潘 婧，潘江揚(yáng)，龔子瑤，吳天兵，王 含，藍(lán) 郁

（衡陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，湖南衡陽 421002）

曹原等在魔角石墨烯中發(fā)現(xiàn)了超導(dǎo)電性［1，2］，使人們對石墨烯等材料及其超導(dǎo)電性的研究再次升溫.石墨烯是具有蜂巢形狀晶格的真正二維材料，有很多新奇特性［3，4］.石墨烯的超導(dǎo)電性和高溫超導(dǎo)體銅氧化物的超導(dǎo)電性有著各種相似的以下特性：（1）銅氧化物超導(dǎo)體是準(zhǔn)二維材料［5］，而石墨烯則是完美的二維材料［6］；（2）銅氧化物超導(dǎo)體的母體化合物是莫特絕緣體［7］，而石墨烯中實現(xiàn)的半滿絕緣態(tài)和莫特絕緣體幾乎是完全一致的［1］；（3）魔角石墨烯超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度隨載流子濃度變化的相圖呈拋物線形［1］，這與銅氧化物超導(dǎo)體的相圖也幾乎一樣.銅氧化物超導(dǎo)的母體化合物具有反鐵磁序長程序，對其進(jìn)行化學(xué)摻雜則使反鐵磁長程序消失，但仍然保留反鐵磁短程關(guān)聯(lián)，隨著摻雜濃度的增加出現(xiàn)超導(dǎo)電性，最后超導(dǎo)電性和反鐵磁短程關(guān)聯(lián)在高摻雜濃度區(qū)一起消失［7，8］.銅氧化物超導(dǎo)體的性質(zhì)十分反常和復(fù)雜，至今人們對其超導(dǎo)機(jī)理還沒有形成一致的認(rèn)識，但可以肯定的是自旋激發(fā)對其超導(dǎo)電性的形成發(fā)揮著十分重要的作用［9，10］.馮世平等［8，11］認(rèn)為，正是強(qiáng)的電荷載流子和自旋之間的相互作用通過交換自旋激發(fā)，誘導(dǎo)出電荷載流子配對態(tài)，進(jìn)而是電子配對態(tài)和超導(dǎo)電性.鑒于石墨烯超導(dǎo)和銅氧化物超導(dǎo)之間的相似性，我們猜測魔角石墨烯中的自旋特性也應(yīng)該對其超導(dǎo)電性有重要的影響，因此對蜂巢晶格材料的自旋激發(fā)進(jìn)行研究，將會幫助理解石墨烯等蜂巢晶格材料的超導(dǎo)電性和新奇物理特性的本質(zhì).

本文將利用格林函數(shù)理論來研究蜂巢晶格反鐵磁材料的自旋動力學(xué).首先推導(dǎo)蜂巢晶格反鐵磁材料在半滿時的自旋格林函數(shù)，得到一組關(guān)聯(lián)函數(shù)的自洽方程組；然后數(shù)值求解這個方程組獲得這些關(guān)聯(lián)函數(shù)的確切值；最后利用這些關(guān)聯(lián)函數(shù)的值計算系統(tǒng)的自旋激發(fā)譜和動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子，討論系統(tǒng)的自旋激發(fā)特性.

1 自旋格林函數(shù)和動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子

石墨烯這樣的材料是復(fù)式晶格［6］，其晶體結(jié)構(gòu)包含A和B兩個子格子，如圖1所示.

圖1 石墨烯的晶體結(jié)構(gòu)

石墨烯材料在半滿時的反鐵磁性可由海森堡模型

描述［12，13］，其中求和遍及所有格點，l+η表示l格點的最近鄰格點.引入自旋的升降算符S±=Sx± iSy，則海森堡模型（1）變?yōu)?/p>

為了求解海森堡模型（2），定義自旋算〉〉符的雙時格林函數(shù)

DBB(Ri-Rj，t-t')和DBA(Ri-Rj，t-t')的定義與此類似.

可以寫成模和輻角的形式γk=|γk|eiθk.

利用自旋格林函數(shù)（8）、（9）和（10），容易求得關(guān)聯(lián)函數(shù)滿足以下自洽方程組

這樣退耦參數(shù)α、關(guān)聯(lián)函數(shù)χ和C就可以自洽求解出來.

由于材料的A、B兩個子格子之間存在相互作用，因此可定義成鍵態(tài)和反鍵態(tài)的自旋格林函數(shù)

其中，ν=1 和ν=2 分別對應(yīng)于成鍵態(tài)和反鍵態(tài)，和則分別為成鍵態(tài)和反鍵態(tài)自旋激發(fā)譜.成鍵態(tài)和反鍵態(tài)的動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子則可由成鍵態(tài)和反鍵態(tài)的自旋格林函數(shù)求得

其中nB(ω)是玻色分布函數(shù)，利用該動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子即可討論系統(tǒng)的自旋動力學(xué)特性.

2 蜂巢晶格反鐵磁材料的關(guān)聯(lián)函數(shù)和自旋動力學(xué)

我們首先對自洽方程組進(jìn)行數(shù)值計算，并在圖2中給出了蜂巢晶格反鐵磁材料的最近鄰關(guān)聯(lián)函數(shù)和次近鄰關(guān)聯(lián)函數(shù)(i≠i+η+η')隨溫度變化的曲線.從圖2中可以看出，最近鄰和次近鄰關(guān)聯(lián)函數(shù)在零溫時達(dá)最大值，并且兩者均隨溫度的升高而逐漸降低.零溫時，系統(tǒng)處于基態(tài)，反鐵磁序高度有序，格點間的自旋關(guān)聯(lián)最強(qiáng)，故關(guān)聯(lián)函數(shù)達(dá)最大值；隨著溫度的升高，晶格的自旋序受熱運(yùn)動的影響，開始偏離有序狀態(tài)，所以關(guān)聯(lián)函數(shù)隨溫度的升高而逐漸減弱，并且在高溫極限下次近鄰關(guān)聯(lián)函數(shù)趨于零.另外，在整個溫度范圍內(nèi)，次近鄰關(guān)聯(lián)函數(shù)C1都比最近鄰關(guān)聯(lián)函數(shù)χ小很多，說明次近鄰格點間的自旋關(guān)聯(lián)比最近鄰格點間的自旋關(guān)聯(lián)要弱很多.

接著討論系統(tǒng)的自旋激發(fā)特性.圖3 給出了蜂巢晶格反鐵磁材料的自旋激發(fā)譜.從圖3中可以看出，由于晶格中A、B兩個子格子之間的相互作用，自旋激發(fā)譜劈裂為成鍵態(tài)和反鍵態(tài)兩支，在同一波矢點比小.在布里淵區(qū)中心Γ點，成鍵態(tài)自旋激發(fā)譜而反鍵態(tài)自旋激發(fā)譜對于布里淵區(qū)中心附近的k點，成鍵態(tài)自旋激發(fā)譜與波矢的大小成正比，即而反鍵態(tài)自旋激發(fā)譜則明顯偏離這種正比關(guān)系.因此這兩支自旋激發(fā)譜在布里淵區(qū)中心附近的動力學(xué)行為明顯不同.特別的是，當(dāng)波矢的值k較小時，自旋激發(fā)譜并沒有明顯體現(xiàn)蜂巢晶格的六角對稱性，但隨著波矢k的值增大，這種六角對稱性就逐漸體現(xiàn)了出來.

我們再來討論系統(tǒng)的自旋動力學(xué)特性.圖4 給出了系統(tǒng)在第一布里淵區(qū)的成鍵態(tài)和反鍵態(tài)動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子.從圖4中可以看出，成鍵態(tài)和反鍵態(tài)動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子均出現(xiàn)圍繞布里淵區(qū)中心的磁散射峰，并且隨著能量的增加，磁散射峰向遠(yuǎn)離布里淵區(qū)中心的方向移動.自旋結(jié)構(gòu)因子的這種行為可以從自旋格林函數(shù)和自旋激發(fā)譜的特性（見圖3）中看出，當(dāng)入射中子的能量等于某波矢點kc自旋激發(fā)譜的值時，即就產(chǎn)生共振,使動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子在相應(yīng)的波矢點出現(xiàn)散射峰.由于自旋激發(fā)譜是隨波矢的增大而增大的，所以當(dāng)入射中子的能量增加時，就需要增大波矢來增大自旋激發(fā)譜以適應(yīng)入射中子的能量而產(chǎn)生共振，因此磁散射峰就向遠(yuǎn)離布里淵區(qū)中心的方向移動.

圖3 蜂巢晶格反鐵磁材料在溫度T=0.1 J 時的自旋激發(fā)譜

圖4 蜂巢晶格反鐵磁材料在溫度T=0.1 J 時的動力學(xué)自旋構(gòu)因子

3 結(jié)論

本文從蜂巢晶格反鐵磁材料在半滿時的海森堡模型出發(fā)，利用Kondo 和Yamaji 提出的二階退耦近似計算了系統(tǒng)的自旋格林函數(shù)，得到一組關(guān)于關(guān)聯(lián)函數(shù)的自洽方程組.用數(shù)值求解該方程組，并據(jù)此計算了系統(tǒng)的自旋激發(fā)譜和動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子.計算結(jié)果表明，蜂巢晶格反鐵磁材料的最近鄰和次近鄰關(guān)聯(lián)函數(shù)均隨溫度的升高而逐漸降低，這是因為溫度的升高使格點的熱運(yùn)動擾亂了系統(tǒng)的反鐵磁序，使格點間的自旋關(guān)聯(lián)減弱從而致使關(guān)聯(lián)函數(shù)減小.特別的，晶格兩個子格子之間的相互作用使系統(tǒng)的自旋激發(fā)譜和動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)劈裂為成鍵態(tài)和反鍵態(tài)兩支.成鍵態(tài)自旋激發(fā)譜的值一直比反鍵態(tài)自旋激發(fā)譜的小，并且在布里淵區(qū)中心附近成鍵態(tài)自旋激發(fā)譜與波矢的大小成正比，而反鍵態(tài)自旋激發(fā)譜則偏離正比關(guān)系.當(dāng)入射中子的能量等于某波矢點自旋激發(fā)譜的值時，動力學(xué)自旋結(jié)構(gòu)因子就產(chǎn)生共振從而形成圍繞著布里淵區(qū)中心的磁散射峰，并且這些磁散射峰隨能量的增加逐漸遠(yuǎn)離布里淵區(qū)中心.我們的結(jié)果對理解蜂巢晶格材料的超導(dǎo)電性及其新奇物理性質(zhì)必定有重要的幫助.