摘? 要：數(shù)學(xué)教師掌握關(guān)于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的技能、技巧至關(guān)重要，是教師專業(yè)成長必不可少的訴求. 文章通過認識數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性中的宏觀結(jié)構(gòu)與微觀結(jié)構(gòu)及兩者之間的關(guān)系，展現(xiàn)了教材的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析對于提高數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及課堂實施有效性、發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的價值、實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標的重要性.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu);結(jié)構(gòu)系統(tǒng);教材分析;教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是一項結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性整體工程，它的構(gòu)成要素主要體現(xiàn)在相互關(guān)聯(lián)的三個側(cè)面：（1）理解要傳授的具體數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的可能組成序列;（2）把握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認識的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）及其過渡性中介的可能組成序列;（3）通過創(chuàng)造性工作找到貫通這兩組序列的契合點，以實現(xiàn)它們之間的關(guān)聯(lián)（以下統(tǒng)稱“教學(xué)法分析”），如圖1所示. 這就是通常所說的教學(xué)設(shè)計應(yīng)基于教材分析、學(xué)情分析及教學(xué)法分析的整合. 本文探討依據(jù)數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性的教學(xué)設(shè)計. 眾所周知，結(jié)構(gòu)離不開系統(tǒng). 因此，為討論數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性，我們必須認識知識結(jié)構(gòu)所內(nèi)生于其中的系統(tǒng)，首先討論系統(tǒng)及其構(gòu)成要素的某些主要性質(zhì).

一、系統(tǒng)及其構(gòu)成要素的主要性質(zhì)

《現(xiàn)代漢語詞典》（第六版）將“系統(tǒng)”一詞釋義為：同類事物按一定的關(guān)系組成的整體. 著名的美籍奧地利生物學(xué)家，一般系統(tǒng)論的創(chuàng)始人貝塔朗菲認為，系統(tǒng)是處在一定的相互聯(lián)系中并與所處的環(huán)境發(fā)生關(guān)系的各組成部分的整體. 也就是說，系統(tǒng)是有組織（即由若干組成部分或要素組織起來）的整體，或者說，系統(tǒng)是由相互作用與相互聯(lián)系的若干組成部分結(jié)合而成的具有特定功能的整體. 那么，作為一個系統(tǒng)，應(yīng)該具有哪些主要性質(zhì)呢？

其一，層次集合性質(zhì). 通過對系統(tǒng)概念內(nèi)涵的解釋，我們知道，系統(tǒng)是具有一些特定特點的要素（或組成部分）的集合，這些特定的要素就是系統(tǒng)的元素. 若要組成一個系統(tǒng)，其元素不少于兩個. 系統(tǒng)的各要素之間可以是差異很大的對象，各要素自身又可以是一個較小的系統(tǒng)（形成的次結(jié)鉤）. 本文正在研究的系統(tǒng)，可以說是一個大系統(tǒng)中的一個子系統(tǒng). 因此，系統(tǒng)是一種具有層次性的集合體.

其二，組織結(jié)構(gòu)性質(zhì). 在系統(tǒng)的層次集合性質(zhì)特點中，說明了同一個系統(tǒng)中的各個要素可具有很大差異. 然而作為系統(tǒng)，其各要素之間并不是毫無關(guān)聯(lián)、各自為政的，各要素之間存在著此系統(tǒng)所特有的某種組合方式，把組成要素與組合方式進行統(tǒng)一考察，才能稱得上是系統(tǒng). 系統(tǒng)內(nèi)部各要素及其組織方式稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu). 關(guān)于這種結(jié)構(gòu)，從要素上看，是各要素相互之間的關(guān)聯(lián)性;從整體上看，是整個系統(tǒng)的組織狀態(tài);從組織動態(tài)上看，任何一個要素的性質(zhì)或行為發(fā)生變化，都會影響或牽涉到其他要素的性質(zhì)或行為發(fā)生變化.

其三，適應(yīng)環(huán)境性質(zhì). 任何系統(tǒng)都顯現(xiàn)于它所處的環(huán)境背景之中，系統(tǒng)與環(huán)境背景之間需要進行物質(zhì)、信息或能量的交換，系統(tǒng)與其環(huán)境背景之間具有通過輸入與輸出實現(xiàn)的一種血脈相通的聯(lián)結(jié)體，從而保證了系統(tǒng)具有適應(yīng)其環(huán)境背景的性質(zhì)特點. 外部環(huán)境背景中的某些要素輸入系統(tǒng)，是保證系統(tǒng)存在與發(fā)展的條件;系統(tǒng)對外部環(huán)境背景的輸出，表現(xiàn)了系統(tǒng)對外部環(huán)境發(fā)生作用，從而影響外部環(huán)境. 這種作用成為系統(tǒng)對于存在于外部環(huán)境背景的功能，簡稱系統(tǒng)的功能.

其四，非機械和性質(zhì). 系統(tǒng)必然要表現(xiàn)出自己的特性、行為與功能，這種特性、行為與功能一定與這個系統(tǒng)的各要素組織方式息息相關(guān)，但是絕不是系統(tǒng)內(nèi)各要素功能所能發(fā)揮的作用. 因此，系統(tǒng)的整體功能（行為與性質(zhì)）并不是它的各要素功能（行為與性質(zhì)）的機械疊加，而是會呈現(xiàn)出各要素獨自運行時并不具有的許多特性、行為與功能. 這就是人們對系統(tǒng)所說的其整體功能一定會大于各部分功能之和的要旨所在，這種特點可以稱之為“非機械和性質(zhì)”特點.

將這種系統(tǒng)及其性質(zhì)運用到數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中來，能發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的教學(xué)價值，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的教學(xué)目標. 因此，教師一定要悉心研討數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性. 具體表現(xiàn)為以下兩個方面：一方面，組成數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的各知識點要素不是獨立的，而是通過某種組織方式形成的整體，因此作為一種形態(tài)的數(shù)學(xué)知識整體結(jié)構(gòu)由這個系統(tǒng)中的各個具有不盡相同性質(zhì)的知識點次第構(gòu)成的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介所組成;另一方面，作為數(shù)學(xué)知識整體結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)的各個知識點自身又組成了子結(jié)構(gòu)，形成了數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)層次性. 這種認識對于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計準備工作中的教材分析提出了哪些啟示？

二、數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計準備工作中的教材分析要點

作為非常重要的中小學(xué)課程資源，數(shù)學(xué)知識是學(xué)生認識的客體，有促進學(xué)生發(fā)展的功能，決定著學(xué)生心理的發(fā)展方向. 首先，當學(xué)生掌握了具有特定性質(zhì)知識時，知識所內(nèi)含的特定內(nèi)容和掌握方式，就以改造了的形式轉(zhuǎn)化為個體經(jīng)驗的一部分. 這些內(nèi)化了的知識和經(jīng)驗，不僅變成了一種認識、實踐的工具和能力，也極大地影響著個體的世界觀和人生觀，還發(fā)生著種種體驗和情感. 其次，為了適應(yīng)知識特定性質(zhì)和完成活動的特定條件，學(xué)生就必須按照客體自身的特殊規(guī)定性及其所要求的特定方式進行活動. 這一過程所引起的學(xué)生相應(yīng)的技能活動，形成了他們行為的新的方式、形式和類型，引起了他們的意識和心理結(jié)構(gòu)的相應(yīng)變化，從而使相應(yīng)的活動能力得到發(fā)展.

這就是說，促進學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的終極源頭在于各學(xué)科的知識，其中的數(shù)學(xué)知識（例如，對于形式邏輯或理性思維的建立與發(fā)展，為其他學(xué)科知識提供思維方式或語言表達方式等）具有其他學(xué)科知識無法替代的作用. 顯然，數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)層次性，決定了數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)所蘊涵的教學(xué)價值的結(jié)構(gòu)層次性. 在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施時，教師必須要考慮發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)層次性教學(xué)價值的層次性.

然而，數(shù)學(xué)知識教學(xué)價值發(fā)揮到怎樣的層次，不僅取決于數(shù)學(xué)知識的客觀性，而且取決于教師對于知識中所蘊涵的結(jié)構(gòu)層次性特點的認識，從而作為教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的一項重要的基礎(chǔ)性條件. 從某種程度上說，教師關(guān)于處于具體結(jié)構(gòu)層次中的數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)活動方法更為重要，這就是為什么需要好數(shù)學(xué)教師，為什么各個國家都特別重視提高數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力與水平. 因為數(shù)學(xué)知識的良好的育人特性或價值，不經(jīng)由數(shù)學(xué)教師的中介，難以直接作用于學(xué)生. 因此，教材分析在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中就具有舉足輕重的作用. 那么，如何進行數(shù)學(xué)教材分析，或者說教材分析具有哪些要點呢？

首先，從宏觀結(jié)構(gòu)上考察. 眾所周知，在某一數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)鏈條上，存在著一系列知識點作為結(jié)構(gòu)上的環(huán)節(jié). 如圖2所示的A，B，C，D，E，F(xiàn)等具體的知識點，形成了環(huán)環(huán)緊扣的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)鏈條，這就構(gòu)成了數(shù)學(xué)知識宏觀上的系統(tǒng). 對于結(jié)構(gòu)鏈條來說，如果某個環(huán)節(jié)斷裂，那么其后續(xù)的環(huán)節(jié)就會變得十分困難，因為此時必須找到代替這個斷裂環(huán)節(jié)可能需要的一系列新知識點組成新鏈條;從學(xué)生產(chǎn)生對某個知識點（作為結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)）的認識來說，如果學(xué)生需要掌握知識點C，首先要掌握這個鏈條上知識點C之前的知識點B，如果學(xué)生沒有掌握知識點B，就需要花費許多精力使用代替知識點B的數(shù)學(xué)知識點來認識知識點C.

其次，從微觀結(jié)構(gòu)上考察. 稍作分析與探究會發(fā)現(xiàn)，單個具體的數(shù)學(xué)知識點具有相互關(guān)聯(lián)的三個特點：（1）組成這個知識點的核心思想應(yīng)該明確而具體（但是，在教學(xué)實踐上，這種數(shù)學(xué)知識核心思想的發(fā)現(xiàn)，特別是經(jīng)由教學(xué)設(shè)計啟發(fā)學(xué)生發(fā)生認識，受到諸多方面的限制. 這是相對于數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平而論的）;（2）對具體知識點蘊涵的核心思想已經(jīng)形成了規(guī)范性表達（數(shù)學(xué)教材通過字斟句酌的描述與刻畫能夠做到）;（3）數(shù)學(xué)知識蘊涵的核心思想通過其規(guī)范性表達形成了啟發(fā)性成分，為教師認識與理解知識奠定了基礎(chǔ)（通過分析教材對具體數(shù)學(xué)知識核心思想的字斟句酌的刻畫，所形成的規(guī)范性表達，教師首先要認識到，從知識核心思想到具體語言表達過程中的蛛絲馬跡，獲得認識、理解知識的途徑，這就是構(gòu)成鼓勵學(xué)生認識這個知識點的啟發(fā)性成分）. 單個知識點的這些特點隱含著知識原創(chuàng)者發(fā)生認識的特定認知方式，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有非常重要的價值.

最后，教師教學(xué)設(shè)計及其課堂實施，必須將宏觀結(jié)構(gòu)與微觀結(jié)構(gòu)現(xiàn)實地、具體地交替進行. 一般情況下，由于教學(xué)設(shè)計及其課堂實施是從具體的知識點開始的，教師先從教材中關(guān)于具體數(shù)學(xué)知識點的規(guī)范性表達中揭示數(shù)學(xué)知識蘊涵的核心思想，而多數(shù)情況下，這種具體的核心思想在宏觀數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中不是孤立的，而總是具有來由的. 因此，教師在揭示數(shù)學(xué)知識中蘊涵的核心思想時，這種數(shù)學(xué)知識的宏觀結(jié)構(gòu)鏈條對于發(fā)現(xiàn)與認識具體知識點的核心思想具有啟發(fā)作用. 這種啟發(fā)作用對于學(xué)生來說是非常重要的，是教師教學(xué)設(shè)計及其課堂實施時發(fā)揮啟發(fā)學(xué)生發(fā)生認識的啟發(fā)性方式的重要來源之一.

總之，在關(guān)于某個具體數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的教材分析時，要將數(shù)學(xué)知識的微觀結(jié)構(gòu)與宏觀結(jié)構(gòu)很好地結(jié)合起來，形成教材分析的系統(tǒng)考察. 從兩種不同的結(jié)構(gòu)中，確定具體數(shù)學(xué)知識點蘊涵的核心思想，從而帶領(lǐng)學(xué)生從這種具體的核心思想過渡到規(guī)范性表達中，獲得啟發(fā)性成分. 如此，才能最大限度地發(fā)揮具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)價值，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標.

三、依據(jù)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)性的教材分析示例

陸游詩云：紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行. 雖有至善的教學(xué)理論，但如果不將這種理論與具體的教學(xué)實踐結(jié)合起來，教學(xué)實踐就是盲目的，教學(xué)理論的價值也是蒼白無力的. 那么，教師在教學(xué)準備工作中，應(yīng)該如何利用數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，進行具體的教材分析，從而有效地處理一個教學(xué)單元的數(shù)學(xué)知識呢？事實勝于雄辯，為了說明依據(jù)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)性（系統(tǒng)組織過程）教材分析，我們以“有理數(shù)”這一教學(xué)章節(jié)為例來闡述.

其一，學(xué)生從小學(xué)進入初中，所學(xué)習的數(shù)由非負數(shù)集擴充到有理數(shù)集. 從小學(xué)的自然數(shù)集擴充到有理數(shù)集后，增加了數(shù)的一種新屬性——負數(shù). 因此，有理數(shù)集形成了三類屬性，可以定義為正有理數(shù)、0與負有理數(shù). 這就為研究有理數(shù)集的性質(zhì)、運算等搭建起了基礎(chǔ)性的舞臺.

其二，從自然數(shù)集擴充到有理數(shù)集后，必須滿足丹齊克所論及的固本原則. 對于“固本原則”內(nèi)涵， 丹齊克解釋了三項特征，其中最重要的一項特征，就是要求在自然數(shù)集中所建立并使用的加、減、乘、除四則（或其中的幾則）運算法則必須要類推到有理數(shù)集中來. 因此，在有理數(shù)集中，應(yīng)該像在自然數(shù)集中一樣，對于在自然數(shù)集中所建立起來的加、減、乘、除四則（或其中的幾則）運算在有理數(shù)集中也要暢通無阻. 那么，在有理數(shù)集中，如何應(yīng)用到自然數(shù)集中已經(jīng)建立起來的有關(guān)的運算法則呢？

其三，由“固本原則”，肯定可以理解為需要將在自然數(shù)集中建立起來的運算法則轉(zhuǎn)入到有理數(shù)集中來，或者可以理解為將有理數(shù)集中的運算法則退回到非負數(shù)的運算法則中去. 實際上，后者是實現(xiàn)前者的一種具體方式. 那么，如何在有理數(shù)集中將要建立的運算法則轉(zhuǎn)入（或退回）自然數(shù)集中已經(jīng)建立起來的相應(yīng)的運算法則呢？一種想法是，將從自然數(shù)集擴充到有理數(shù)集時所增加的數(shù)的屬性——負數(shù)，轉(zhuǎn)化為正數(shù)，就可以達到目的，即保證在自然數(shù)集中所建立起來的加、減、乘、除這四則運算法則在有理數(shù)集中也可以暢通無阻.

其四，將有理數(shù)集退回到自然數(shù)集的一項條件就是將有理數(shù)集中的負數(shù)轉(zhuǎn)化為它的相反數(shù)——正數(shù). 通過引入絕對值概念就可以實現(xiàn)這樣的目的. 因此，絕對值概念的內(nèi)涵就是負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)（而負數(shù)的相反數(shù)恰恰是正數(shù)），自然數(shù)的絕對值是其本身. 由此分析結(jié)論可以認識到，有了絕對值的概念以后，有理數(shù)集與自然數(shù)集就原則性地統(tǒng)一了起來. 因此，關(guān)于數(shù)系擴充的核心思想是原數(shù)系中的數(shù)的屬性及其運算奠定了新數(shù)系的基礎(chǔ). 需要特別注意新數(shù)系中所增加的新屬性的數(shù)的特點，往往需要解決的是新屬性的數(shù)與原數(shù)系中的舊屬性的數(shù)之間所形成的矛盾，這就需要發(fā)掘相應(yīng)的解決矛盾、使矛盾對立面相統(tǒng)一的條件，如這里的絕對值概念就是解決負數(shù)與自然數(shù)之間矛盾的一項重要的、不可替代的條件.

其五，如果像第四點中所述，從形式上直接定義絕對值的概念的話，學(xué)生難以理解這一概念的內(nèi)涵，此時，需要將絕對值的概念轉(zhuǎn)化為“兩點之間的距離”這個概念來輔助學(xué)生理解. 教材通過引進數(shù)軸的概念，從而可以對絕對值概念進行幾何解釋（數(shù)軸概念一經(jīng)引入，就具有其自身的獨立功能，如形成數(shù)形結(jié)合思想，比較兩個有理數(shù)的大小等）. 一個數(shù)的絕對值就是在數(shù)軸上所表示的這個數(shù)的點到原點之間的距離，0的絕對值依然是0本身. 因為距離不存在負值，所以這是一種非常巧妙合理的解釋. 于是，將這種抽象的絕對值概念通過數(shù)軸形成了可視化的形象. 如此，就可以為七年級學(xué)生理解絕對值的概念打下基礎(chǔ).

其六，有了絕對值的概念之后，有理數(shù)集相對于自然數(shù)集的“固本原則”就可以得到實施了. 通過絕對值的變換，有理數(shù)集中的自然數(shù)還是其本身，有理數(shù)集中的負數(shù)變換成了它的相反數(shù)，因而就是正數(shù)了. 所以，一切有理數(shù)經(jīng)由絕對值的變換就回歸到了有理數(shù)集擴充之前的在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習過了的非負數(shù)集，學(xué)生通過小學(xué)學(xué)習已經(jīng)掌握的運算法則就都可以運用，只不過由于數(shù)字符號的引入，運算過程稍微復(fù)雜一些罷了. 從而，丹齊克意義上的“固本原則”就圓滿地實現(xiàn)了，有理數(shù)的運算也就可以得到執(zhí)行了.

基于如此教材分析所獲得的結(jié)果，教師在教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，就會清楚地把握“有理數(shù)”這一章的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，對這個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的每一個知識點要素的作用與功能都得到了清晰的認識. 于是，在教材設(shè)計及其課堂實施中，利用這個系統(tǒng)的“非機械和性質(zhì)”，找到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中各要素之間的組織形態(tài)的最適宜于學(xué)生發(fā)生認識的心理線索，思考選擇利用學(xué)生發(fā)生認識的最佳途徑設(shè)計教學(xué)預(yù)案流程，為最大限度地發(fā)揮整體性的結(jié)構(gòu)功能、發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的教學(xué)價值、實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的教學(xué)目標奠定了實現(xiàn)的基礎(chǔ).

在教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，教師（特別是新手）要從學(xué)生的實際出發(fā)，采用生動、活潑的形式，啟發(fā)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習的積極性，引導(dǎo)學(xué)生積極主動學(xué)習. 在進行具體知識的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施時，教師應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的實際認知出發(fā)，使學(xué)生參與教學(xué)過程時產(chǎn)生必不可少的心理活動，以啟發(fā)學(xué)生生成數(shù)學(xué)觀念，指導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)思維、抽象出數(shù)學(xué)方法、萌發(fā)數(shù)學(xué)思想，最終以促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新能力為核心，以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習的主動性和積極性，其中最為重要的基礎(chǔ)在于教師必須要做好教材分析. 因為數(shù)學(xué)知識的教學(xué)價值是數(shù)學(xué)教學(xué)目標的水之源、木之本.

四、結(jié)束語

提高數(shù)學(xué)教師的教材分析能力是實現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念，發(fā)揮數(shù)學(xué)知識教學(xué)價值，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標的基本保證，依據(jù)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)性的教材分析是一條特別有價值的途徑. 教材分析的具體方法與途徑有很多，但是這些具體途徑總是在數(shù)學(xué)知識的宏觀結(jié)構(gòu)與微觀結(jié)構(gòu)關(guān)系所構(gòu)成的系統(tǒng)分析的前提下進行的. 因此，教師掌握關(guān)于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的技能、技巧至關(guān)重要，是教師專業(yè)成長必不可少的. 對此，需要思之再思，慎之又慎.

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