史中燕

【摘 要】幾何畫板是實(shí)用的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，是適用于代數(shù)、平面幾何、物理矢量分析、作圖的動(dòng)態(tài)幾何工具，主要借助圖形基本元素：點(diǎn)、線，構(gòu)造需要的圖形。課堂上，幾何畫板能提高學(xué)生從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從抽象到形象、從微觀到宏觀、從定性到定量分析數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生不斷進(jìn)取、積極探索、努力創(chuàng)新的精神。

【關(guān)鍵詞】代數(shù);幾何;動(dòng)態(tài);圖形

幾何畫板能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、運(yùn)行變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)與物理教師制作課件的“利劍”，主要借助圖形基本元素：點(diǎn)、線，構(gòu)造需要的圖形。平時(shí)課堂上，數(shù)學(xué)組的老師習(xí)慣于用尺規(guī)作圖，這對(duì)老師的基本功要求非常高，老教師們徒手畫圓技術(shù)難度高。尺規(guī)作圖很有必要，可帶著學(xué)生一起動(dòng)手實(shí)踐，但需要占用時(shí)間，如講評(píng)試卷時(shí)，借助幾何畫板可以省時(shí)，或者遇到動(dòng)態(tài)圖形時(shí)，就需要借助幾何畫板，讓學(xué)生更好地感受變化過程。在利用幾何畫板畫圖的過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、直觀想象、自主探索等能力。

信息時(shí)代大背景下，要求學(xué)生應(yīng)用掌握的信息技術(shù)能力解決數(shù)學(xué)問題。在初中三年的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我嘗試著將幾何畫板與教學(xué)內(nèi)容結(jié)合，收獲了學(xué)生的優(yōu)秀作品，更好地展示動(dòng)態(tài)幾何過程，實(shí)現(xiàn)了更高效、具體的教學(xué)。

依據(jù)基本作圖，深刻認(rèn)識(shí)幾何圖形

起步階段，我讓學(xué)生從幾何畫板的初步認(rèn)識(shí)開始，學(xué)習(xí)點(diǎn)和線的作法以及度量，繪制基本幾何圖形，完成平行四邊形、菱形、正方形等基本圖形的作圖;嘗試基本幾何變換，如旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱，自主操作，繪制變換后的圖形;深入立體圖形的畫法，如圓柱體、圓臺(tái)和圓錐，實(shí)踐出真知，摸索著成長(zhǎng)，為教學(xué)提供便利。一點(diǎn)點(diǎn)蛻變后，開始研究動(dòng)態(tài)圖形，由簡(jiǎn)到繁，舉一反三，共同探究動(dòng)點(diǎn)的蛻變軌跡，感悟古老的“勾股定理”在信息技術(shù)環(huán)境下的魅力。

實(shí)現(xiàn)變換作圖，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)深度和美好

幾何畫板不僅給教學(xué)帶來(lái)了便利，激發(fā)了學(xué)生的思維，更讓我們感受到數(shù)學(xué)的魅力與神奇（圖1）。感悟于數(shù)學(xué)的美，將美麗的圖形與動(dòng)態(tài)變化結(jié)合，可以繪制出繽紛多彩的圖形，如“萬(wàn)花筒”運(yùn)用了兩點(diǎn)確定一條直線、鏡面反射、旋轉(zhuǎn)、平移、反射變化，實(shí)現(xiàn)生活中的幾何圖形動(dòng)態(tài)化。孩子們?cè)谑斋@美麗的圖案同時(shí)，收獲知識(shí)的深度。在繪制螺旋曲線過程中，感悟點(diǎn)、線的無(wú)窮變化，感悟生活中的數(shù)學(xué)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中爭(zhēng)當(dāng)“小老師”，收獲頗豐。

用幾何畫板軟件制作動(dòng)畫演示效果，學(xué)生對(duì)變化過程中圖形的特征能直觀感受到，并且加深了印象，而這個(gè)效果與教師簡(jiǎn)單把結(jié)論教給學(xué)生或不斷畫圖來(lái)說(shuō)明是完全不同的。幾何畫板不僅可以處理幾何問題、代數(shù)問題、解析幾何問題、物理中的有關(guān)問題，還能用來(lái)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，可以用它來(lái)動(dòng)態(tài)地演示二次函數(shù)、三角函數(shù)，甚至一些常規(guī)畫法下無(wú)法畫出的函數(shù)。

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，通過幾何畫板，將數(shù)學(xué)的神奇展現(xiàn)無(wú)疑，讓學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生更濃厚的興趣。信息科技的日新月異，幾何畫板是新科技的應(yīng)用，能拓寬學(xué)生視野，讓學(xué)生對(duì)學(xué)科更感興趣。實(shí)踐的課堂，氣氛活躍，學(xué)生自主實(shí)踐，這正說(shuō)明了孩子們對(duì)信息科技和知識(shí)的熱愛。借助幾何畫板可以幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

對(duì)教師而言，幾何畫板的課件制作能為教學(xué)提供便利，提升專業(yè)能力，激發(fā)教師對(duì)新的知識(shí)的探究。正如游戲幫助孩子開啟智慧，朗誦、書法、創(chuàng)作、繪畫才藝幫他們培養(yǎng)藝術(shù)情操，那么幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，深入探究，能培養(yǎng)實(shí)踐操作與信息技術(shù)的融合，雖然不是初中必修課內(nèi)容，卻能讓孩子們通過接觸他們感興趣的知識(shí)，體會(huì)更多樂趣，定會(huì)終身受益。

深入動(dòng)態(tài)問題，助力探究綜合問題

按照教學(xué)進(jìn)度，在七、八年級(jí)學(xué)生可以完成幾何畫板基本原理介紹、簡(jiǎn)單操作、簡(jiǎn)單的幾何原理輔助教學(xué);九年級(jí)幾何綜合題的研究可借助于幾何動(dòng)態(tài)演示來(lái)幫助學(xué)生理解幾何原理，對(duì)幾何性質(zhì)和定理理解得更快，更好地解決問題。

1.幾何畫板在初中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

（1）以“反比例與一次函數(shù)復(fù)習(xí)”為例。函數(shù)是初中的重要內(nèi)容，學(xué)生已對(duì)基本初等函數(shù)y=x，y=x2，y=x-1等有所了解，并且重點(diǎn)學(xué)習(xí)了一次、二次、反比例函數(shù)，但對(duì)于此類函數(shù)的綜合問題并未深入研究，因此深入地觀察這類函數(shù)的圖象特征，歸納總結(jié)上述函數(shù)的性質(zhì)顯得十分必要。幾何畫板動(dòng)態(tài)作圖可以幫助學(xué)生更好地理解一次和反比例函數(shù)中系數(shù)k，m變化對(duì)函數(shù)圖像的具體影響

活動(dòng)1：已知雙曲線y1=與直線y2=-x+b交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A（1，2），直線分別交x軸，y軸于C、D兩點(diǎn)。結(jié)合圖象，你能研究哪些問題？并闡述解決方法。學(xué)生回答可能有：可求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、直線和雙曲線另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)、一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)、函數(shù)值大小比較和面積問題。

活動(dòng)2：將直線y=-x+3沿y軸上下平移，平移后直線解析式設(shè)為y=-x+b，研究此時(shí)直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)。幾何畫板動(dòng)態(tài)演示平移過程。

活動(dòng)3：將直線繞點(diǎn)（0，3）旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后直線解析式為y=kx+3，研究旋轉(zhuǎn)后直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)。使用幾何畫板演示旋轉(zhuǎn)過程。

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，系數(shù)變化利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示，便于學(xué)生理解，感知變化。

（2）以函數(shù)綜合題、專題復(fù)習(xí)課為例。函數(shù)綜合題是歷年中考中的重點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，且抽象。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)C級(jí)要求提出：結(jié)合圖象與表達(dá)式，掌握系數(shù)k的變化對(duì)函數(shù)圖象變化的影響;函數(shù)專題復(fù)習(xí)利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

幾何畫板作圖具體展現(xiàn)了函數(shù)的整體直觀形象，為學(xué)生探索函數(shù)的性質(zhì)提供了思維活動(dòng)的空間，便于學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用。

2.幾何畫板在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

初中的幾何內(nèi)容主要包括：基本平面立體圖形識(shí)別、圖形三大變換、三角形全等和相似、基本四邊形的相關(guān)推理證明、圓有關(guān)知識(shí)、解直角三角形知識(shí)等。歷年中考題量大，靈活多變，綜合性較強(qiáng)，幾何畫板的引入可以動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)圖形變化過程，化繁為簡(jiǎn)，便于學(xué)生理解和掌握。

（1）尋找動(dòng)點(diǎn)軌跡和全等圖形。例如，已知△ABC中，AC=BC，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到△CED，連接GE，GD。請(qǐng)你畫出點(diǎn)E和點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡（圖2）。利用幾何畫板作圖，可知追蹤軌跡為圓，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（2）構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等，一題多解。如已知等邊三角形ABC中，∠AGB=30°，GA=3，GB=4，求GC的長(zhǎng)。可將△ACG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°（圖3），得出△GDC為等邊三角形，△BDG為等腰直角三角形，進(jìn)而可算出GC的長(zhǎng)度。

這類三角形旋轉(zhuǎn)問題，方法多樣，最多有6種方法，現(xiàn)場(chǎng)作圖，費(fèi)時(shí)且效果不好，借助幾何畫板，能快速讓學(xué)生感知旋轉(zhuǎn)前后的區(qū)別，感知旋轉(zhuǎn)過程和不同的旋轉(zhuǎn)方法，對(duì)比中尋找規(guī)律，提升課堂效率。

（3）圖形變換求面積。例如，如圖4，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，AC=6，BC=4，求線段AB掃過的面積。由圖可知，AB掃過的圖形面積等于扇形ACA′面積加上△ABC面積減去扇形BCB′面積減去△A′B′C面積，而由旋轉(zhuǎn)可知△ABC面積等于△A′B′C面積，∠BCB′=∠ACA′=60°，故而得解。

扇形面積是初中的重要內(nèi)容，學(xué)生容易掌握，但具體問題中涉及變化圖形的求法，需要有較好的幾何感知能力，將抽象問題具體化，復(fù)雜圖形分割化。幾何畫板的直觀性，能讓孩子們迅速掌握分割技巧，一目了然，化繁為簡(jiǎn)。

以上內(nèi)容為幾何畫板在我的教學(xué)課堂應(yīng)用中的部分實(shí)例和一些體會(huì)。在不斷嘗試和收獲學(xué)生成長(zhǎng)過程中，我深深地感知到先進(jìn)的教育技術(shù)對(duì)教學(xué)的正向引領(lǐng)作用，如若全面開展，必將大大促進(jìn)教學(xué)的改革和深化。

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