馮 源，危 婷

(太原師范學院 數(shù)學系，山西 晉中 030619)

0 引言

1965年,Zadeh[1]提出了模糊集的概念，發(fā)表的Fuzzy Set奠定了模糊集理論的發(fā)展基礎.之后Atanassov[2]提出直覺模糊集，它拓展了模糊集的概念，同時考慮了三方面的信息,包括隸屬度、非隸屬度和猶豫度.對于屬性間存在關聯(lián)性的這類問題，Xu[3]和Tan[4]將Choquet積分引入直覺模糊集上并進行了應用.徐澤水[5]系統(tǒng)研究了直覺模糊集的相關理論.但是由于直覺模糊集的隸屬度和非隸屬度只能取精確實數(shù)，所以不能處理不確定信息.Smarandache[6]將不確定度加入直覺模糊集提出了中智集的理論，再之后Wang 和 Smarandache[7]等在中智集理論的基礎上提出了單值中智集的具體概念，并對它相關的運算規(guī)則和性質(zhì)進行研究和討論.為解決有關多屬性決策問題，Ye[8-9]構(gòu)造了單值中智集和區(qū)間中智集的交叉熵.對于單值中智集屬性相關聯(lián)的決策問題，韓莉莉[10]引入了Choquet積分來進行研究分析.

生活中存在許多評價并不能用精確的數(shù)字來表示，比如好、很好這類評價方式，關于這類評價，Zadeh[11]最早提出采用語言變量來描述偏好信息，并引發(fā)關注.譚春橋[12]引入Choquet積分對語言環(huán)境下的決策進行了研究應用，劉寧元[13]又將語言集拓展為直覺語言集，并結(jié)合TODIM方法對相關決策問題進行了討論.Ye[14]在基于中智集的概念又引申提出了單值中智語言集；郭子雪[15]、范建平[16]對單值中智語言環(huán)境下的決策方法進行了研究.Gomes和Lima[17]提出的TODIM決策方法通過比較各個方案的優(yōu)勢度再計算出全局優(yōu)勢來判斷方案的優(yōu)劣.

基于此，首先給出了關于單值中智語言集的相關概念以及它的定義運算，然后定義了單值中智語言集的Choquet積分算子并討論其性質(zhì)，再結(jié)合TODIM方法給出了考慮決策者心理行為屬性相關聯(lián)的多屬性群決策方法，最后結(jié)合一個算例進行運用，從而證明此法的有效性與可行性.

1 基本知識

首先給出單值中智語言集的基本概念，如下所示：

定義1[14]設X={x1,x2,…,xn}為給定的論域，S={s1,s2,…,sl}為有限且完全有序的離散語言術語集，單值中智語言集A定義為

A={}

其中，xi∈X,sθA(xi)∈S,TA(xi)∈[0,1],IA(xi)∈[0,1],FA(xi)∈[0,1].TA(xi),IA(xi),FA(xi)分別表示xi在X為sθA(xi)的真實度，不確定度，謬誤度，對任意的xi∈X，均有0≤TA(xi)+IA(xi)+FA(xi)≤3.A可以看作是單值中智語言數(shù)的集合，若A中只有一個元素則可稱A為單值語言數(shù).

定義2[15]設a=〈sθ(a),(T(a),I(a),F(a)〉是單值語言數(shù)，那么a的得分函數(shù)s(a)定義為

s(a)=sθ(a)(T(a)+1-I(a)+1-F(a))

精確度函數(shù)h(a)定義為

h(a)=sθ(a)(T(a)-F(a))

根據(jù)定義2所給的得分函數(shù)和精確度函數(shù)，可以得到如下兩個單值中智語言數(shù)的比較方法.

定義3[15]設a=〈sθ(a),(T(a),I(a),F(a)〉和b=〈sθ(b),(T(b),I(b),F(b)〉為兩個單值中智語言數(shù)，那么他們之間的比較方法如下：

(I)如果s(a)>s(b)，則a大于b，記為a?b.

(II) 如果s(a)=s(b),h(a)=h(b)，則a等于b，記為a～b.

(III) 如果s(a)=s(b),h(a)

定義4[14]設a=〈sθ(a),(T(a),I(a),F(a)〉和b=〈sθ(b),(T(b),I(b),F(b)〉為兩個單值中智語言數(shù)，λ>0，那么單值中智語言數(shù)的運算定義如下:

(II)a?b=〈sθ(a)×θ(b),(T(a)T(b),I(a)+I(b)-I(a)I(b),F(a)+F(b)-F(a)F(b)〉

(III)λa=〈sλθ(a),(T(a),I(a),F(a)〉

(IV)aλ=〈sθλ(a),(Tλ(a),1-(1-I(a))λ,1-(1-F(a))λ)〉

2 單值中智語言Choquet積分算子

為解決單值中智語言環(huán)境下屬性間相關聯(lián)的群決策問題，需要運用Choquet積分，在這里嘗試提出單值中智語言集的Choquet積分平均算子.首先為了描述決策屬性的重要性以及決策屬性間的交互作用，在這里我們采取λ測度來描述.λ測度的定義如下：

定義5[10]設λ∈(-1,∞)，稱非空有限集X上的集函數(shù)gλ:P(X)→[0,1]為λ測度，如果gλ(X)=1，且對任意兩個不交子集A,B，有

gλ(A∪B)=gλ(A)+gλ(B)+λgλ(A)gλ(B)

如果λ=0，則為經(jīng)典的概率測度.

根據(jù)定義4的運算規(guī)則我們可定義出單值中智語言Choquet積分平均算子.

定義6設αi=(i=1,2,…,n)為定義在X上的一組單值中智語言數(shù)，μ為X={x1,x2,…,xn}上的λ模糊測度，則單值中智語言Choquet積分平均算子(SVNLCWA)可以定義為：

(1)

它是Ωn到Ω的映射，其中Ω為單值中智語言集；(·)為集合X上的一個置換，使得α(x(1))≤…≤α(x(n))，X(i)={x(i),…,x(n)}，X(i)={x(i),…,x(n)},X(n+1)=φ.當λ=0，即X中的元素互相獨立時，單值中智語言Choquet平均算子即為單值中智語言有序加權平均算子.

定理1設αi=〈sθ(αi),(T(αi),I(αi),F(αi)〉(i=1,2,…n)為定義在X上的一組單值中智語言數(shù)，μ為X={x1,x2,…,xn}上的λ測度，則上式的計算結(jié)果仍然是單值中智語言數(shù)，即

(2)

其中，(·)為集合X上的一個置換，使得α(x(1))≤…≤α(x(n))，X(i)={x(i),…,x(n)}，X(n+1)=φ.

此等式用數(shù)學歸納法即可證得.

同樣根據(jù)定義4的運算規(guī)則我們可定義出單值中智語言Choquet積分幾何平均算子.

定義7設αi=(i=1,2,…,n)為定義在X上的一組單值中智語言數(shù)，μ為X={x1,x2,…,xn}上的λ測度，則單值中智語言Choquet積分幾何平均算子(SVNLCWG)可以定義為：

(3)

它是Ωn到Ω的映射，其中Ω為單值中智語言集；(·)為集合X上的一個置換，使得α(x(1))≤…≤α(x(n))，X(i)={x(i),…,x(n)}，X(n+1)=φ.當λ=0，即X中的元素互相獨立時，單值中智語言Choquet積分幾何平均算子即為單值中智語言有序加權幾何平均算子.

定理2設αi=〈sθ(αi),(T(αi),I(αi),F(αi)〉(i=1,2,…,n)為定義在X上的一組單值中智語言數(shù)，μ為X={x1,x2,…,xn}上的λ測度，同理也可得上式的計算結(jié)果仍然是單值中智語言數(shù)，即

(4)

其中，(·)為集合X上的一個置換，使得α(x(1))≤…≤α(x(n))，X(i)={x(i),…,x(n)}，X(n+1)=φ.

我們可以證得上述算子具有以下性質(zhì)：

證明：

即證，同理可以證明SVNLCWG的置換不變性.

性質(zhì)2：若單值中智語言數(shù)αi=α(i=1,2,…,n)，則

SVNLCWA(α1,α2,…,αn)=α；SVNLCWG(α1,α2,…,αn)=α

證明：

即證.

證明：

SVNLCWA(α′1,α′2,…,α′n)=SVNLCWA(α′1,α′2,…,α′n)≤

即證.同理可證SVNLCWG的單調(diào)性.

3 單值中智語言環(huán)境下屬性相關的群決策方法

為了方便表示計算步驟，先給出如下假設：

(5)

(6)

步驟3：根據(jù)屬性集的模糊測度μ(am)，根據(jù)式(6)計算出λ2，以及屬性集合的模糊測度μ(Am)，并由定義2中的得分函數(shù)計算出每個屬性下群體決策矩陣R的得分函數(shù)s(rij)

步驟4：計算方案xi的優(yōu)勢度矩陣Φ=[φ(xi,xt)]n×n．對于屬性Aj，備選方案xi與xt的優(yōu)勢度計算如下：

(7)

(8)

(9)

μ(aσ(j))=μ(Aσ(j))-μ(Aσ(j+1)),Aσ(j)={aσ(j),…aσ(m)},μ(Aσ(m+1))=0

式子(8)中θ為損失規(guī)避系數(shù)，θ越小，表明決策者的損失規(guī)避程度越高.這里的d為單值中智語言集間的Hamming距離，由Hamming距離的概念我們可以定義兩個單值中智語言數(shù)a=〈sθ(a),(T(a),I(a),F(a)〉和b=〈sθ(b),(T(b),I(b),F(b)〉間的Hamming距離為：

d(a,b)=|θ(a)T(a)-θ(b)T(b)|+|θ(a)I(a)-θ(b)I(b)|+|θ(a)F(a)-θ(b)F(b)|

步驟5：計算每個方案全局優(yōu)勢度.

(10)

4 算例分析

D(1)=

D(2)=

D(3)=

步驟1：規(guī)范化決策矩陣，由于都是效益型屬性，所以不需要規(guī)范化.

步驟2:根據(jù)專家的模糊測度以及式子(6)計算出λ1以及專家間的關聯(lián)模糊測度：

λ1=-0.443,μ(e1,e2)=0.729,μ(e1,e3)=0.729,μ(e2,e3)=0.729,μ(e1,e2,e3)=0.729,

然后利用SVNLCWA算子進行計算，即式(2)對專家的決策矩陣R(k)n×m進行集結(jié)，得到

步驟3：根據(jù)屬性集的模糊測度由式(6)計算出λ2=-0.2371以及屬性集合的模糊測度

μ(c1,c2)=μ(c1,c3)=μ(c2,c3)=0.579,μ(c1,c2,c3)=0.839

μ(c1,c2,c4)=μ(c1,c3,c4)=μ(c2,c3,c4)=0.752,μ(c1,c2,c3,c4)=1

以及得分函數(shù)

步驟4：根據(jù)式(7)計算優(yōu)勢度矩陣

步驟5：根據(jù)式(10)計算每個方案的全局優(yōu)勢度ζ(x1)=0,ζ(x2)=1,ζ(x3)=0.774,ζ(x4)=0.417，因為x2?x3?x4?x1，所以供應商2為最優(yōu)的供應商.

5 總結(jié)

本文定義了單值中智語言集的Choquet積分算子來解決單值中智語言集屬性相關聯(lián)的情況，然后結(jié)合TODIM方法來進行相關的多屬性群決策問題.本文算例是在文獻[10]的算例基礎上進行改編，引入語言集以及專家的模糊測度，運用此文提出的方法來進行解決，同樣我們得到供應商2為最優(yōu)選擇，供應商1為最差選擇，這與原算例結(jié)果相同，這表明雖改變一定的評判數(shù)值但并未改變結(jié)果，充分說明了供應商2綜合實力的優(yōu)等性與供應商1的差等性，中間兩個供應商的綜合實力判斷略有不同，這即是引入語言集以及對專家的權重改變造成的.同時也證明了本文所提方法的有效性與可行性.

對于直覺模糊語言集的研究文章已經(jīng)比較多，但將語言集引入中智集內(nèi)的相關研究還比較少，在此文我們對屬性間存在相關性的單值中智語言集進行了研究，并結(jié)合TODIM方法來做決策判斷，在未來我們還可以聯(lián)系更多的方法，例如逼近理想排序法(TOPSIS)，選擇消去法(ELECTRE)等，不斷豐富對于單值中智語言環(huán)境下的群決策理論.