（3）limx→af ′（x）g′（x）=A，即limx→af（x）g（x）=limx→af ′（x）g′（x）=A.

可以對分子、分母分別求導、極限，從而對未定式的值進行確定，這就是洛必達法則.

值得注意的是，在解題過程中運用洛必達法則是對分子、分母分別求導，不是對商求導，求導結束后進一步求極限得到最值[5].高中階段的同學已經(jīng)具備接受洛必達法則的能力，如果在實際解題過程中運用洛必達法則，那么將大大提高解題效率.

使用洛必達法則解題時大致思路如下：

lim g（a）=lima→1ln12+a21-a2

=lim121+a-1-2a=lima→111+a-2a-1=-12-2=14.

通過洛必達法則可以快速得出a在趨近于1的情況下函數(shù)的極限值.

在解題過程中使用洛必達法則可以在一定程度上降低計算量，增強學生解題信心[6].一些同學并不擅長使用函數(shù)性質、構造函數(shù)、參變分離的方法對導數(shù)恒成立問題進行解答，因此，教師在實際教學過程中可以向學生拓展洛必達法則解答題目，有效彌補了部分學生的解題障礙.

六、高中階段導數(shù)教學策略

1.先學后教

在新課程教育背景下，“分數(shù)至上”的應試教育理論正在逐漸被淘汰，應試教育下老師講學生聽這種模式也在漸漸被替代.先學后教，就是給學生更多的自我思考與學習機會，先學實質上就是學生在課前進行深度的預習，將自我學習過程中不明白的問題記錄下來，帶著問題去上課.這種教學方法是可以實現(xiàn)老師與學生雙贏的一種途徑，既提升了學生的學習效率，也提升了教師的教學效率.對于學生已經(jīng)自我領會的知識點，教師在課堂上不再需要重點解析，而對于學生有異議的知識點，教師需要在課堂上予以重點解答.

2.與實際生活相結合

數(shù)學作為一門自然科學與實際生活中的種種現(xiàn)象是密不可分的.實質上，高中數(shù)學中的導數(shù)就是物體的變化率，而物體變化率又涉及高中物理學中的平均速度，借助物理學講解數(shù)學導數(shù)可以構建出更多生動的教學應用場景.除物理學外，在經(jīng)濟學中也涉及許多關于導數(shù)的知識[7].所以說，教師在講解導數(shù)時不要把導數(shù)僅僅看作考試題目、數(shù)學知識，而要盡可能與物理現(xiàn)象、經(jīng)濟現(xiàn)象等貼近生活實際的問題構建聯(lián)系，讓學生學習導數(shù)不再機械化，而是學以致用.

3.注重培養(yǎng)學生的抽象思維

在新課程教育背景下，教師需要賦予學生更多探索問題的機會與時間.學生經(jīng)過自主學習掌握了導數(shù)的定義，明確了導數(shù)的實質性問題是對物體瞬時變化率的描述，理解了導數(shù)的思想與意義.教師需要培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解答生活中的問題，培養(yǎng)其抽象思維，這樣不僅使學生進一步鞏固了數(shù)學知識點，也實現(xiàn)了對數(shù)學知識的應用.

4.強化學生推理論證能力

導數(shù)恒成立是高中數(shù)學階段重點教學內容，也是高考數(shù)學重點題目.函數(shù)的單調性與導數(shù)恒成立之間有著密切的聯(lián)系.在學習函數(shù)單調性的過程中，教師就可以借助函數(shù)單調性引導學生了解導數(shù)恒成立問題，幫助學生實現(xiàn)深入學習，使學生的推理能力得到提升.學生憑借強大的推理能力可以提升并掌握知識之間的關聯(lián)性能力.

5.日常重視總結解題規(guī)律

導數(shù)恒成立是高考重點題目，因此，歷年的高考數(shù)學中導數(shù)相關題目占據(jù)較大的分值，并且導數(shù)恒成立一般會作為解答題，占據(jù)的分值在15—20范圍內.高考題型變幻莫測，很難保證在考試中遇到前所未見的題目，但是千變萬化的題型終究離不開導數(shù)的本質.因此，學生需要注重對導數(shù)本質的理解，同時，在日常學習中注重對導數(shù)題目解題規(guī)律、技巧的總結.當總結一定的規(guī)律、技巧后，再結合導數(shù)的本質，面對任何類型的導數(shù)題目時都會應付自如.

七、建 議

對于高中數(shù)學階段解答導數(shù)恒成立相關問題時，本次研究提出以下建議：

1.學生的課堂地位

在數(shù)學課堂上，教師需要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維.而要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，教師在課堂上就不能限制學生的思維，需要賦予學生充分的課堂主體地位，調動學生積極思考，并以探索的方式嘗試用多種方法解答題目.

2.課后的反省與總結

在每一次數(shù)學課結束后，學生需要對課堂內容積極地進行反思和總結，不要僅僅拘泥于教師的解題方法與思路，而要在課后總結中發(fā)現(xiàn)一定的創(chuàng)新之處，最終發(fā)掘真正適合自己的方法.

3.教師引導

在大學階段，學生需要面臨高等數(shù)學的學習.高中數(shù)學還屬于初等數(shù)學階段，因此，在高中階段學好數(shù)學對于學習高等數(shù)學具有鮮明的指導作用.

八、結束語

導數(shù)恒成立問題是數(shù)學學習中一個重要的知識點，在高中數(shù)學教學中是重點教學內容，在高考數(shù)學中占據(jù)較大分值.歷年高考中關于導數(shù)恒成立題目的變化層出不窮，讓許多考生防不勝防，但是，只要學生在學習中抓住了導數(shù)恒成立問題的本質，就可以輕松解答問題.本次研究中對導數(shù)中的恒成立問題進行探索，首先舉例使用函數(shù)性質對導數(shù)恒成立進行解答;使用構造函數(shù)的方式解答導數(shù)恒成立題目;有些導數(shù)當中含有參數(shù)討論，對于這些問題本次研究提出使用離散變量的方式對題目進行解答.除上述方法外，本次研究還提出了洛必達法則，相比其他的解題方法，使用洛必達法則解答導數(shù)恒成立題目可以更加簡便、精確.

【參考文獻】

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[3]鄧慧麗.高中導數(shù)應用試題題型的分析與研究[D].西安：西北大學，2018.

[4]馬曉紅.導數(shù)：求參數(shù)的取值范圍的利器[J].科技經(jīng)濟導刊，2016（31）：136-137.

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