黃江

[摘? 要] “一核四層四翼”中的“四層”回答了考什么的問題，“四能”是“四層”中考查的重點(diǎn)之一，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力勢在必行. 影響學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的因素，有教師層面的因素，也有學(xué)生自身的因素. 基于核心因素的基礎(chǔ)，文章提出了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的常見策略.

[關(guān)鍵詞] 問題;缺失因素;培養(yǎng)策略

[?]提出問題

美國當(dāng)代數(shù)學(xué)家哈爾莫斯在《數(shù)學(xué)的心臟》一文中明確指出：“數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解.”也就是說數(shù)學(xué)的創(chuàng)新來源于數(shù)學(xué)問題. 核心素養(yǎng)下的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》已經(jīng)落實(shí)到全國各地，而素養(yǎng)的考查是需要借助試題來進(jìn)行顯現(xiàn)化的. 此前，教育部考試中心對“一核四層四翼”高考評價(jià)體系在今后的高考命題中如何體現(xiàn)進(jìn)行了闡述. “一核”即高考評價(jià)體系，通過確立“立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)”這一高考核心立場，回答了“為什么考”的問題. “四層”通過明確“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”四層考查目標(biāo)，回答了“高考考什么”的問題. “四翼”通過明確“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”四個(gè)方面的考查要求，回答了“怎么考”的問題. “四層”中的關(guān)鍵能力則指向“四能”：發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力，分析問題與解決問題的能力.以上可以看出，發(fā)現(xiàn)問題與提出問題對人的發(fā)展的重要性，同時(shí)隨著考試風(fēng)格的不斷變革，未來考查學(xué)生能力的試題會(huì)逐步以開放式的方式進(jìn)行命制. 筆者認(rèn)為，對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力的考查也將逐步在新高考的試題中體現(xiàn)出來，所以在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力勢在必行.

[?]發(fā)現(xiàn)與提出問題缺失的因素

1. 教師方面的因素

當(dāng)今社會(huì)，師生的關(guān)系已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)槠降汝P(guān)系，但在實(shí)際教學(xué)中，傳統(tǒng)的“師道尊嚴(yán)”、因循守舊的觀念仍舊可見一斑，這導(dǎo)致了學(xué)生對教師所傳授的內(nèi)容保持著高度的贊同，從而導(dǎo)致學(xué)生不敢提問，逐步演變?yōu)椴辉敢馓釂? 課堂教學(xué)中，情境引入似乎已經(jīng)是必不可少的了. 在情境引入的過程中，教師也會(huì)預(yù)設(shè)一些問題，但由于時(shí)間受限，任務(wù)的驅(qū)動(dòng)，即使學(xué)生有表達(dá)的意愿，教師也會(huì)直奔預(yù)設(shè)的目標(biāo)答案去引導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生“非正確”地回答（“非正確”其實(shí)是一個(gè)新的問題），不予理會(huì).當(dāng)然還有一些課堂往往為了抓進(jìn)度，課堂缺乏教學(xué)情境，教師講課開門見山，直奔主題，課堂教學(xué)中沒有問題，10分鐘左右講解公式、定理、概念等，然后就是鋪天蓋地的試題演練. 這種“滿堂灌”的教學(xué)方法，也導(dǎo)致了課堂沒有問題產(chǎn)生，只有試題的完成.

這樣的課堂顯然不能滿足核心素養(yǎng)考查的需要，不符合核心素養(yǎng)的考查，為了學(xué)生成長的需要，作為教育工作者，不能僅僅滿足于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還要著力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力. 倘若教師沒有主動(dòng)積極的態(tài)度去培養(yǎng)學(xué)生問題的意識(shí)或者自身問題意識(shí)不濃，又如何去培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)呢？

2. 學(xué)生方面的因素

在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，教師可以清晰地看到，每當(dāng)一個(gè)題目或公式等講完后，對于部分學(xué)生還是會(huì)存在一些沒有能理解的內(nèi)容，沒有理解的內(nèi)容可能是概念不清導(dǎo)致的，也有可能是解題步驟跳躍導(dǎo)致的，等等. 雖然這些并不能等同于問題，但即使這樣的疑問學(xué)生往往也不太愿意提出來，更何談去發(fā)現(xiàn)問題和提出問題呢？究其原因，由于傳統(tǒng)課堂的因素，教師講學(xué)生聽已經(jīng)由來已久，被動(dòng)地接受知識(shí)成為常態(tài)，再加之教師相對的學(xué)術(shù)權(quán)威，學(xué)生也就無疑可問，導(dǎo)致學(xué)生不愿意提問了;有時(shí)也由于學(xué)生提出的疑問在教師看來比較簡單，問不出有深度的問題，在提問的過程中，害怕教師批評，擔(dān)心同伴嘲諷，又恐失去自信心，久而久之，礙于情面，也就不好意思問了;有時(shí)教師向?qū)W生提出問題時(shí)，學(xué)生回答錯(cuò)了，多數(shù)教師沒有引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，改正錯(cuò)誤，往往是再找別的學(xué)生回答，這樣該學(xué)生的思維就沒有能夠得以繼續(xù)，教師只希望聽到正確答案，時(shí)間久了，學(xué)生的思維就逐漸模式化，缺乏敏銳地感知問題的能力，而不去主動(dòng)探究;有一小部分學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也想發(fā)表自己的見解，但是語言表達(dá)能力有限，加之長期沒有鍛煉的機(jī)會(huì)，缺乏技巧與方法，想問又不知如何問，往往又由于詞不達(dá)意，不善于提問.

以上兩個(gè)角度的思考，筆者認(rèn)為作為高中學(xué)生而言，傳統(tǒng)課堂的觀念、教師的情境引入以及學(xué)生的心理狀況，對問題的提出具有一定的影響，但這并非是影響較大的因素，而且高中學(xué)生已經(jīng)具有了一定的語言表達(dá)能力. 筆者認(rèn)為當(dāng)前教學(xué)中主要還是以解題為導(dǎo)向的教學(xué)為主，提出問題的方法還很缺乏，所以方法的指導(dǎo)，專業(yè)化的訓(xùn)練顯得十分有必要.

[?]什么是問題

美國教育家布魯巴克認(rèn)為：“最精湛的教學(xué)藝術(shù)，遵循的最高準(zhǔn)則，就是學(xué)生自己提出問題.”學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，強(qiáng)烈的問題意識(shí)可以讓學(xué)生在探究和發(fā)現(xiàn)的過程中體會(huì)到挑戰(zhàn)的刺激和成功后的喜悅，這就有利于提高學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，讓學(xué)生的主體作用在學(xué)習(xí)中得以充分發(fā)揮，創(chuàng)造思維的潛能得到不斷的開發(fā).那么什么是問題呢？商務(wù)印書館出版的《現(xiàn)代漢語詞典（第5版）》中對“問題”作出來了這樣的解釋：①要求回答或解釋的題目;②須要研究討論并加以解決的矛盾、疑難;③關(guān)鍵;重要之處;④事故或麻煩. 上述解釋中，可以看出“問題”是未成解決的題目、疑難，在平時(shí)教學(xué)中，對教師已經(jīng)講解的問題，學(xué)生需要同伴或教師再次解釋一遍而提出的疑問，則不應(yīng)視為問題，這里筆者認(rèn)為是學(xué)生存在知識(shí)或方法的遺忘.

例如：過橢圓+=1內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求此弦所在直線的方程.

解：①直線斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意;

②設(shè)直線的斜率為k，直線方程為y-1=k（x-2），與橢圓聯(lián)立方程組得

+

=1，

y-1=k（x-2），消去y可得（1+4k2）x2+8k·（1-2k）x+4（1-2k）2-16=0，由韋達(dá)定理得x+x=. 因?yàn)镸點(diǎn)是中點(diǎn)，故x+x=4，即4=，解得k=-，從而得到直線方程為x+2y-4=0.

當(dāng)教師設(shè)出直線的斜率后，有學(xué)生問道：老師，你為什么去假設(shè)直線的斜率呢？這樣的疑問，并不能成為真正意義上的問題，求什么設(shè)什么是常識(shí)，是待定系數(shù)法的體現(xiàn)，這是方法的盲區(qū);也有學(xué)生問道：韋達(dá)定理是什么？這個(gè)就是知識(shí)的盲點(diǎn)了. 上述這些都是個(gè)體表現(xiàn)出來的知識(shí)與方法缺陷問題，并不能算作為真正意義上的問題.

學(xué)生對已經(jīng)解決的問題，會(huì)有一個(gè)再現(xiàn)的過程，在這個(gè)再現(xiàn)的過程中，產(chǎn)生的沒有想通的疑惑，這樣的疑惑大都來源于公式、定理、概念等記憶的錯(cuò)誤、計(jì)算的錯(cuò)誤、教師講解時(shí)跳步驟等，并不能成為真正意義上的問題.真正意義上的問題應(yīng)該基于學(xué)生已有的認(rèn)知下，以往沒有觸及的，具有一定的創(chuàng)新性、思辨性等特性. 發(fā)現(xiàn)者提出問題后，并不知道真?zhèn)?，需要進(jìn)一步對其進(jìn)行研究、去偽、實(shí)證等過程. 只有理解了問題是什么，才能為教學(xué)提供明確的方向.

[?]方法呈現(xiàn)，拋磚引玉

1. 充分必要性策略

由充分必要條件可知，題目的結(jié)論與條件是可以互相轉(zhuǎn)換的. 當(dāng)條件與結(jié)論互換后，所產(chǎn)生的充分必要性就發(fā)生了改變，命題的真假性也隨之而改變，這樣的思路提供給學(xué)習(xí)者一個(gè)提出問題的好方法. 例如，余弦定理：在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊為a，b，c，則a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生將定理中的條件與結(jié)論互換一下，就產(chǎn)生了一個(gè)之前沒有遇到過的新問題，即若a，b，c∈（0，+∞），A，B，C∈（0，π），滿足a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC，則長度為a，b，c的線段構(gòu)成三角形，且邊a的對應(yīng)的角為A，邊b的對應(yīng)的角為B，邊c的對應(yīng)的角為C，這個(gè)問題正確嗎？

通過這樣的方法就得出了一個(gè)新的問題，學(xué)生可以運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)，對其進(jìn)行研究、證明或舉反例等，從而判別出其正確與否.這樣的反問方式，簡單易操作，只要分析出命題中的條件與結(jié)論，對其進(jìn)行互換，便可得出新的問題.

2. 類比策略

類比法是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的推理方法. 筆者曾在講解直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)，運(yùn)用了類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)積極地提出問題，現(xiàn)將教學(xué)片段展示如下，以作說明.

在研究直線與橢圓的位置關(guān)系時(shí)，我們可以類比直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行研究. 判斷直線與圓的位置關(guān)系有三種常見方法. 方法一：圓心到直線的距離d與圓的半徑r進(jìn)行對比;方法二：將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來判斷位置關(guān)系;方法三：特殊點(diǎn)求解法（即發(fā)現(xiàn)動(dòng)直線的定點(diǎn)在圓內(nèi)，可以確定直線與圓是相交的，但這種方法僅僅使用于直線與圓相交的情況）. 那么這三種方法適用于直線與橢圓的位置關(guān)系研究嗎？這樣的類比引入，引發(fā)學(xué)生思考，也易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題.

學(xué)生1：根據(jù)方法一，可以求解橢圓圓心到直線的距離，然后與橢圓中的參數(shù)a，b，c進(jìn)行對比.

學(xué)生2：根據(jù)方法二，可以將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，根據(jù)根的情況判斷位置關(guān)系.

學(xué)生3：根據(jù)方法三，只要直線上有定點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即可判斷直線與橢圓是相交關(guān)系.

教師可在此基礎(chǔ)上，對學(xué)生提出的問題進(jìn)行分析，辨析每個(gè)問題的正誤，還可以引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上提出一些問題.

學(xué)生4：在方法一中，橢圓的圓心是什么？

學(xué)生5：若將橢圓的原點(diǎn)視作為圓心，那么得到的距離與哪一個(gè)參數(shù)進(jìn)行對比，從而研究出位置關(guān)系呢？

學(xué)生6：直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，根據(jù)其解來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，一定可靠嗎？若是方程組有兩解，直線與橢圓一定是相交嗎？為什么？

教師：同為研究直線與曲線的位置關(guān)系問題，哪種方法可以遷移呢？哪種方法是更為一般的方法呢？顯然是聯(lián)立方程組的思路更具有普遍性. 那么為什么就不可以通過類比讓橢圓的中心到直線的距離與橢圓中的相關(guān)量進(jìn)行對比呢？

通過教師進(jìn)行引導(dǎo)，學(xué)生還可以提出更多的問題，如利用橢圓中心到直線的距離與橢圓中的進(jìn)行對比，來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，等等.

通過類比的方法提問，學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上，能夠輕松地提出相對應(yīng)的問題，這樣的問題或許比較容易否定，或許在教師看來有些幼稚，又或許短時(shí)間內(nèi)難以用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬤M(jìn)行有效證明，但我們可以看出過程中激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 在不斷尋求解決所提出問題的過程中，又能提出更多的問題，形成“問題串”，是主動(dòng)積極參與的表現(xiàn)，充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性.不可否認(rèn)，如此開放式的提問，課前需要教師更多的準(zhǔn)備，課堂上需要教師更多的智慧，否則可能會(huì)導(dǎo)致課堂一團(tuán)糟，產(chǎn)生一些尷尬的局面.

3. 特殊到一般策略

特殊到一般的方法是課堂教學(xué)中常見的手段，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題是教學(xué)的一部分，這種方法也是適用的.筆者以講解直線與圓的位置關(guān)系（高三復(fù)習(xí)課）為例，對此加以說明. 筆者先給出了三道試題，讓學(xué)生完成.

（1）（2020年全國卷Ⅰ第6題）已知圓x2+y2-6x=0，過點(diǎn)P（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（? ）

A. 1 B. 2C. 3 D. 4

（2）（2020年全國卷Ⅰ第11題改編）已知☉M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作☉M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，則

PM

·

AB

最小值為________.

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=4，若直線l過點(diǎn)P（1，0），且與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，求直線l的方程.

當(dāng)學(xué)生完成這三道試題后，筆者提出了這樣一個(gè)問題：這三道試題都是為了求解最值問題，當(dāng)我們大家完成后，有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？

根據(jù)這三道試題，大部分學(xué)生提出了這樣一個(gè)問題：當(dāng)取最值時(shí)，圓心C與題中給出的點(diǎn)P的連線與已知直線是垂直的，難道所有題都是如此嗎？

這個(gè)過程就是給學(xué)生基于特殊情況下的三道試題，發(fā)現(xiàn)和提出問題具有一般性問題的過程，這個(gè)問題提出后，通過教師取特殊值的指導(dǎo)和學(xué)生的努力，對其進(jìn)行了否定.

教師：既然這樣的規(guī)律不成立，那么你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？

學(xué)生7：第（3）題中，雖然不是兩直線垂直時(shí)取最值，但是我發(fā)現(xiàn)在求解三角形的面積時(shí)，運(yùn)用了S=r2sin∠ACB，始終是當(dāng)∠ACB=90°時(shí)取最值，面積的最大值沒有發(fā)生改變，可以得到一般性結(jié)論：過一點(diǎn)的直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，圍成的△ACB的面積最大值為定值. 當(dāng)然不知道這個(gè)命題是否為真命題.

教師適當(dāng)改變直線l經(jīng)過的定點(diǎn)，通過特殊化的求解，得出這樣的問題，顯然不成立，這一過程中，學(xué)生又會(huì)產(chǎn)生新的問題.

學(xué)生8：通過求解，得出面積的最大值并不是恒定的，那么當(dāng)經(jīng)過的定點(diǎn)在何處時(shí)，才能取到這個(gè)最值呢？

學(xué)生8提出問題，是基于特殊值的判斷求解下，產(chǎn)生了一般性結(jié)論的過程，這個(gè)結(jié)論顯然是可以進(jìn)行思辨求證的，通過不同的角度（如軌跡、重要三角形、三角函數(shù)等）的深入研究，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)CP≥r時(shí)，才能取到最大值，而當(dāng)CP

特殊到一般的本質(zhì)是由靜態(tài)的量轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的量，有時(shí)也可以認(rèn)為是將條件中的數(shù)字轉(zhuǎn)變?yōu)樽帜副硎荆ㄟ^一定的手段方法，驗(yàn)證其正確性. 如橢圓+y2=1與直線y=x相交于A，B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)Q（除A，B兩點(diǎn)外），則可以得到k·k=-，可以對其進(jìn)行一般化. 一般化的過程并非一下子就能找出相對終極的結(jié)論，需要不斷試探糾錯(cuò)才能獲得，可以先變?yōu)檫@樣的問題：橢圓+=1（a>b>0）與直線y=x相交于A，B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)Q（除A，B兩點(diǎn)外），可以得到k·k=-嗎？在此基礎(chǔ)上，再次對直線進(jìn)行一般化，即橢圓+=1（a>b>0）與直線y=kx相交于A，B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)Q（除A，B兩點(diǎn)外），可以得到k·k=-嗎？

高考中有些較難試題的來歷，往往就是運(yùn)用了上述方法來命制的，學(xué)生掌握如此提問的方法后，對高考試題的理解也就變得更為深刻，在心理上就能減輕對難題的恐懼，增強(qiáng)解決難題的信心，為后續(xù)的成才奠定了基礎(chǔ).

[?]結(jié)束語

愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要.”因?yàn)榻鉀Q問題的能力，只是實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)，也就是自己用知識(shí)去解決前人解決的問題;而提出新的問題，新的可能性，新的角度看舊問題，它需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，這標(biāo)志著真正的進(jìn)步. 可以看出，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識(shí)，提出問題的能力是課堂教學(xué)中必不可少的重要的一環(huán). 筆者認(rèn)為，在教學(xué)過程中不論哪種方法策略，都要基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)而展開，還要遵循層次性、循序漸進(jìn)等原則. 每個(gè)問題提出后，都需要留給學(xué)生一定的時(shí)間去進(jìn)行去偽存真，切不可急功近利，只有在去偽存真的過程中，才能對問題不斷地升級，并不斷發(fā)展成為重要的結(jié)論. 學(xué)生思維一旦打開，學(xué)生提出的問題就如同“活水”一般源源不斷，教師受到學(xué)生源源不斷的“活水”影響，勢必會(huì)倒逼教師要不停地努力，努力的過程就是教師成長的過程，教與學(xué)才更加相得益彰[1].

參考文獻(xiàn)：

[1]? 彭飛. 中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作，教學(xué)相長總相宜[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（03）.